例讲高中数学椭圆中的面积问题

童旗军

【摘 要】  圆锥曲线是高中数学的重要内容，圆锥曲线问题是数学解题中的难点，特别是其中的面积问题，要求学生具备较强的综合能力，考查学生的模型转化、分析推理等能力.因此，作为高中数学教师，传授学生椭圆基础知识的同时，还需要传授学生相应的解题技巧，提高学生的解题能力，有效解决椭圆中的面积问题.

【关键词】  高中数学；椭圆；面积问题

椭圆是高中数学圆锥曲线的典型代表，其中面积问题是椭圆中的常考问题.问题类型主要有面积定值问题、面积最值问题以及面积取值范围问题.本文针对不同问题讲解相关理论，结合例题展示具体解决方法，以供参考.

1面积定值问题

椭圆中面积问题涉及的图形主要有三角形、四边形.四边形中常考的有一般四边形、菱形以及平行四边形.无论涉及何种图形解题时均可将其转化为三角形进行处理.灵活应用三角形的多种面积计算公式，如S=ah，S=absinB等.前者需要求出三角形底边的长度以及底边的高.求底边的长度常将直线和椭圆方程联立.求点到直线的距离则应用点到直线的距离公式.后者需结合正弦定理、余弦定理进行计算.表示出三角形的面积后，看最终能否将设出的参数消掉，若能消掉说明其面积为定值，反之则不是^[1].

例1已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，且点M（1，）在椭圆上.

（1）求椭圆的方程；

（2）四边形ABCD的顶点在椭圆上，且对角线AC，BD过原点，直线AC和BD的斜率之积为-，试问四邊形ABCD的面积是否为定值？请说明理由.

分析问题（1）根据椭圆离心率以及点M在椭圆上，可求得a²=2，b²=1，不难得出椭圆的方程；问题（2）由椭圆的对称性得出四边形ABCD为平行四边形，将问题转化为求其中△AOB的面积问题.设出直线AB的方程后，和椭圆方程联立计算出|AB|，运用点到直线的距离求出△AOB的高.

解析（1）由e=，可得=.

将点M（1，）代入到+=1，

得到+=1，

而c²=a²-b²，可得a²=2，b²=1，

椭圆的方程为+y²=1，

（2）若直线AB的斜率不存在，设A（m，n），B（m，-n），C（-m，-n），D（-m，n），

由k_AC·k_BD=-=-，

而+y²=1，则m²=1，n²=；

根据椭圆的对称性不妨取A（1，），B（1，-），C（-1，-），D（-1，），

此时|AB|=，|AD|=2，则S_{四边形ABCD}=2；

若直线AB的斜率存在时，设为y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），

将其和椭圆方程联立整理等到：

（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，

=16k²m²-4（1+2k²）（2m²-2）=16k²-8m²+8，

则x₁+x₂=-，x₁x₂=，

由k_AC·k_BD=-，则x₁x₂=-2y₁y₂，

即，x₁x₂=-2（kx₁+m）（kx₂+m），

整理得到：（1+2k²）x₁x₂+2km（x₁+x₂）+2m²=0，

即，2m²=1+2k²，

则=8k²+4＞0，

则|AB|==，

则原点到直线AB的距离d==，

而S_{四边形ABCD}=4S_△AOB=4×|AB|d=2××=2.

综上分析四边形ABCD的面积为定值2.

点评在椭圆中过原点两条直线和椭圆交于四點，四点构成的四边形为平行四边形.对角线将四边形的面积分成相等的四份，求解面积只需求其中一个三角形的面积即可.

2面积最值问题

求椭圆中图形面积的最值常用的处理方法有两种：第一种，经过运算使用参数表示出图形面积后，采用拼凑方法将其转化为基本不等式，运用基本不等式知识求出最值.当然解题时需保证等号能够取到；第二种，当无法拼凑出基本不等式时需借助函数性质进行分析，将其转化为二次函数或者其他函数.对于其他函数可运用导数知识进行分析.

例2如图1，已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），的左右焦点分别为F₁，F₂，两焦点的距离为2，其中P（x₀，y₀）为第一象限内椭圆C上的一点，PF₁，PF₂的延长线分别和椭圆C交于点Q₁，Q₂，当∠F₁PF₂=60°时，△F₁PF₂的面积为；求：

（1）求椭圆C的方程；

（2）△F₁F₂Q₁和△F₁F₂Q₂的面积分别为S₁，S₂，则S₂-S₁的最大值.

图1

分析问题（1）设出PF₁，PF₂的长，运用椭圆性质及三角形的面积，余弦定理构建PF₁，PF₂的方程；（2）结合图形将三角形面积关系转化为Q₁，Q₂纵坐标的关系.设出直线PF₁，PF₂的长的方程，分别和椭圆方程联立，将Q₁，Q₂纵坐标作差运用基本不等式求出最值.

解析（1）设|PF₁|=m，|PF₂|=n，

由椭圆定义可得m+n=2a；

由△F₁PF₂的面积为，

可得mnsin∠F₁PF₂=，

整理得到：mn=.

在△F₁PF₂中，|F₁F₂|=2，

由余弦定理得到：

|F₁F₂|²=|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁||PF₂|cos∠F₁PF₂，

整理得到：m²+n²-mn=8，

易得m+n=4，則a=2，b=，

则椭圆C的方程为+=1：

因P（x₀，y₀）为第一象限内，则x₀＞0，y₀）＞0，F₁（-，0），F₂（，0），

则直线PF₁的方程为y=（x+），

将其代入到椭圆C的方程中整理得到：

（2x₀+6）y²-2（x₀+）y-2y₀²=0，

则y₁y₀=，

则y₁=-，

同理得到：y₂=，

则S₂-S₁=|F₁F₂||y₂-y₁|=|y₂-y₁|；

|y₂-y₁|=|+|=||=||==≤=，

当且仅当=，即，x₀=，y₀=时取等号，

此时S₂-S₁的最大值为.

点评习题要求图形面积差的最值，因两个三角形有共同的底|F₁F₂|，则将问题转化为Q₁，Q₂纵坐标的差值.通过整理可将其拼凑出基本不等式，借助基本不等式得出结果，而且等号能够取到.

3面积范围问题

椭圆中图形面积范围需找到面积的下限和上限，从这一点来看其比最值问题的运算量稍大.该问题中图形面积的表达式一般较为复杂，能否对面积表达式进行高效、正确地处理是解答该类问题的关键.其中换元法是处理最后结果的常用方法，能达到化繁为简的目的.当然换元后仍不能清晰地看到函数的增减性，可将其局部表达式拿出来研究，直到问题顺利突破^[2].

例3已知A（-2，0），B（2，0），动点M（x，y）满足AM和BM斜率之积为-；求：

（1）点M的轨迹曲线C的方程；

（2）曲线C上存在P、Q两点，且满足AP⊥AQ，求△APQ的面积取值范围.

分析问题（1）根据斜率的关系，整理便可得出曲线C的方程，需要注意的是直线斜率不存在的情况；问题（2）分别设出直线AP和AQ的方程和曲线C的方程联立，求出|AP|、|AQ|，表示出△APQ的面积，结合参数范围以及函数性质求出其取值范围.

解析（1）根据题意直线AM，BM的斜率分别为

k_AM=（x≠-2），k_AQ=（x≠2），

由AM和BM斜率之积为-，得到·=-，

整理得到：+y²=1（x≠±2）；

（2）设点P在x轴上方，直线AP的斜率为k，则k＞0，

易得直线AP的方程为y=k（x+2），

将其和+y²=1（x≠±2）联立整理得到：

（1+4k²）x²+16k²x+16k²-4=0，

=（16k²）2-4（1+4k²）（16k²-4）=16＞0，

由韦达定理可得-2x_P=，

则x_P=，

则|AP|=|x_P+2|=||=（*），

因AP⊥AQ，则将-代入（*）得到

|AQ|==，

则S_△APQ=|AP||AQ|=××=；

令t=k+，因k＞0，则t≥2，

则S_△APQ==.

当t≥2时，4t+单调递增，

即，4t+≥，

则S_△APQ（0，].

点评求得的△APQ面积的表达式较为复杂，在保证参数范围一致的前提下进行换元.但是换元后发现，其不能直接使用基本不等式，此时需运用“对勾函数”性质求出最值.

4变式训练习题：

4.1  已知F₁，F₂为椭圆已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左右焦点，以F₁F₂为直径的圆和椭圆在第一象限的交点为P，△PF₁F₂内切圆的半径为2-，且△PF₁F₂的面积为1.

（1）求橢圆C的标准方程；

（2）过椭圆的右顶点B，作相互垂直的直线和椭圆C分别交于D、E两点，若直线DE和x轴交于点T，O为坐标原点，△OTP的面积是否为定值，如果是定值，求出该定值，如果不是说明理由.

答案：+y²=1；是定值，定值为.

4.2  已知点A、B分别在直线y=x和y=-x上运动，且满足||=，设O为坐标原点，动点G满足=+.

（1）求点G运动的曲线C的方程；

（2）直线l：y=kx+m（m≠0）和曲线C交于M、N两点，当，|OM|²+|ON|²恒为定值时，求△MON面积的最大值.

答案：+y²=1；1.

4.3  已知椭圆+=1（a＞b＞0），四点P₁（，），P₂（0，1），P₃（1，），P₄（1，-），中恰有三点在椭圆C上.

（1）求椭圆C的方程；

（2）设O为坐标原点，过点Q（2，0）的直线l和椭圆C交于M、N两点，求△OMN的取值范围.

答案：+y²=1；（0，].

5  结语

本文通过分析椭圆中面积问题的典型例题，探究具有代表性和针对性的解题方式，也是解决椭圆中面积问题的有效方法.在面积问题解题中，构建相应的模型和圆锥曲线，通过联立和整合，代入化简等方式，准确解答问题.

参考文献：

[1]雷应峡.椭圆中面积类型题的解法探究[J].数理天地（高中版）， 2022（24）：11-13.

[2]舒文楷陈清华.对一道椭圆内接四边形的面积最值问题的多视角解析[J].数学通讯（学生阅读）， 2019（05）：55-57.