高中数学教学中培养学生公理化思想的实践研究

陆娜

【摘  要】  公理化思想是数学学习的重要内容，其在高中阶段的教学中具有重要的作用.本文从公理化思想在高中数学教学中的作用、培养学生公理化思想的方法和实践策略以及在培养学生公理化思想中遇到的挑战等方面进行探讨，旨在为数学教学提供一些借鉴和思路.

【关键词】  公理化思想；高中数学；逻辑思维

数学是一门抽象的学科，而公理化思想则是数学学习中的重要内容和核心概念，它能够帮助学生提高逻辑思维能力、增强自学能力以及拓展数学思维.在高中阶段的数学教学中，培养学生公理化思想具有相当重要的作用.然而，由于公理化思想的抽象性和难度较高，很多学生在学习过程中会面临一些困难，因此，如何在高中数学教学中成功培养学生公理化思想是当前数学教学所面临的一个重要问题.

1  公理化思想在高中数学教学中的作用

公理化思想是高中数学教学中不可或缺的一部分，主要通过建立公理系统来构建数学知识体系，从而使学生能够更加系统地理解和应用数学知识.以下针对公理化思想在高中数学教学中的作用，从三个方面展开论述.

1.1  培养学生逻辑思维能力

公理化思想的建立是基于逻辑推理的，因为公理系统是在一些基础假设下进行推理得出的.学生在学习过程中需要掌握一定的逻辑思维能力，才能够深入理解公理化思想的本质.在学习公理化思想时，教师可以与学生进行思考和讨论，帮助学生锻炼逻辑思维能力，让学生能够将所学知识应用到实际问题中去[1].

1.2  增强学生自学能力

公理化思想可以帮助学生从基础理念开始构建数学知识体系，使得学生能够更加深入地理解数学知识.通过公理化思想，学生能够了解数学知识的本质和原理，掌握数学解题的方法和技巧，进而增强学生的自学能力.教师还可以引导学生通过查阅数学文献、网络学习等方式，自主学习新知识，进一步提高学生的自学能力和独立思考能力.

1.3  拓展学生数学思维

公理化思想可以帮助学生更好地理解数学知识，并扩展学生的数学思维.数学的实践过程就是将公理化思想应用到实际问题中，进一步加深学生对数学中一些概念和结论的理解.通过对这些实际问题的研究和解决，学生能够更加深入地理解数学知识的本质，培养出更为灵活和敏銳的数学思维[2].

2  高中数学教学中培养学生公理化思想的方法

在高中数学教学中，培养学生公理化思想是非常重要的，因为这是学生走向科学研究的必要基础.本文将从三个方面来论述高中数学教学中培养学生公理化思想的方法，并结合数学教材中的例子进行说明.

2.1  引导学生理解数学概念的本质

数学是一门严谨的科学，其基础概念都必须是清晰、准确、无歧义的.在教学中要引导学生理解数学概念的本质，特别是那些涉及公理的概念，比如集合论中的包含关系、实数系统中的有序性等.要引导学生从概念出发，通过比较、归纳等方式，理解公理的本意和作用，逐渐形成公理化思维.

例如  在教学指数函数与对数函数时，可以引导学生从指数函数的特性出发，比较指数函数和对数函数的关系，进而引出对数函数的定义和性质，让学生在实际操作中逐渐形成公理化思维[3].

2.2  让学生学会严格证明

严格证明是数学思想深刻嵌入学生思维中的一种有效方式.在教学中，可以适当增加证明题目，让学生通过证明来理解定理，领会公理化这一思想.

例如  在教学三角函数时，可以引导学生从几何和三角函数的定义出发，了解三角函数的定义域、范围和周期等概念，进而逐步证明三角函数与直角三角形的关系、周期公式等定理，让学生在实践证明中逐渐理解公理的内涵，培养公理化思维.

2.3  让学生在数学建模中体验公理化思想

数学建模是一个非常好的培养公理化思维的平台，在数学建模中，学生必须从实际问题中抽象出数学模型，从模型中提取公理，用公理推导出结论，最终验证其正确性.

例如  在教学平面向量及其应用时，可以引导学生从图形中提取向量的定义和性质，进而构建出向量模型，从模型中发掘出向量的加法、数量积等公理，进一步应用公理推导出向量的性质和应用场景，让学生在实际建模中深入体验公理化思维，逐步形成科学思维[4].

3  高中数学教学中培养学生公理化思想的实践策略

3.1  引导学生理解公理的重要性

公理是数学推理的起点，是其他定理的前置条件.教师可以通过教学中的案例来引导学生理解公理的重要性.

例如  如在指数函数与对数函数中，引导学生理解单位复利计算公式及其本质，进而发掘出指数金字塔大师的贡献及其实际应用；在三角函数中，引导学生理解导出正切函数的原理及其应用；在平面向量及其应用中，引导学生理解向量的重要性及其基本操作等.在日常教学活动中，注意培养学生的公理化思想，教师应引导学生经常思考问题的公理化本质，反复强调数学中重要的公理原则，渐次加深学生对公理的理解和认识[5].

3.2  鼓励学生尝试证明定理

证明是培养公理化思维的重要途径.在教学过程中，学生通过独立思考，发现问题，证明定理，可以提高他们的公理化思维.

例如  对随机事件与概率，可以引导学生自己推导概率公式及其性质；在三角函数中，可以引导学生自行发现正弦函数和余弦函数的性质及其关系等等.教师应该鼓励学生自己动手证明定理，提高他们的感性认识，构建牢固的数学基础.

3.3  引导学生探究数学概念和规律

概念和规律是公理化思想的重要体现.在教学过程中，教师可引导学生通过自主探究、发现数学概念并进行归纳总结.

例如  在三角函数中，引导学生研究锐角三角函数和平角三角函数的概念及其性质；在平面向量及其应用中，引导学生发现向量的定义和性质等.学生通过探究问题，可以理解数学的发展规律，培养数学思维能力.

3.4  帮助学生建立数学框架

数学框架是公理化思维的重要体现.在教学过程中，教师应引导学生建立数学框架，使学生能够将知识点有机地融合在一起，形成有机的体系.

例如  在指数函数与对数函数中，引导学生将指数函数与对数函数的定义、性质及其基本应用融合成一整个知识体系.在平面向量及其应用中，引导学生掌握向量的基本操作和应用，建立平面向量的框架，进而应用向量分解原理解决几何问题.

4  高中数学培养学生公理化思想中遇到的挑战

高中数学培养学生公理化思想是教学中必须重视的一个方面.但是在教学过程中，教师往往会面临一些挑战，这些挑战需要根据具体情况进行解决.本文将从四个方面论述高中数学培养学生公理化思想中遇到的挑战以及解决措施，并结合高中数学的教学例子进行说明.

4.1  学生理解公理的难度

公理是数学的基础，在数学教学中无可替代，使用公理可以准确地推导出数学问题的解决方法.然而，学生理解一些基本公理可能会遇到一定的难度，比如结合律、分配律等.特别是对初学数学的学生，他们往往会觉得这些公理过于抽象，并且很难应用到实际问题中.为了让学生更好地理解公理，需要通过具体的实例来解释公理的应用.

例如  在教授指数函数的时候，可以结合实际生活中的例子，如复利计息等，来解释指数函数的公理，帮助学生更好地理解公理的应用.另外，教师还可以利用场景模拟、探究实验等方式，让学生通过实践的方式来感性理解公理的应用.

4.2  学生差异性问题

每个学生的学习能力和习惯都有所不同，这一点在高中数学教学中尤其明显.因此，对数学教师来说，他们需要考虑到学生的差异性，采取不同的教学策略来满足不同学生的需求.

例如  指数函数与对数函数这一主题比较抽象，对学生来说，很难通过看书和听课来理解它们的概念和应用.为此，教师可以采取思想启发的方式，利用实例进行讲解，让学生发现指数函数与对数函数的特点和规律.例如，可以通过讲解化学反应中的PH值和酸碱度来引出对数函数的概念.此外，教师还可以通过编一些生活中的情境题目来帮助学生理解指数函数和对数函数，激发学生的興趣和热情.同样，在三角函数这一主题中，很多学生也会觉得抽象和难懂.教师可以采用多样化的教学策略来助力学生的理解.如，引入三角函数的历史背景和应用场景，打破学生的传统观念，在学习过程中感受到三角函数的美妙之处.

又如，教师还可以通过编写相关的应用题，加强学生的实践能力和应用能力.平面向量及其应用是高中数学教学中的一个非常关键的主题.在教学中，教师可以通过展示真实的应用场景，如工程、建筑等领域，让学生了解向量在实际生活中的重要性和应用价值.同时，教师还可以通过展示向量图、建立向量坐标系、演示向量积等多种方式，让学生掌握向量的基本概念和运算方法.

4.3  理论与实践脱节

数学是一门理论完备的学科，它提供了一系列的概念和公式来描述现实世界的各种规律和现象.然而，实际上，很多时候理论与实际之间并不完全一致，学生们往往难以将抽象的理论概念应用到实际求解问题当中，导致了理论甚至与实际完全脱节的情况的出现.针对这一问题，需要采取一些实际有效的解决措施.

首先，教师可以通过生动、有趣、实际的教学实例来激发学生的兴趣.

例如  在教学平面向量的时候，可以结合比如物体的运动和速度，平面直角坐标系等实际问题来解释向量的方向、大小等概念，让学生真正理解与实际之间的联系，尤其是让学生在解决实际问题过程中创造性地应用理论知识.

其次，在教学过程中，可以强调理论的应用性，让学生明白理论知识的实际应用，并且激发学生的求知欲和好奇心，进一步促进学生对数学的兴趣和热情.同时，也可以丰富学生的阅读量和数学实践经验，提高学生对新知识的理解和掌握.

4.4  课堂氛围不够活跃

课堂的学习氛围是影响学生学习积极性的关键因素之一.如果学生感觉无法融入课堂，或是无法得到教师的反馈与指导，就有可能会导致他们的学习兴趣和动力下降.因此，教师应该采取一系列措施来营造积极的学习氛围，为学生创造良好的学习体验，提高教学效果.比如可以采用多媒体教学法，通过多样性的板书、有趣的课件、图像等方式吸引学生的眼球，帮助他们更好地理解课程内容.

另外，教师也可以在课堂中采用互动式教学方式，例如开展讨论、提问、分组合作等，让学生能够得到更积极的参与和更正面的反馈.这样可以有效提高学生学习的自信心和主动性，同时增强学生的思考能力和独立性.除此之外，教师还应该注意利用课外活动来加强学生的积极性.例如，组织科普展览、实践活动、文化比赛等等，来激发学生的兴趣和热情，从而增强他们参与课堂的积极性.

5  结语

本文主要介绍了在高中数学教学中如何培养学生公理化思想的作用、方法、策略和挑战.高中数学是培养学生数学素养的关键环节之一，其目的是让学生掌握公理化思想，以解决实际问题.在教学中，教师需要根据学生的学习特点和需要，灵活运用各种手段，以便最大限度地培养学生的公理化思想.同时，教师也应该针对学生在公理化思想的学习过程中遇到的问题和困难，采取积极有效的措施，来帮助学生更好地掌握这方面的知识.

参考文献：

[1]周思宇，陈友明，贺诗瑶.在高中数学教学中实践课程思政的策略研究[J].数学通讯，2023（06）：6-9.

[2]胡建勋.高中数学教学中培养数学思维能力的实践研究[J].课堂内外（高中教研），2022（07）：3.

[3]顾海燕.高中数学教学中培养学生核心素养的策略[J].亚太教育，2022（10）：73-75.

[4]洪睿.公理化方法在高中数学教学中的落地研究[D].南昌：江西师范大学，2021.

[5]王巧红.高中数学教学中培养学生数学素养的实践探索[J].文理导航，2022（08）：61-63.