例谈立体几何背景下排列组合问题的不同解题思路

张亮亮

【摘要】高考数学中排列组合问题常常会和其他知识内容进行综合性联系，通过对排列组合的可能情况个数的提问考查学生对知识的掌握情况和熟练程度.解答几何体背景下的排列组合问题，不仅要求学生熟练掌握排列组合知识，还要求学生能够灵活处理图形中涉及的点、线、面等关系.本文主要分析与几何体有关的排列组合问题，从具体例题中分析得到求解的不同思路，以供学生在学习过程中参考和借鉴.

【关键词】立体几何；排列组合；解题技巧

1 直接分类思路

直接分类思路解答与立体几何有关的排列组合问题，往往会根据问题要求做出一定的分类，进而在不同情况下探讨排列组合的情况.以立体几何作为载体，必定与点、线、面有关，此时应按照不同几何位置考虑分类，在具体例题中解答步骤可表现为：

①分析幾何体特点和问题要求，根据定义、性质、位置等进行分类，如共面的点可以分为两类情况：在几何体同一表面的点以及三点共面且不是几何体表面的点；

②按照不同情况讨论满足题意的排列组合数，相加得到的总和即为对应问题的答案.

例1 如图1所示，四棱锥P－ABCD以点P作为顶点，如果在该四棱锥中其余顶点和各条棱长所对应的中点处任取3个点，要求这3个点和点P在同一个平面内，则不同的取点方法一共有种.

2 间接排除思路

间接排除思路适用于分类情况复杂且容易遗漏的排列组合问题，通过利用逆向思维，间接求出相关值进而得到所求答案的方法.运用间接思路求解几何体中排列组合问题，一般思路为：

①根据问题所给条件，找出与题意相反的对应情况，运用分步或分类计数原理得到对应排列组合情况个数；

②求出所有排列组合总数，用总组合数减去所求相反情况的排列组合个数，即可得到问题所求值.

例3 要求某一个四面体的全部顶点是长方体的顶点，则满足要求的四面体一共有个.

分析 问题可以理解成在长方体中任意选择4个顶点能够构成四面体的个数，直接求解分类或分步时容易漏解或多解，故考虑间接思路解题.首先求出长方体中任意选择4个顶点的所有可能个数，其次对4个顶点共面的组合情况做出解答，两者相减即可得到满足题意的排列组合数.

解析 ①在长方体的8个顶点中任意选择4个顶点，一共有C48种情况；

②当选择的4个顶点共面时，有12种排列组合情况.

由题意可得：选择的4个顶点构成四面体，4个顶点不共面.

故满足要求的四面体有C48－12=58（个）.

例4 从正方体6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选取法共有（  ）种.

（A）8. （B）12. （C）16. （D）20.

分析 此题直接求解分类或分步时容易漏解或多解，故考虑间接思路解题.根据已知条件，首先从6个面中任意选取3个面，可知其所有选取情况，再得出其中有3个面均相邻的所有选取情况，最后两者相减即可得到满足题意的排列组合数.

解析 从6个面中任意选取3个面，一共有C36 种选取情况；

其中有3个面均相邻，一共有 8 种选取情况.

故满足要求的选取情况有C36－8=12（种）.

故选（B）.

3 结语

立体几何背景下有关于点、线、面的排列组合问题，分别有两大解题思路，即分类讨论求解思路以及间接排除求解思路.当问题要求过于复杂时，应选取间接排除思路求解.这些知识点交汇的问题虽然题型新颖，但万变不离其宗，解题依旧离不开这些常见的解题思路应用.学生只有牢牢把握这些解题思路与适用范围，才能使问题的解答更加顺利、准确.希望学生能针对不同类型的问题采取相对应的解题方法进行解答.在解题过程中应加强对问题条件的分析应用，借助已知条件和相关性质去灵活解答，以此提高解题的效率.

参考文献：

[1]赵艺川.以立体几何为载体的概率题的解法[J].中学数学月刊，2008（1）：39-41.

[2]袁媛.例谈立体几何的“运动”类型[J].数学之友，2022，36（8）：3.