高观点下的高考数学试题探析

昝彩虹 廖家锋

【摘  要】  微积分、矩阵、泰勒公式等高等数学内容已经明确列入高中选修课程中，在新课标的背景下，数学高考趋势也在发生变化，深入分析高考题目，发现许多题目是以高等数学为背景来命制.从“高观点”的视角来剖析高考题，高维度理解题目，方知命题思路.本文以2022年全国甲卷（理）第12题和新高考全国Ⅰ卷第7题为例，分析泰勒公式在高考题中的应用.

【关键词】  高观点;高中數学;泰勒公式

1  高观点的内涵

高观点是指利用高等数学中的知识、思想以及方法来分析初等数学的命题思路或者进行试题的理解与解决，又或者以高等数学为背景来命制初等数学题目.

2  定理呈现

对于一般初等函数，设其在点处存在直至阶导数，由这些导数构造一个次多项式，称为函数在点处的泰勒多项式，的各项系数称为泰勒系数[1].

3  高考再现

例1  （全国甲卷（理）第12题）已知则（   ）

（A）.       （B）.     （C）.      （D）.

该题中学的常规解法是构造函数和不等式放缩，这两种方法是本题的常规思路，对于学生来说思维难度大，短时间内求解有一定的难度.但从高观点的角度来分析此题，运用泰勒公式进行求解，此题从高思维难度变为低思维的运算.

高观点视角下分析此题，运用泰勒公式进行求解.

和的泰勒展开式分别是

，

这是“天然”的放缩不等式.

此题而言，（表示误差），

则；

（表示误差），

则；

从而得到.若在泰勒公式的背景下，此题难度大大降低，观点高，落点低[2].

例2 （新高考全国Ⅰ卷第7题）设，则（   ）

（A）.       （B）.       （C）.    （D）.

该题的中学常规解法是构造函数和比较法.例1已经阐述构造函数的难点，那么对于比较法而言，首先对进行变形，，然后作差再构造函数进行求解，即算和，从而得到三者之间的大小关系.该方法的难点在于学生要对进行合适的变形，而且要构造适合的函数，这两个方面对学生的思维要求很高.

在泰勒公式背景下来分析，和的泰勒展开式分别为

，

.

对此题而言只需取其中三项即可，（表示误差），

则；

；（表示误差），

那么，

所以.

从上述两道高考题中，发现若运用泰勒公式来解决这类比较大小的选择题，可以大大降低题目难度.但因这不是严格的证明，所以是高效解决这类选择题的方法.

4  命题思路

以上述两道高考题为例，为何题目中出现和，从何而来？该数不是任取，而是命题老师通过泰勒展开式计算而得到，该题命题思路就源于泰勒展开式.在高考题中证明不等式放缩的思路很多都来源于泰勒展开式.例、2020新高考Ⅰ卷21题的第（2）问，若，求的取值范围.该题就是以和的泰勒展开式为背景，从而设计出一个求解参数的取值范围的问题.

5  课本溯源

有人认为用泰勒公式来解此题，属于超纲内容，但事实并非如此.在2019年人教A版数学必修第一册256页第26题中介绍了和的泰勒展开式，得到，试用计算工具计算的值，并与上述结果比较.因此在教材中是有明确提出常用的泰勒公式.

6  结语

新课标强调要加强中学与大学的衔接，并且教材上不管是课后习题还是阅读材料也会出现高等数学的相关内容，高考题的命制一般会有大学教授的参与，因此很多高考题的命题思路和背景都与高等数学有关.泰勒展开式的应用不仅上述类型的题目，高考压轴题中的命题思路很多都来源于泰勒展开式.

如今的高考不再以全面覆盖知识为目的，侧重考查各种能力，考查学生各种数学核心素养的发展，不追求知识的覆盖面，而追求知识网络的交汇点.

参考文献：

[1]华东师范大学数学系.数学分析（第四版）[M].北京：髙等教育出版社，2013.

[2]白志锋.评析高考数学试题中的高观点题[J].数学通报，2002（08）：37-39.

[3]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）[M].北京：人民教育出版社，2020：50-60.