高中数学教学中立体几何解题技巧的分析与探讨

赵亚茹

【摘  要】  立体几何属于高中数学课程体系中的重点知识，还是一大难点，因为学生之前接触的几何知识都是以平面为主，无需考点、线、面之间的空间关系，而立体几何类题目灵活多变，既要考虑平面关系，还要分析空间位置，对他们的空间观念有着较高要求.在高中数学教学中，教师需围绕立体几何开设专题训练，帮助学生掌握相应的解题技巧.本文针对高中数学教学中立体结合解题技巧进行分析与探讨，并罗列部分解题实例以供参考所用.

【关键词】高中数学;立体几何;解题技巧

在数学学习过程中，平面几何习题难度相对一般，随着立体几何教学的推进，习题难度也在不断提升，往往涉及各种几何概念与定理，以及各种几何图形的组合与分割技巧，假如学生的空间想象能力不强，他们就极易陷入解题困境中，很难理解与分析题目.高中数学教师在平常教学中应高度重视立体结合解析题技巧的研究，带领学生开设立体几何解题训练活动，使其不断积累解题经验和技巧，让他们能够做到举一反三，思维变得更加灵活^[6].

1  用分类讨论技巧，解答立体几何试题

在高中数学立体几何解题教学中，部分题目的结论并非唯一确定的，有些题目的结论则在解题过程中无法采用统一的形式展开研究，这时就要根据题目的特点与要求，分成若干个类别，转变成多个小问题进行解题，即为对分类讨论思想的应用.因此，高中生处理立体几何题时首先需认真阅读题目内容，仔细审题后充分理解题意，分析满足题干中条件的所有可能，然后画出相应的草图加以辅助分析，最终他们通过分类讨论保证思考问题的全面性^[1].

例1  已知一个斜三棱柱的底面是直角三角形，其中是一个直角，且，，，侧棱与底面直角呈60°角，那么该斜三棱柱的体积是多大？

解析  学生通过认真审题，发现结合题干中的描述无法准确判断出点在直线上的具体问题，所以要用到分类讨论思想，对可能出现的几种情况均进行分析和研究，找出符合条件的情况，最终得到全面的答案.

具体解题方式如下：由于是直角，故与是垂直关系，又因为，则与的公共点是点，那么，平面与平面也是垂直关系，所以点在平面上的射影在直线上面，过点作于点，设，下面进行分类讨论，

（1）如果点在线段的延长线上面，把，连接起来，

则，，

在直角三角形中，容易得到，

在直角三角形中，结合勾股定理可得，则，

该斜三棱柱的体积；

（2）如果点位于上面，在直角三角形中结合勾股定理可以得到，这时点与点是重合的，则；

（3）如果点位于线段的延长线上面，在直角三角形中无法求得的值，故不符合题意；总的来说，该斜三棱柱的体积是或者.

2  应用向量法技巧，解答立体几何试题

向量法就是把立体几何放置到三维直角坐标系中，设定数值，且求出向量的值，只要是能够建立空间直角坐标系的题目，均可以使用向量法进行求解，与传统方法相比，虽然计算量稍微多一些，但是优点在于无需费动脑筋画辅助线，只需要简单地按照套路展开计算即可，特别适用于比较复杂的题目.高中数学教师可以指引学生应用向量法将立体几何问题转变成代数问题，弥补空间想象能力不足的缺陷，让他们通过构建合理的空间直角坐标系解题^[2].

例2  如图1所示，在四棱台中，底面是一个矩形，平面与平面是垂直关系，且，求（1）证明与平面是垂直關系；（2）如果与平面所成的角是，那么二面角的余弦值是什么？

解析  在第（2）问中可以采用向量法求解，结合题目中提供的图形与现象建立空间直角坐标系，从中找到解题的切入点，最终准确求得结果.

具体解题方式如下：（1）作于点，把连接起来，

根据，

得到，，

则，，

那么，

在三角形中能够得到，故是一个直角三角形，，

又因为平面与平面是垂直关系，且是两个平面的交线，

所以与平面是垂直关系，，因为和是垂直关系，故与平面也是垂直关系；

（2）把连接起来，以为坐标原点，建立出如图2所示的空间直角坐标系，因为与平面是垂直关系，那么在平面内的射影是，与平面所成的角是，大小是，

在直角三角形中可以得到的值是3，

则，，，，，

那么，，

，，

设，是平面的法向量，则，，

整理以后得到，，

令，能够求出，

设是平面的法向量，

则，，

整理以后得到，，

令，则，

根据图2可知二面角是一个锐二面角，

则，

所以说二面角的余弦值是.

3  采用转化法技巧，解答立体几何试题

转化法在高中数学解题中比较常用，广泛适用于各类题目，主要思路是将一个问题进行转化，达到化陌生为熟悉、化难为易、化复杂为简单、化抽象为具体的效果，这既是一种关键的解题思想，还是一种基本的解题策略，也是一种有效的解题思维.针对高中数学立体几何解题教学来说，当遇到一些难度较大的题目时，教师可以提示学生采用转化法的解题技巧，对题目中的一些信息或条件进行适当转化，使其从中找到解题的切入点，从而准确解题^[3].

例3  已知如图3所示，在四棱锥中，是的大小是120°，且是的2倍，与均是直角，，平面与平面是垂直关系，的中点为点，（1）求证与平面是平行关系；（2）求点到平面之间的距离是多少？

解析  在第（2）问中，是一道求点到平面之间距离的问题，这时可以使用等体积法展开转化，把距离问题转化成求解平面图形的面积问题.

具体解题方式如下：（1）取的中点是，分别把，连接起来，由于是的2倍，且为120°，则与的和是180°，则与是平行关系，又因为，四边形是一个平行四边形，则与是平行关系，根据三角形中位线定理能够得到与是平行关系，且与的公共点是，故平面与平面是平行关系，所以与平面同样是平行关系；

（2）如图4所示，取的中点，把连接起来，在与是平行关系，且，由于与均是直角，平面与平面是垂直关系，则与平面也是垂直关系，

因为与是平行关系，，则，且与平面是垂直关系，即为，

由于是是平行关系，是60°，

则，

所以在三角形中，，

则，

然后过点作与点，那么与是平行关系，

容易得到，把连接起来，

能够得到，

则，

所以，

解之得，这表明点到平面之间的距离是.

4  使用割补法技巧，解答立体几何试题

割补法作为一种十分常见的解题方法，通常应用至各类几何题目当中，自然也包括立体几何，其思路是将一个不规则图形分割成多个规则图形，或者把一个不规则图形补成规则图形，继而便于题目的处理和解答.在高中数学立体几何解题训练中，当题干中提供的立体几何图形不规则时，教师可以指导学生使用割补法的技巧，有针对原图形进行“割”或者“补”，使之成为规则的图形，更为直观地呈现出点、线、面间的关系，辅助他们顺利求解题目^[4].

例4  已知在等腰三角形中，與的值相等，均是3，的值是4，把这个三角形沿着中线折起来得到一个四面体，使得的值变为，那么这个四面体的外接球表面积是多大？

解析  在本题中最先得到的立体图形是一个三棱锥，处理起来难度较大，这时可以使用割补法，将这个三棱锥补成一个直棱柱，这样解决的话将会容易一些.

具体解题方式如下：根据题干中提供的信息可知与的值都是3，的值是4，的值是，则与的值相等，均是2，结合勾股定理可得的值是，

在三角形中，根据勾股定理能够得到

，

代入相关数值得到，那么，

设三角形的外接圆半径是，则，因为与是垂直关系，和也是垂直关系，与的公共点是点，则与平面同样是垂直关系，这是可以把三棱锥补充成一个直棱柱，如图5所示，设该直棱柱的外接球半径是，那么容易得到，则该直棱柱的外接球表面积是，即为这个四面体的外接球表面积是.

5  结语

总而言之，在高中数学教学中，立体几何是难度相对较大的一部分知识，相应的习题难度也比较大，如果不采用一些解题技巧的话，学生很难顺利地解答题目，还会经常遇到思维障碍，教师应结合立体几何知识的与题型的特征，指引他们学会灵活使用分类讨论、向量、转化、割补、函数与辅助线等技巧进行解题，不断提升他们的解题水平，改善数学思维品质.

参考文献：

[1]丁伟.高中数学立体几何的解题技巧指导[J].数学大世界（下旬），2021（03）：77.

[2]黄淑莎.关于高中数学立体几何解题教学的实践[J].数理化解题研究，2021（24）：22-23.

[3]张春红，营九洲.浅谈高中数学立体几何解题技巧探析[J].数理化解题研究，2021（21）：28-29.

[4]葛宏伟.高中数学中立体几何试题的有效解题方法探究[J].数理化解题研究，2021（10）：38-39.

[5]李易民.高中数学中的立体几何解题技巧分析[J].数学大世界（下旬），2020（07）：10.