基于高考题探究高中数学解题教学研究

张春晓

【摘  要】  不等式是高考数学考点之一，围绕不等式设计的高考题不胜枚举，包括不等式证明题、比较大小问题、求最值问题、综合应用问题等多种类型题.学生只有掌握不等式问题的解题技巧，才能够轻松应对不等式问题.本文以人教版高一数学必修第一册“一元二次函数、方程和不等式”一章的解题教学为例，分析如何应用高考题培养学生的解题能力，指出教师可以通过提炼考点分析解题原理、归纳考题总结解题方法、模仿考题设计练习作业、基于高考评价体系完善解题教学评价等多种方式提升解题教学质量，以供参考.

【关键词】  高考;高中数学;解题教学;策略

高考题综合考查了学生对高中数学理论知识、数学方法的掌握情况，是一类具有较高育人价值的教学资源.基于高考题对学生展开解题教学，不仅可以对学生阶段性学习情况进行诊断，还可以锻炼学生的解题能力，活跃学生的解题思维.然而，鉴于高考题本身难度高、综合性大的特点，部分学生在解高考题时存在困难.教师应当发挥自身的引导教学作用，挖掘高考题内蕴藏的数学原理，并用通俗易懂的语言讲解类型题的解题方法，促进学生的综合提升.

1  围绕考点分析原理，奠定数学解题基础

数学高考题的设计以《全国高考考试大纲》（以下简称《考纲》）为基准，围绕《考纲》中的具体理论知识设计问题，意图让学生应用《考纲》中的知识点解题^[1].完成“一元二次函数、方程和不等式”一章的知识教学后，教师可应用多媒体呈现高考题.先组织学生分析高考题的主要考点，引导学生对相关数学理论知识的全面复习.之后，组织学生应用相关知识点解答问题，在学生自主尝试、自主探究之后，教师为学生讲解相关知识点的具体应用，进一步加深学生对基本原理的感悟，为提升学生的解题能力奠定基础.

例如  教师可呈现如下例题：（2019年天津理科）设，，，则的最小值为     .

这一问题是一道典型的不等式求最值的问题，其主要考点为“基本不等式”.针对这一考点，教师可组织学生回顾相关知识，如：基本不等式是主要应用于求某些函数的最值及证明的不等式，其表述为两个正实数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数；基本不等式的应用前提是“一正、二定、三相等”，其中，“一正”指的是两个式子都为正数，“二定”指的是用基本不等式求最值时，和或积应当为定值；“三相等”指的是当且仅当两个式子相等时，才能取等号.在学生回顾完相关知识后，教师指导学生应用具体理论分析问题，并在黑板上板书解题过程：

由，，，

则可被变形为

；

根据基本不等式得到

；

当且仅当时，即：，时，

即：或时，等号成立，

故的最小值为，得到高考题答案为.

针对高考题进行解题教学时，教师可以先组织学生分析高考题的数学考点，在提炼考点的基础上引导其联想、回顾相关知识，为其夯实理论解题基础.之后，再与学生共同应用具体理论解决问题，通过数学推演、数学运算求得问题答案，以此巩固学生知识基础，锻炼学生解决典型类型题的能力.

2  综合考题总结方法，提升数学解题能力

数学思想是对数学事实、数学理论的本质认识，数学方法指的是为了达到数学目的而采取的手段、方法^[2].数学思想与数学方法有着深刻联系，且都可被用于解题教学当中.应用高考题进行解题教学时，教师可以对考题进行分类整理，分析不同类型题适用的解题思想或解题方法，并为学生总结思想方法的应用技巧，让学生在解题学习的过程中形成清晰的解题思路，从而提升学生的数学解题能力.下面，文章将以“一元二次函数、方程和不等式”的解题教学为例，分析应用高考原题提升学生解题能力的策略.

2.1  用放缩法解证明问题

放缩法是一种放宽或缩小不等式范围的数学方法，经常被用在多项式中，如“舍掉一些正（负）项而使不等式各项之和变小（大）”或“在乘积式中用较大（或较小）因式代替”等等.放缩法是解不等式证明问题的主要方法之一.教师可以收集高考数学的不等式证明问题，并为学生分析题目特点，演绎应用放缩法解不等式证明问题的过程，让学生在学习、模仿的过程中领会放缩法的本质，学会用放缩法解决类似问题.

例如教师可应用如下高考题：（2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷））设为正整数，为正有理数.（Ⅰ）求函数的最小值；（Ⅱ）证明：.分析问题，发现该问题的第（Ⅱ）小问是一道典型的求证不等关系的问题.针对这一类型问题，可以应用此方法解决.同时，解决第（Ⅱ）小问，需要先解第（Ⅰ）小问.具体解题过程如下：

证明（Ⅰ），

所以在上單调递减，在上单调递增；

所以.

（Ⅱ）由第（Ⅰ）小问知：当时，（伯努利不等式）；

所证不等式即为：；

如果，则

因为，

令，可得，

所以，，

所以，故式（1）成立.

若使，显然成立.

因为，

所以，故式（2）成立.

综合所有因素，可证明原不等式成立.

完成演绎教学后，教师可将正确的解题步骤擦去，让学生结合解题教学内容重新应用缩放法证明不等式，进一步巩固学生对缩放法的记忆，使其在深度思考、自主应用的过程中真正掌握证明不等式的具体方法.

2.2  用方程思想求解应用问题

函数与方程思想是一种应用函数性质、函数图像、方程模型化简问题、解决问题的思想方法^[3].将函数与方程思想渗透进不等式的高考数学题解题教学当中，有利于打破学生的局限思维，使学生学会从函数与方程的角度分析问题，解决问题，从而提高学生的解题效率.解题教学中，教师应抓住高考题的本质特征，引导学生提炼题目关键信息并建构函数、方程模型，帮助学生快速理清解题思路.

例如  教师可应用方程思想指导学生解决如下高考题：（2016年新课标理科试卷）：某高科技企业生产产品A与产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料千克，乙材料千克，用个工时；生产一件产品B需要甲材料千克，乙材料千克，用个工时.生产一件产品A的利润为元，生产一件产品B的利润为元.该企业现有甲材料千克，乙材料千克，则在不超过个工时的条件下，生产产品A、B的利润之和最大为     元.这一问题给出的信息过多，看起来杂乱无章.为使学生在尽短的时间内确定解题方向，教師可让学生提炼题目中的关键量，并分析不同量之间的数量关系，指导学生构建函数与方程模型：解：设A、B两种产品分别是件与件，获利为元，则有下列数量关系：.之后绘制不等式组表示的可行域图示（见右图），根据题意得到解得，目标函数，经过点A时，直线的截距最大，目标函数取得最大值（元），得到原题答案为最高利润之和可能为元.

高考数学题不乏不等式的实际应用题.如何在简短的时间内理清解题思路，同时快速求解是高中学生目前应重视的解题学习问题.教师应当在解不等式应用题的过程中渗透函数与方程思想，通过指导学生构建模型、绘制函数图像等方式化简综合应用题的解题步骤，使学生掌握快速解决应用题的技巧.

3  完善习题教学评价，促进学生反思提升

教学评价具有教学诊断、教学导向等多种教育功能^[4].基于高考题开展高中数学解题教学时，教师要基于学生的实际学习情况给出合适的教学评价，帮助学生客观认识自身的发展情况，从而促进学生的反思提升.为此，教师可以借鉴高考评分体制设计解题教学评价标准，由具体标准指出学生的发展不足；同时，教师还可以将过程性评价、诊断性评价等评价模式用于解题教学当中，通过跟踪评价的方式让学生在解题学习的同时反思自我，进一步提升学生的纠错、改错能力.

例如教师可组织学生完成如下高考题：（2022年全国卷甲（文科））：已知，，，则（   ）

（A）.     （B）.     （C）.     （D）.

很多学生在解这一高考题时能够结合指对互化的相关知识以及对数函数的单调性分析问题，得到，再结合基本不等式、换底公式得到、，得到正确答案A.然而，另外一部分学生在解决此题时缺乏清晰的解题思路，进行大量运算却无法求得问题的正确解.在评价不同学生时，教师可以综合高考评价体系的“一核”、“四层”、“四翼”三部分内容设计评价标准，如：学生是否能够在解题过程中明确题目的考点，同时联想相关知识点；学生是否能够在分析问题时联想基本的数学思想与方法，并尝试利用具体方法求解问题；学生是否能够进行高效运算并计算出准确结果；学生是否能够尝试更多方法解决高考题；学生是否能够将解决此问题的方法迁移到其他问题的解题过程中，且取得正确答案……通过完善评价标准，从学习基础、学习综合、学习应用、学习创新四个层面考查学生的解题学习情况，确保学生能够在评价的引导下掌握必备知识，形成关键能力，提升核心素养.

4  结语

综上所述，以不等式为考点的高考数学题不仅考查学生对不等式概念、不等式性质等基本知识的掌握情况，还考查学生对放缩法、作差法（或作商法）等数学思想方法的掌握情况.实际教学中，教师应当尽可能地将具有教育价值的高考原题引入高中数学课堂教学当中，通过呈现案例习题、讲解案例习题、设计变式问题等多种方式提升学生的数学理解、数学分析、数学解题能力.

参考文献：

[1]刘震.例谈高中数学解题方法与技巧[J].数理化解题研究，2022（36）：23-25.

[2]薛安定.基于运算素养的高中数学解题教学对策——以某一圆锥曲线综合问题为例[J].数理天地（高中版），2022（24）：23-24.

[3]程伟.数列求和与不等式放缩问题的解题策略[J].高中数学教与学，2022（23）：16-18.

[4]张昆，王颖超.数学解题教学：用一般思路引领具体操作——以一道数列不等式高考题为例[J].教育研究与评论（中学教育教学），2022（09）：65-68.

[5]徐洁.逆向思维在高中数学解题教学中的应用[J].中学数学，2022（11）：67-68.