学科融合背景下提升数学化归能力的教学策略探究

许竞文

【摘  要】  数学是一个知识学习的过程，也是一个思想方法积累与解决问题能力培养的过程.在数学教学中，采用一个合适的方法往往会得到事半功倍的效果，尤其是面对复杂的问题时，唯有选择合适的思维方法，才能建构清晰的解题思路，从而解决问题.教师把数学知识相互融合，借助信息技术的手段，将化归思想方法渗透入教学中，有助于学生更好地理解数学知识，解决数学问题.

【关键词】  高中数学；化归思想；课堂教学

1  化归思想的概念与原则

著名数学家波利亚在《怎样解题》一书中提出，教师可以通过对学生提问来引导学生寻找已知数据与未知量之间的关系.“你知道一道与它相关的题目吗？你知道一条可能有用的定理吗？观察未知量！并尽量想出一道你所熟悉的具有相同或者相似未知量的题目.这里有一道题目和你的题目有关而且以前解过[1].”人们在解决问题时，如果直接应用已有知识不能有效地解决问题，往往会将问题进行不断地分解与转化，将它们转化成已知的、熟悉的、简单的形式，最终实现问题的解决.这种思想方法叫做化归思想，它是转化和归结的简称.化归不仅是一种解决问题的重要方法，还是一种基本的思维策略，更是一种有效的数学思维方法.其研究思路如图1.

图1

化归思想方法的实质就是利用已有的、基本的、具体的知识，将未知的、复杂的、抽象的知识转化为具体、常规、简单的问题，进而解决问题，其基本原则如下.

1.1  熟悉化原则

熟悉化原则也就是将陌生问题转化成熟悉问题的原则，利用已有的知识及经验，将问题不断分解、调整、扩充.

1.2  简单化原则

简单化原则也就是将复杂问题转化为简单问题的原则，通过换元、降次、特殊化等手段，将问题不断简化.

1.3  直观化原则

直观化原则也就是把抽象的问题转化为具体、形象、直观的问题的原则，通过数形结合、构造等方法，使得问题更加便于理解[2].

1.4  特殊化原则

特殊化原则也就是把一般的、普遍的问题转化为极端的、特殊的情况，从这些情况中获得启示，从而解决问题的原则.

2  化归思想运用于函数教学中的意义分析

2.1  渗透融合，加强函数知识联系

在化归思想影响下，学生整合运用已掌握的知识，构建完整的函数知识体系.数学教师对函数知识内容进行串联式教学，侧重性地强化学生对各个函数知识板块的整合能力，使学生形成函数知识整合使用的意識，以确保学生在日常学习中能够进行函数知识内容的化归，进而达到发挥化归思想对于强化函数知识内容联系的目的.

2.2  拓展延伸，锻炼学生思维能力

化归思想不仅对学生的函数知识板块联系作出了化归要求，还明确要求学生将解题方法、思维模式等进行混合使用，这就需要学生思维上更加贴切函数学习的发展要求，具备一定的函数信息处理能力，能够灵活调度使用各种解题方法，而这些能力的发展无形中也会带动学生函数思维能力的发展，使学生的函数视野不只是局限于课本教材的函数知识，能够涉及更为广阔的函数知识世界[3].

2.3  化难为易，降低学生学习压力

相较于传统的函数学习模式，在化归思想的加持辅助之下，学生实现了数形结合、化未知为已知、复杂问题转化为简单问题等函数解题策略的高效运用，完成了函数学习的举一反三，一定程度上降低了函数学习对于学生思维能力的要求，使得函数知识更为容易地被学生接受，而学生自然而然就不会再惧怕函数学习，相反地，学生会以更加积极主动的姿态参与到函数学习中，教师也通过“化归思想”的运用减轻了学生函数学习的身心压力.

3  化归思想函数教学中的应用

函数表示了一种变量之间的对应关系，它是研究绝大多数数学分支的重要工具，也是研究其他学科的一大有力工具.函数与人们的生活息息相关，它是一种高效的思维方式，掌握函数及函数的思想方法，有助于更好地分析问题、解决问题.函数渗透整个数学课程的学习，也是高等数学的基础.在学科交叉的背景下，教师通过与其他科目的融合，借助信息技术的手段，将化归思想方法渗透入函数教学中，有助于学生更好地理解函数的知识，解决函数学习中遇到的问题.

3.1  学科知识点的串联与融合

函数的知识点繁多、具有很强的抽象性，不仅是解决问题的重要模型，也是提高学生核心素养的基本载体.教师在函数教学过程中，需要建立各个函数知识点之间的关联，尤其是在后续函数的教学中，需要带领学生不断回顾、复习先前所学的函数知识，将新的问题转化为已知问题，从而促进新问题的解决.

此外，教师需要在教学中将知识进行分类、归纳、总结，可以借助思维导图实现新旧知识的关联.思维导图又叫心智导图，它利用图形及网状结构，把各级主题的关系形象地表示出来，将知识整合、优化，充分利用左右脑的技能，有助于记忆知识及培养发散性思维.通过思维导图把从属的知识串成线，把相邻的知识连成面，将知识以框架形式呈现给学生，以便于学生形象直观地看到各个知识点之间的关联，形成完整的知识体系，在解决问题的过程中从头脑中的知识体系中抽取相应的知识，实现问题的化归.

3.2  正向与反向的转化

在函数教学中，存在许多无法从正面解决或者从正面解决比较复杂的问题.所谓正难则反，当许多函数问题无法从正面进行解决时，可以按照给定条件从反向进行思考，将正向问题化归为反向问题，实现正向与反向的转化.

反证法是函数中常用的一种解决问题的方法.通过判断反向论题的虚假，推出矛盾，可以间接证明原命题的正确性.牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一.”一般来讲，反证法常用来证明正面证明有困难，情况多或复杂，而命题的否定则比较浅显的题目，问题可能解决得十分干脆.也就是说，将一些比较难以解决的正向问题，通过化归思想方法，转化为先证明反向问题的错误，进而推出正向问题的正确性[4].

例如  在三角函数周期性的学习中，教师提出是正弦函数的最小正周期.在实际教学中，由于课时限制以及学生理解水平的差异，部分教师往往会直接向学生阐明上述结论，而忽视该命题的证明，这剥夺了学生对过程与方法的体验，不利于学生逻辑推理能力的发展.事实上，运用反证法很容易证明上述结论：根据诱导公式，可以推得是正弦函数的周期，再运用反证法，通过举反例即可推得是正弦函数的最小正周期.

3.3  函数问题与其他学科问题的互相转化

函数表示了一种变量之间的对应关系，它是研究绝大多数数学分支的重要工具，也是研究其他学科的一大有力工具.函数与人们的生活息息相关，它是一种高效的思维方式，也与其他数学分支有着千丝万缕的联系.通过对函数问题与几何问题、代数问题等等，可以实现问题的简化，从而促进问题的解决，也可以给予学生思考问题的不同角度，促进学生发散性思维的发展.

面对一些比较复杂的函数问题，可以将其转化为几何问题.我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休.”数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，通化归思想方法，数和形之间可以相互转化，相互渗透.

例如  求函数的最小值，此问题可以将上述函数表达式进行配方，转化为求的最小值，根据两点间距离公式，也就是求到距离的最小值.最后，本问题可以通过不断变形，化归为求到抛物线上的点的距离的最大值，利用几何性质进行求解.这样把函数问题转化为几何问题，实现了问题的简化.

又如，在学习空间向量的时候，教师需引导学生利用函数思想解决空间向量问题，尤其是在求法向量、平行向量时，常常会运用函数与方程的思想进行求解，将几何条件化归为代数条件，实现问题的转化与简化.

3.4  函数主元的转化

数学问题涉及多变元时通常难度较大，这时候可以进行常量和变量的化归，将函数中的常数或者参数当成“主元”，把函数中的其他变量当做“参数”，通过减少变元来简化运算.尤其是在解决含参变量的函数、含多个变量的函数以及曲线方程的问题时，常常需要转换主元，通过化归思想方法实现问题的简化[5].

例如  求使得对于满足-2＜m＜-1的所有实数m，不等式恒成立的x的范围.本问题若将x看成主元，m看做参数，是一道一元二次不等式的问题，而若将m看成变量，x看做参数，则可以化归为一元一次不等式的问题，实现了问题的简化.因此，通过变换主元，尤其是把已知范围的参数作为主元，化归为已知参数范围求解问题，可以促进问题的顺利解决.

3.5  现代信息技术与教学的融合

随着现代技术的不断发展，数学课堂的形式也在不知不觉中发生了重大的转变，把现代技术引入课堂教学是一种必然的趋势.通过现代技术，可以大大简化繁琐的运算，给数学课堂注入活力.

图形计算器是一个很好的教学工具，通过图形计算器，可以让学生动手操作，经历“再发现”数学规律的过程，使得抽象繁琐的数学运算变得简单、自然，提高课堂效率.并且通过图形计算器，学生可以主动地探究数学知识，实现“归纳先导，演绎跟进”的原理.

4  结语

教师需要在日常教学中通过串联知识点、正反向转化、函数与其它问题的转化、函数主元的转化，不断渗透化归思想方法，让学生在化归思想方法的学习与实践中从最初的模仿，到自己理解化归思想方法，进而掌握、灵活运用化归思想方法，将复杂的问题进行不断地分解与转化，将它们转化成已知的、熟悉的、简单的形式，从中学会发现与提出问题、分析与解决问题.

教师在教学过程中，不仅仅需要讲授知识与解题技能、方法，更需要不断渗透数学思想方法，幫助学生学会发现问题、提出问题、解决问题，进而促进学生数学核心素养的发展.数学教学应当进一步深化归思想的函数教学渗透，通过化函数为图形、化正面为反面、题根转化等多种策略来落实化归思想的运用，发挥化归思想函数增效的功能，使每一个高中生的数学函数知识素养、思维能力、解题技巧等都能够实现全方位成长.

参考文献：

[1]波利亚（美）.怎样解题[M].上海：上海科技教育出版社，2011.

[2]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017版）[M].北京：人民教育出版社，2018.

[3]周晓琳.数学化归思想的培养[J].数学教学通讯，2015（12）：45-46.

[4]王艳辉.例谈数学化归的思维[J].成功（教育），2013（22）：91.

[5]李跃胜.学科融合背景下提高数学教学内容真实性初探[J].黑河教育，2022（11）：50-52.