高中数学解题中数形结合的应用

薛亚琼

【摘要】目前高中数学的教学改革重心落到了提高学生的核心素养方面，数形结合是高中数学重要的思想方法，是学生核心素养提升的重要途径，那么如何让“数形结合”有效地渗透到数学教学过程中，并进而培养学生的数学核心素养呢？本文就此从集合、函数等知识的解题教学入手，详细阐述数形结合法的应用技巧.

【关键词】高中数学；解题；数形结合

【摘要】目前高中数学的教学改革重心落到了提高学生的核心素养方面，数形结合是高中数学重要的思想方法，是学生核心素养提升的重要途径，那么如何让“数形结合”有效地渗透到数学教学过程中，并进而培养学生的数学核心素养呢？本文就此从集合、函数等知识的解题教学入手，详细阐述数形结合法的应用技巧.

【关键词】高中数学；解题；数形结合

数形结合在高中数学解题中有着极其重要的应用，通过数形结合思想方法可以借助图象直观地解释代数之间的关系，同时也能将几何图形转化为代数的计算问题，达到将抽象的问题直观化，将复杂的数学问题简单化的目的，数形结合思想的本质是将直观图形与抽象数量关系联系在一起，通过分析图形表示的数学意义，结合数学定理、公式等知识找到解题思路.数与形既相互转化，又相互补充，是学生核心素养养成的重要方法体现.

1 在集合解题中的应用

在集合运算中，如果单纯从文本语言、符号语言方面入手，很难理清数量关系，找到解题突破口.而借助数形结合思想可以使集合运算一目了然，直观地观察到集合的补、并、交等关系，使解题简单化.

例1 假设平面点集

A=x，yy－xy－1x≥0，

B=x，yx－12+y－12≤1，求A∩B表示的平面图形面积.

解析 显然，单纯从字面上很难理清各数量之间的关系，尤其是其中还包含二元一次函数.若想求两个集合交集成的平面图形面积，就要应用数形结合思想，将抽象的数学语言转化为直观的图形，再以图形为基础寻找解题思路.

首先，题目给出了集合

A=x，yy－xy－1x≥0，

可得到两种情况.第一种情况是①y－x≥0且y－1x≥0，第二种情况是②y－x≤0且y－1x≤0.结合函数知识可知上述两种情况属于函数y=x，y=1x 满足不等式组①或②成立时的公共部分.

其次，集合B={（x，y）|（x－1）2+（y－1）2≤1}，可将它看成是圆心为1，1，半径是1的圆.分析到这一步，就可以将两个集合转化为图形，如图1所示.最后，求A∩B表示的平面图形.观察图1就能够看出三种图形的公共区域面积就属于所求的平面图形.又因为直线y=x既是圆的对称轴，又是直线y=1x的对称轴，那么阴影部分的面积就等于圆面积的一半，即π2.从这道题的解析中不難发现，其关键点在于能够将两个集合转化为图形.做到这一步之后，集合的交集求解就会简单很多.

2 在函数解题中的应用

函数解题是应用数形结合思想的重要领域.函数知识板块的重点包括函数表达式、函数图象.在解题中经常需要通过图形进行函数表达式、函数图象的相互转化，找到不同数量关系在数学逻辑上的联系，确定解题思路.尤其是在复杂的分类讨论、参数范围等综合题型中数形结合思想应用更广泛.

例2 求函数y=x2+4+x2－4x+20的值域.

解析 题干信息比较简单，只有函数表达式.所以，我们要从函数表达式入手.对于这类题型，一般是应用配方法将函数表达式转化为代表定点距离之和的式子.

其中x2+4可将其转化为x－02+0－22，看作是数轴上点Px，0到点A0，2的距离.x2－4x+20x2－4x+4+16x－22+42x－22+［0－（－4）］2，可看作是点Px，0到点B2，－4的距离.点Px，0可看作是直线x轴上任意一点.这时就能够将求值域的问题转化为直线x轴上任意一点到两个定点之和的取值范围，解题难度大幅度下降，计算也更加简单.如图2所示的点关系图，只有三点在同一条直线上，点Px，0到点A0，2、B2，－4的距离和为最小，即ymin=0－22+［2－（－4）］2=210.那么y=x2+4+x2－4x+20的值域为210，+∞.从这道题目的解析中能够看出，只有利用数形结合思想，化难为易，化繁为简，才能准确推导、计算，得出正确的结论.

3 在三角问题中的应用

数形结合思想是重要的数学思想方法，在学生的学习与解题中，发挥着重要的作用.数形结合的本质是将数与图形结合，明确解题思路.三角知识是高中数学的重要内容，对于三角知识相关的题目，利用数形结合进行分析，寻找问题的本质，利用图形的直观性，提高学生解题效率.因此，在三角问题解题中，利用数形结合，活化解题思路，提高解题效率.

例3 求证：sin20°＜720.

解析 在此题解答时，如果利用三角方法证明，解题难度比较大.因此，教师可以引入数形结合思想，利用单位圆，结合面积计算公式，对问题进行解答.如图3所示，在单位圆内，三角形AOB的面积是S△AOB=12×1×1×sin20°，扇形AOB的面积是S扇形AOB=12×20π180×12=12×π9，因为三角形AOB的面积比扇形AOB的面积小，所以12sin20°＜12×π9＜12×720，所以sin20°＜720.

4 结语

总而言之，数形结合思想方法是核心素养的重要内容，学生在应用数形结合思想时，应根据题干条件，灵活转化图形与数量关系，再结合已学数学知识列出等式进行计算.这样就能降低解题难度，提升解题效率.

参考文献：

［1］黄希.数形结合方法在高中数学教学中的应用探究［J］.数学之友，2023，37（02）：47-48.

［2］胡亮.数形结合方法在高中数学教学中的应用探析［J］.数理化解题究，2022（33）：26-28.

［3］刘喆琼.数形结合方法在高中数学教学中的应用研究［J］.科幻画报，2022（11）：76-78.