复杂事故树最小割集和最小径集求解模式研究

时间：2024-05-07

木拉里·马扎甫王越黄超

作者简介：木拉里·马扎甫、王越，讲师；黄超，副高级工程师。

DOI：10.3969/j.issn.1671-489X.2024.02.053

摘要介绍复杂事故树进行最小割集和最小径集分析过程中主要问题，提出最小割集和最小径集相互求解方法，建立不同结构事故树的最小割集和最小径集求解模式，并通过事故树实例验证最小割集和最小径集相互求解方法及模式的正确性和有效性，为实现复杂事故树分析提供有效的算法支撑。

关键词事故树；最小割集；最小径集；求解模式

中图分类号：G642.0 文献标识码：B

文章编号：1671-489X（2024）02-0053-03

0 引言

事故树分析是矿山及其他高危行业最常用的安全分析方法，其分析过程围绕着最小割集和最小径集进行结构重要度、概率重要度、临界重要度及頂上事件概率分析计算，最终确定最危险事故途径和最佳控制方案[1]。因此，进行事故树分析必须先求出最小割集和最小径集。但是事故树的规模和结构决定着最小割集和最小径集求解的复杂程度及其数量。有些事故树最小割集数量庞大且求解过程烦琐，这类事故树分析经常只求最小径集而不求最小割集，导致缺少对事故的规律性和危险性的分析。有些事故树求解最小径集的工作量大，需要多次转换逻辑门且画出与原事故树规模等同的成功树，耗时且容易出错。若不求解最小径集就不能正确分析控制事故的方案。针对此问题，本文首先提出最小割集和最小径集相互求解的方法，在此基础上建立了不同结构事故树的最小割集和最小径集的求解模式，并通过实例验证了该方法的正确性和有效性。

1 通过最小割集求解最小径集

1.1 通过最小割集求解最小径集的原理

最小径集传统求解方法首先需要把限制门、条件与门、条件或门等带条件的逻辑门转换成与门或者是与门和或门的组合，使事故树中只有与门和或门[2]。再画出与原事故树规模等同的成功树，目的就是写出成功树的数学表达式，对其进行逻辑运算，求出成功树的最小割集，再对偶转换成事故树的最小径集。求解过程工作量大，耗时且容易出错。

而事故树分析中，有了事故树就可以写出对应的数学表达式，即事故树的数学模型，并可以利用布尔代数的知识对其进行数学的逻辑运算，实现模型的简化，从而突出顶上事件和基本事件之间的逻辑关系[3]。简化后的数学模型，即最简数学表达式，表示的逻辑关系和原事故树表示的逻辑关系是一致的，也就是说最初的事故树和最简数学表达式是等同的[4]。因此，把事故树转换成功树的画图过程用事故树的最简数学表达式进行对偶转换写出成功树的数学表达式来代替，对其进行简化求出成功树的最小割集，就能求出事故树的最小径集。

不难发现，事故树的最简数学表达式其实就是该事故树的最小割集。而最小割集的求解是所有事故树分析的第一个定性分析步骤，在此基础上利用该方法求解最小径集，省略了传统方法转换带条件逻辑门、画成功树等容易出错的、复杂的分析过程。

1.2 实例应用

以图1所示事故树为例，先写出该事故树的最简表达式，即最小割集。

T=A1+A2=x1x2A3+x4A4=x1x2（x1+x3）+x4x7（x6+x4x5）=x1x2+

x4x5x7+x4x6x7

事故树最简表达式对偶转换为成功树的数学表达式，求解其最小割集：

则事故树的最小径集为：

T=（x1+x4）（x1+x7）（x1+x5+x6）（x2+x4）（x2+x7）（x2+x5+x6）

1.3 分析

根据实例应用可知通过最小割集求解最小径集的方法具有以下特点。

1）求解最小径集的同时，求出了最小割集，能更全面地了解事故的规律性和危险性。

2）比传统求解方法简单、省时，简化了转换带条件逻辑门的事故树作图和对偶转换成功树作图过程，减小了手工计算的出错概率。尤其是对于大型复杂的事故树，该方法更为高效。

3）因为是事故树的最简数学表达式直接对偶转换，得到的成功树的表达式也较为简单，其简化过程，相比传统求解方法中与原事故树规模等同的、复杂的成功树求解更为容易。

2 通过最小径集求解最小割集

2.1 通过最小径集求解最小割集的原理

一般通过布尔代数对事故树的数学表达式进行简化求解最小割集[5]。但当被分析的事故较危险时，编制出的事故树的规模较大，要逐步用下层事件的“与、或”组合代替上层事件，直至事故树数学表达式中只剩基本事件，再用布尔代数对其进行简化，这一过程非常容易出错。事故越危险，事故树结构中基本事件和或门的数量越多，出现很多个基本事件的“与、或”组合交集的情况，导致简化过程烦琐，很容易出错，也不能估计最小割集的数量。

在这种情况下，事故树对应的成功树的结构中与门较多，或门较少，布尔代数简化较为简单，求出的成功树的最小割集，即事故树的最小径集数量较少[6]。此时，用最小径集可以写出事故树的数学表达式，其主要形式是基本事件并集的交集，它是事故树的另外一种最简数学表达式，其逻辑关系和原事故树的逻辑关系是一致的。对该最简数学表达式用布尔代数进行简化，使之变成基本事件交集的并集，既是事故树的最小割集。

2.2 实例应用

以图2所示冲床冲手事故树为例，先求出该事故树的最小径集：

用最小径集写出该事故树的数学表达式，对其进行简化求出最小割集：

T=x1（x3+x4+x5）（x2+x6+x7+x8）（x2+x6+x7+x9+x10）=x1x2x3+

x1x3x6+x1x3x7+x1x3x8x9+x1x3x8x10+x1x2x4+x1x4x6+x1x4x7+

x1x4x8x9+x1x4x8x10+x1x2x5+x1x5x6+x1x5x7+x1x5x8x9+x1x5x8x10

2.3 分析

1）求解最小割集的同时，求出了最小径集，能更全面地了解预防事故的方案，真正达到事故分析的目的。

2）因为需简化的数学表达式是基本事件并集的交集，即最小径集的逻辑乘，简化过程相比逐步用下层事件代替上层事件写出表达式进行简化要简单，且不容易出错。

3）若对逻辑运算熟练，可以很快算出最小割集的数量。

3 复杂事故树最小割集和最小径集求解模式

以上分析证明最小割集和最小径集是可以相互求解的，但不同的事故树其求解难易程度大不一样。合理的求解模式能够高效、正确地求出最小割集和最小径集，起到事半功倍的效果[7]。

一般事故树中或门增加最小割集的数量，与门增加最小割集的容量[8]。因为对偶性的关系，对于最小径集正是相反，或门增加最小径集的容量，与门增加最小径集的数量。根据这一规律本文提出如图3所示的求解模式。

1）与门多。当事故树中与门多时，最小割集数较少，而最小径集数较多，此时应先求最小割集，再通过最小割集求解最小径集。

2）或门多。当事故树中或门多时，最小割集数较多，而最小径集数较少，此时应先求最小径集，再通过最小径集求解最小割集。

3）或门和与门数量相当。当事故树中与门和或门的数量相当时，最小割集和最小径集数量也相当，但先求解最小径集需要画成功树，因此该情况下应先求最小割集，再通过最小割集求解最小径集。

4）或门和与门数量相当且有带条件逻辑门。事故树中或门和与门数量相当且有带条件逻辑门的情况下，先求最小割集，再通过最小割集求解最小径集[9]。因为有带条件逻辑门的事故树转换为成功树更为麻烦，需要先将这些带条件逻辑门转换为与门或者是与门和或门的组合。

4 结束语

文章提出并验证了最小割集和最小径集相互求解方法，该方法在最小割集的基础上不画成功树就能求出最小径集，在最小径集的基础上可以较为简单的求出最小割集，相比傳统求解方法更为简洁、高效。其次可以用该方法验证已经求出的最小割集和最小径集是否正确。在相互求解方法的基础上建立了最小割集和最小径集的求解模式，明确了不同结构的事故树应该先求最小割集还是先求最小径集，从而使事故树分析变得更为简单。

5 参考文献

[1] 徐志胜，姜学鹏.安全系统工程[M].北京：机械工业出

版社，2019：110-112.

[2] 杨宏亮，黄观明.基于故障树最小割集的解脱器活塞断

裂分析[J].舰船科学技术，2019，41（1）：133-137，151.

[3] 武欣，戚彬，孙晓明，等.基于模糊事故树的农机事故

影响因素分析[J].中国农机化学报，2022，43（1）：211-

218.

[4] 张小浩.基于事故树分析法的企业安全生产风险管理研

究[D].安徽：安徽财经大学，2021.

[5] 耿罗通.客车制造企业安全生产风险分级管控模式研究

[D].北京：中国地质大学，2020.