牵手“向量” 鏖战正余弦

汪俊 谢刚

【摘要】新高考中，向量知识有很强的“工具性”，本文通过一道模考题，试图通过牵手“向量”，鏖战有正余弦定理知识的三角函数大题.

【关键词】高中数学；向量；正余弦

思维水平层次指向 关联结构.试题线索丰富，在三角形背景下，利用向量、正余弦定理、解析几何等知识解决相关问题.

思维类型 深刻理解三角形边与角、向量表示的结构化形式，内化由向量知识推演出余弦定理和正弦定理的数学能力和智慧，熟练运用向量的符号语言和坐标语言，适时建系.

差异性分析 60%学生能完成第（1）小问，但是通过转化向量结构采用方法1的解答不多；采用方法2的学生较多，道路曲折，解题过程不严密；方法3有“建系”意识的学生不多.

第（2）小问，学生采用方法1利用“两次”正弦定理求解的较多，但是在处理和转化边与角的过程不够顺畅，其中转化成∠CAD=π2-∠B是个思维“盲点”；利用方法2“建系”的学生不多.

5 归根分析

题目出处 两小问分别是苏教版必修5课本中利用余弦定理和正弦定理研究.

三角形中线和角分线性质例题的换种呈现方式.三角形中线AD满足AD=12AB+12AC，同理.由AD=25AB+35AC就可以确定点D在边BC的位置，这种互换条件和结论的思维方式，学生处理起来思维比较“钝化”.两小问中，第（1）问是特殊情形，第（2）问是一般情形.第（1）问已知角求距离（有余弦定理立意倾向），第（2）问已知距离求角（有正弦定理倾向）.但两问都可以通过建系代数化解决，本质其实是向量符号语言和坐标语言的统一，两种问题、两种解法相得益彰.

归根流变 一个三角形变成两个三角形，两个三角形还可以变成三个三角形.

這样就引申出三角形的外心、内心、垂心和重心，而这些都可以通过向量形式呈现.三角形中AB+ BC+ CD= 0这一向量“回路”蕴含的很多数学精髓，同时由正弦定理可以推导余弦定理就让正余弦合二为一，紧密融合.“牵手”向量，“带上”正余弦定理，不忘“建系”，三角形的求解会更精彩.