探究椭圆离心率取值的求解方法

陈铤

【摘  要】  椭圆离心率问题是高考的常见题型，本文通过对几种方法的研究与归纳，帮助学生理解此类问题.除了对解题方法的了解，也应该掌握该类问题相关的知识点，夯实基础，从而触类旁通.

【关键词】  高中数学；椭圆离心率；解题方法

圆锥曲线是高中数学的核心知识点，而在高考中，对于离心率的求解和范围的求取一直都是高频考点，离心率，要求离心率，就要根据题目所给的條件得出之间的关系.而得出三者关系的方法多种多样，所以求离心率也有多种方法.下面，笔者将结合例题详细探究椭圆离心率取值的求解方法.

1  巧用定义法求解

离心率问题可以利用椭圆的定义来求解，根据椭圆的定义，分别确定c和a的值，再求值，在此类题目中往往给出了椭圆中的一些线和角之间的关系，需要通过一定的转化得出的值，最后运用公式求解.

例1直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则求该椭圆的离心率.

（A）. （B）. （C）. （D）.

解析 如图1，在椭圆中，其中一个焦点为F，对应的短轴的一个顶点为B，椭圆中心O到直线l的垂线的垂足为D，

则有，，

.

在中，，

且，代入解得，

所以椭圆的离心率为，

所以答案选（B）.

设出相应的顶点与焦点，利用题目的条件建立它们之间的关系式，然后运用等面积来进行转化，进而能够确定参数c和a的值，最后运用离心率的定义公式来求解出椭圆的离心率.

2  巧用方程求解

根据题目中的条件构造出关于a，b，c的关系，从而得到离心率e的方程，应用此种方法的关键是要构造相对应的方程，但解不等式时要注意椭圆离心率的范围，适时进行取舍.

例2  在平面直角坐标系中，椭圆C的标准方程为，右焦点为F，右准线为l，短轴的一个端点为B.设原点到直线BF的距离为，F到l的距离为，若，则求椭圆C的离心率.

解  如图2所示，由于，

由等面积法可知.

则有，

而根据椭圆的几何性质知，

那么，

整理得，

两边都除以并整理得，

解得或（舍去），

即或（舍去），

故答案为.

利用方程法求解椭圆的离心率问题，关键是构造相应的方程，但解方程时要注意对应椭圆离心率的特征，对方程相应的根加以取舍.

3  巧用坐标求解

坐标法就是根据已知条件，将问题中的相关点转化为坐标点，然后利用相关知识来解答问题的方法，椭圆的离心率问题往往都与坐标轴及坐标有关，适时利用相关点坐标也能求解离心率相关问题.这种方法也是用来求椭圆的离心率的一种常用方法，学生需要熟练掌握坐标的相关知识.

例3  F是椭圆的右焦点，直线与椭圆交于B，C两点，且，则求椭圆的离心率.

解析  因为，且可以表示出来，

所以可以用向量或斜率等代数知识表示，

根据题意求得点，

又根据，

所以，

解得.

坐标法主要是运用解析几何的相关代数知识，把相关点的坐标用表示出来，再利用点在曲线上这一条件，建立其关于的等量关系，最终求出椭圆的离心率.

4  结语

椭圆的离心率问题是高考中的一个热点问题，覆盖了高中的多个知识点，能够综合的考查学生的能力，在遇到一个椭圆离心率问题时，其实本质就是要求出之间的关系，用合适的方法求出三者之间的关系后，就能求出椭圆的离心率.

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