时间:2024-05-07
李增耀
【摘要】圆锥曲线是高中数学中一个较难的内容,每年高考都会涉及到,通常作为数学题目中最难的一部分.对于很多考生而言,圆锥曲线是一个困扰他们的难点,他们只能在第一问中做对,而在第二问中通常只能得到两三分.学生和老师需要以高考真题来掌握圆锥曲线的常规解题方法,以突破这一重要的复习备考内容.本文以2023年新课标二卷的第21题圆锥曲线为基础,通过三个不同的审题角度,总结了五种解题方法,并深度剖析了该题目中涉及的一般圆锥曲线压轴问题的三类解题方法.分析高考真题,通过深入解读一道题,找到解决其他问题的通用方法和规律,对研究具有一定意义和价值.在文末,作者通过对比分析三个角度的五种解法,研究它们的优劣势,深入挖掘本质,以此激发广大教师和学生对圆锥曲线大题核心方法(如非对称韦达定理、齐次化解法和极点极线等方法)的更深理解.
【关键词】圆锥曲线;非对称韦达定理;齐次化
1 高考原题呈现
2023新课标Ⅱ卷T21:双曲线C中的m为坐标原点,左焦点为(-25,0),离心率为5.
(1)求C的方程.
(2)记C的左右顶点分别为A1,A2,过点-4,0的直线与C的左右交于M,N两点,M在第二象限,直线MA1与NA2交于点P,证明:点P在定直线上.
2 多角度地多解法探究
(1)设双曲线方程为x2b2=1(a>0,b>0),由焦点坐标可知c=25,
则由e=ca=5可得a=2,b=c2-a2=4,双曲线方程为x216=1.
对第(2)问的解答,可从以下思路着手.
2.1 思路1:非对称韦达定理
方法1 非对称韦达定理之半配凑
证明 由(1)可得A1-2,0,A22,0,设M(x1,y1),N(x2,y2),直线过的定点为B(-4,0).
由已知得:直线MN的斜率kMN≠0,所以设直线MN的方程为x=my-4,因为双曲线的渐近线为方程为y=±2x,所以-12.
联立x216=1,x=my-4, 得4m2-1y2-32my+48=0,得Δ=64(4m2+3)>0,y1+y2=32m4m2-1,y1y2=484m2-1,
则直线MA1的方程为y=y1x1+2x+2,直线NA2的方程为y=y2x2-2x-2,
联立直线MA1与直线NA2的方程可得:
x+2x-2=y2x1+2y1x2-2=y2my1-2y1my2-6
=my1y2-2y2my1y2-6y1
=my1y2-2y1+y2+2y1my1y2-6y1(半配凑)
=m·484m2-1-2·32m4m2-1+2y14m2-1-6y1
=-16m4m2-1+2y14m2-1-6y1=-13,
由x+23可得x=-1,即xP=-1,所以,点P在定直线x=-1上.
方法2 非对称韦达定理之和积互换
证明 由(1)可得A1-2,0,A22,0,设Mx1,y1,Nx2,y2,直线过的定点为B(-4,0).
由已知得:直线MN的斜率kMN≠0,所以设直线MN的方程为x=my-4,且-12.
联立x216=1,x=my-4, 得4m2-1y2-32my+48=0,且Δ=64(4m2+3)>0,y1+y2=32m4m2-1,y1y2=484m2-1,且my1y2=32(y1+y2)(和积互换),
则,直线MA1的方程为y=y1x1+2x+2,直线NA2的方程为y=y2x2-2x-2,
联立直线MA1与直线NA2的方程可得:
x+2x-2=y2x1+2y1x2-2=y2my1-2y1my2-6
=my1y2-2y2my1y2-6y1=32y1+y2-2y232y1+y2-6y1
=3y1+y2-4y23y1+y2-12y1=3y1-y2-9y1+3y2=-13,
由x+23可得x=-1,即xP=-1,所以,点P在定直线x=-1上.
2.2 思路2:齊次化处理,不联系体系
方法3 第三定义和非平移齐次化
证明 由(1)可得A1-2,0,A22,0,设Mx1,y1,Nx2,y2,直线过的定点为B(-4,0).
由kNA1kNA2=y2(x2+2)y2(x2-2)=y22x22-4=4x22-16x22-4=4—①(第三定义推广),
设直线MN的方程为m(x+2)+ny=1(注意直线的形式),
变形曲线方程x216=1为[(x+2)-2]216=1(配凑斜率),
即4((x+2)-2)2-y2-16=04(x+2)2-16(x+2)-y2=0,
齐次化处理,得4(x+2)2-16(x+2)(m(x+2)+ny)-y2=0,两边同除(x+2)2,得
4-16(m+nyx+2)-y2(x+2)2=0,又因为kMA1=y1(x1+2),kNA1=y2(x2+2),
所以kMA1=y1(x1+2),kNA1=y2(x2+2)kMA1,kNA1,是方程4-16(m+nyx+2)-y2(x+2)2=0,kMA1=y1(x1+2),kNA1=y2(x2+2)的两根,即-k2-16nk+4-16m=0k2+16nk-4+16m=0,所以kMA1kNA1=k1.k2=16m-4.又因为直线MN过B-4,0,所以,m=-12,
所以kMA1kNA1=k1.k2=-12—②
由①②得:kMA1kNA2=-3,即kMA1kNA2=ypxp+2xp-2=xp-2xp+2=-3,解之得xP=-1,所以点P在定直线x=-1上.
方法4 第三定义和平移齐次化
证明: 由(1)可得A1-2,0,A22,0,设Mx1,y1,Nx2,y2,直线过的定点为B(-4,0).
由kMA1kMA2=y1(x1+2)y1(x1-2)=y12x12-4=4x12-16x12-4=4—①(第三定义推广),
将坐标系向右平移两个单位,得到新的双曲线为:(x+2)216=1,
设直线MN在新坐标系中得方程为:mx+ny=1,过的定点为B′-6,0,(注意:平移后直线的形式和定点坐标变化),变形双曲线为4(x+2)2-y2-16=04x2+16x-y2=0,齐次化处理,得4x2+16x(mx+ny)-y2=0,两边同除x2,得4+16m+nyx2=0,又因为kMA2=y1x1,kNA2=y2x2,所以kMA2,kNA2,是方程4+16m+nyx2=0的两根,即k2-16nk-4-16m=0,所以kMA2kNA2=k1.k2=-16m-4.又因为直线MN过B′-6,0,所以m=-16,所以kMA2kNA2=k1.k2=-43—②,
由①②得:kMA1kNA2=-3,即kMA1kNA2=ypxp+2xp-2=xp-2xp+2=-3,解之得xP=-1,故点P在定直线x=-1上运动.
2.3 思路3 极点极线秒解
方法5 极点极线秒解方法
在凹四边形MA1NA2中,直线过得定点B′-6,0对应得极线即为点P的轨迹,将B′-6,0的坐标带入得:-4x16=1x=-1.
3 结语
文中得思路1得方法是对于圆锥曲线该类型问题的常规方法.通过本例可知:对于圆锥曲线中得非对称式子,其解法方法1般包括:半配凑、和积互换等,如:本例中涉及到非对称式子x+2x-2=y2x1+2y1x2-2=my1y2-2y2my1y2-6y1的处理,方法一中采用半配凑.即将式子中的分子中的非对称式子my1y2-2y2my1y2配凑为-2y1+y2+2y1,即得到my1y2-2y2my1y2-6y1=my1y2-2y1+y2+2y1my1y2-6y1,再代入韦达定理求解.
方法2中采用和积互换.即通过韦达定理得到两根和与两根积的关系my1y2=32y1+y2,将非对称式子中的my1y2替换为32(y1+y2),进而转换为对称式,代入韦达定理求解.
思路2则更多侧重于题目中涉及的斜率关系,结合圆锥曲线第三定义的性质,以两直线的斜率之积为定值做为解题的切入点,最后采用齐次化的方法求解.方法3中采用非平移齐次化的方法进行求解.该方法的核心是:
第1步构造出斜率的形式.该过程重在对圆锥曲线的方程进行变形,同时巧设直线方程.如本例中将曲线方程x216=1变形为(x+2)-2216=1即得到:4((x+2)-2)2-y2-16=04(x+2)2-16(x+2)-y2=0,并设直线MN的方程为m(x+2)+ny=1.
第2步则是进行齐次化:如本例的方法3中,两边同除(x+2)2,得4-16(m+nyx+2)-y2(x+2)2=0,進而进行求解.
在第4种方法中,作者使用了平移齐次化的方法来解答问题.该方法与不使用平移齐次化的方法不同,它在进行齐次化之前会对坐标轴或图象进行平移,目的是使某个点经过平移后,其坐标变为坐标原点.考生在解题过程中容易出错的地方是直线所过的定点会对应发生变化,这样就避免了方法3中相对复杂的构造斜率的过程.
笔者在文中的第3个思路中,着重运用了有关极点极线的高级知识,以便快速地得出结果.这正是高考成绩的核心所在.再结合题目要求,按照直曲联立等常规来书写过程.
总之,笔者经过对2023年新课标二卷圆锥曲线压轴题的多种解法深入分析,得出普遍适用、高效的解题方法,专门用于解决类似的圆锥曲线问题.这些非对称处理思路在处理过程中避免了繁琐的计算步骤.齐次化地解法是指在本问思路2中采用的解决方法,也称为不联立解法.通过简化考生长期以来望而生畏的直曲直线与曲线的联立过程,可显著降低计算量,进而提高解题效率.思路3利用射影几何中的极点极线概念,能够快速得出结果,有助于考生快速得分,并与常规解题过程相结合.总的来说,我希望作者的笔者希望本研究能够为未来遇到这类问题的师生们提供一些参考.
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