数学实验教学中思维可视化的探索与实践

摘要 数学实验能有效提升学生的创新素养和动手实践能力，是学生思维可视化的载体。通过实验探究、化静为动、溯源探流等方式可以让隐性思维显性化、抽象思维形象化、思维认知结构化，从而凸显数学实验中思维可视化的教学价值，逐步提升教师数学实验活动课程的开发和设计能力。

关  键  词 数学实验 思维可视化 隐性思维显性化 抽象思维形象化 思维认知结构化

引用格式 高杰.数学实验教学中思维可视化的探索与实践[J].教学与管理，2022（26）：33-36.

小学数学实验是为更好地促进小学生理解数学概念和原理、验证数学猜想、歸纳数学规律、解决数学问题，借助一定的实验材料，通过一定的数学实验方法，在数学思维活动的参与下于实验环境中进行的一种数学建模过程和数学探究活动[1]。数学实验倡导“玩做学合一”，在可视的实验环境中深度理解数学概念和原理，化抽象为直观、变静态为动态，实现由训练性学习向探究性学习的转型。

思维的可视化是在教师精心设计和开发数学实验活动时，使问题在可视的数学实验中得到验证和解决，促进学生在活动中操作、猜想、验证、归纳、推理、建立模型、提出方法。通过多维表达、操作留痕、思维导图等方式，达成物化思维成果、呈现思维轨迹、完善思维认知结构的教学目标，进而创生知识、积累数学活动经验，使数学学习更有创意、更丰富、更多元、更有个体意义。在数学实验活动中培养学生的创新素养和科学探究精神，使学生获得“带得走”的能力，真正实现学习方式的变革。

一、思维可视化存在误区

在数学实验教学的案例设计与实施中，有的教师认为动手操作就是实验教学。然而数学实验教学更关注的是学生通过操作、观察、推理和反思等活动深度理解、发现规律，形成数学思维的可视化过程。在全体学生共同参与、集体讨论中，逐步走向深度学习。随着数学实验教学的深入展开，具体教学中存在以下几个误区。

1.重形式，轻本质

数学实验是教师深入解读实验内容，借助实验材料，让数学内容的本质属性客观化的一种教学手段。学生在操作、思考、观察、比较、推理和验证中，通过实质上的数学思考，自主建构数学核心知识的本质属性。

“大树有多高”是苏教版小学数学教材的一节综合实践活动课，教学时，教师把学生带到操场，说明测量任务后，学生就迫不及待地分组实地测量，在小组合作测量大树影子长度的时候，课堂无秩序、吵吵闹闹，效率低下，测量的数据也不够准确，影响了实验效果。测得大树的影长不是数学实验目的，其前提是测量不同高度的竹竿的实际长度和相应的影长，竹竿的实际长度必须在可以测量的范围内，学生在测量过程中感悟到：实验结果是有误差的，当误差越小时结果越准确。大树的实际高度是不可测量的，但可以通过可测量的竹竿长和其影长的比值计算大树的高度。在具体测量时，不能忽略“时刻”这一要素，因为随着时间的变化，影长也在不断变化。如果数学实验活动缺少教师严谨有序的思维引领，以及对活动明确细致的分工要求，仅仅追求数学实验结果的“可视性”，忽略了数学实验教学的本质，那么最终的数学实验效果就会打折扣。

2.重结果，轻过程

数学实验的本质是将结论性知识通过操作、实验、交流和思考等过程，呈现知识间的逻辑关联。让学生在感知、体验、参悟和反思的过程中深刻理解知识的生成与转化，再现被掩盖的思维轨迹。在实验中，通过“做数学”让思维看得见，经历新知识的重构过程，培养学生应用数学知识解决问题的能力。

在教学苏教版《数学》六年级下册“圆锥体积”一课时，如果教师不通过实验，直接告诉学生结论，学生也会记住圆锥体积计算公式并解决问题，但学生对计算公式的推导过程一知半解，不利于学生对知识的掌握。因此，教师让学生课前准备等底等高的圆柱形和圆锥形容器各一个。课堂上，教师组织学生把圆柱形容器装满水，然后倒入圆锥形容器中，并让学生重复操作几次，观察并思考圆柱体与圆锥体之间的体积关系，以及它们的底与高的关联，从而得出结论。在深入解读圆柱体和圆锥体之间的关系后，可以设置这样的四组操作情景：不等高也不等底;等高不等底;等底不等高;等底等高。每个学习小组四种情况都有，通过分组实验得到不同的实验结果，并对实验结果展开交流讨论、追根溯源。只有为学生提供丰富的实验材料和开放的实验空间，让学生在动手实验的过程中亲自探究不同的实验结果，才能深刻地体会到：只有等底等高时，圆柱的体积才是圆锥体积的三倍，从而加深对等底等高的认识和理解。

3.重全体，轻个体

数学实验的关键在于互动，包括学生与学生、教师与学生、学生与学材、学生与实验器材之间的多维互动。其中，全体学生的参与是互动的关键因素。在互动的过程中，全体与个体是相辅相成的，既可以促进个体思维能力的螺旋上升，又有助于全体的交互生成。因此，只有把握好个体与全体的关系才能让数学实验富有价值。

在教学苏教版《数学》四年级下册“三角形的三边关系”时，执教者安排的第一次实验分为四个组，每组小棒都是三根，以红蓝绿三种颜色区分，探究三根小棒能不能围成三角形。这个实验其实没有难度，让学生小组合作学习更像一种表演。没有基于独立思考的合作学习是无效学习，没有实验必要的合作学习是忽视个体独立思考的。因此，动手实验的内容可以分为两个层次：一是三根小棒的长度相等，二是三根小棒的长度不等。在长度不等的范围内再细分为两种情况：两根小棒的长度和小于第三根小棒;两根小棒的长度和大于第三根小棒。通过这三种情况的实验让学生明白：三根小棒能不能围成三角形与小棒的长度有关，从而形成解决问题的技能。学生在可视的操作情境中深度理解三角形三边长度的判断依据。在实验中既关注全体又充分考虑个体的发展是数学实验教学的初衷。

二、思维可视化的教学价值

数学课程应强调从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型，并进行解释与应用的过程[2]。在思维能力、情感态度与价值观等方面得到进步和发展。因此，开设并加强数学实验教学，可以把重难点知识通过实验的教学方式，再现知识间的内在联系，让知识的生成过程看得见，加深学生对数学知识的理解，让学生参与并探究知识的形成过程，增强学习数学的信心，为学生提供自主探究的学习时空。

1.实验探究，让隐性思维显性化

在设计数学实验活动时，教师要将实验活动的程序与知识呈现的顺序有机结合，在实验中将知识的形成过程按由浅入深、从先到后的顺序分步呈现。进而让隐性思维显性化。

比如教学苏教版《数学》五年级下册“圆的周长”一课时，可以分以下几步进行：（1）感知圆的周长，用手触摸硬币边沿，感知并理解硬币的周长，初步感知周长是指硬币哪一部分的长度？（2）探究圆周长的算法。引导并预设几种测量圆周长的办法：滚动一周、缠绕一周并拉直、折叠几次，旨在让学生体验缠绕、滚动等方法是有局限性的，引发其探索圆的周长计算的积极性。

学生在小组操作、交流、观察和讨论等活动中，感悟发现知识，通过实验，让学生在动手操作的过程中看见知识。

2.化静为动，让抽象思维形象化

教学过程中的某些重点、难点知识，传统的教学方式有时难以处理，但借助一定的实验手段，可以调动学生思考的积极性，展现知识网络的动态过程，让学生看见知识间的内在联系，进而达成教学目标。通过化静为动的实验过程，让抽象思维形象化，使数学新知识的产生变得更自然，进而使学生理解并熟练地运用所学知识解决一些实际问题。

比如在教学苏教版《数学》四年级下册“三角形的内角和”时，分为以下几步进行：（1）测量规则的三角形。首先让学生拿出学具袋中三角形，分小组测量每个三角形的三个内角分别是多少度，然后再计算每个三角形三个角的度数和。通过动手测量、计算，学生发现三角形的内角和在180°左右。（2）测量任意的三角形。分组合作：任意画几个三角形，分别测量各个内角的度数并计算它们的和。（3）剪一剪、拼一拼。引导学生把每个三角形的三个内角剪下来，拼一拼，看一看能拼成一个什么样的角。

学生经历指定三角形和任意三角形的测量和计算的全过程后得出：任意三角形的内角和是180°。知识结论的获得建立在学生动手实验的基础上，通过小组合作、同学交流等方式，他们对三角形内角和知识的理解水到渠成。

3.溯源探流，让思维认知结构化

蘇霍姆林斯基说过，手是意识的伟大培育者又是智慧的创造者。数学实验就是学生在动手操作过程中培养动手能力的同时，经历知识的形成过程，激发他们已有的知识经验，促进学生的深入思考，把知识间的联系进行横向与纵向的演绎，让思维认知结构化。

如苏教版《数学》六年级下册“圆柱的体积”教学时，分为以下几步：

（1）回忆圆面积计算公式的推导过程。

问题驱动：圆的面积与转化后的长方形的面积相比什么变了，什么没有变？圆的半径和长方形哪一部分相等？圆的周长和长方形的哪一部分相等？

（2）关联圆柱体积计算公式的推导过程。

问题驱动：根据圆的面积计算公式的推导过程，想一想：圆柱体和长方体是否也有类似的关联？如果有，圆柱体与转化后的长方体之间有哪些联系？

（3）操作实验，分组汇报。

拿出课前准备的圆柱体模具分组操作，小组经过充分的讨论交流后反馈：

学生A：长方体与圆柱体相比只是形状发生改变，但它们的体积不变，高也不变。

学生B：（边演示学具边说）圆柱的底面积是红色的，转化成长方体后，长方体的底面积是也是红色的，虽然底面的形状变了，看颜色就知道面积不变，它们的高也相等。

学生C：其实，这和圆形转化成长方形是类似的，所以长方体的体积等于圆柱底面周长的一半乘半径乘高，也就是2πr÷2×r×h。

学生D：结合转化后的长方体，发现长方体的表面比圆柱体多了长方体左右两个面，而圆柱体侧面积的一半可以看成是长方体的底面，高就是圆柱的半径，因此圆柱的体积也等于侧面积的一半乘半径。

……

在实验的过程中，经过仔细观察、思考和同学之间的相互启发，由原来的形象思维过渡到抽象的立体思维。再一次把知识之间的结构与联系演绎得清晰、形象、可见，从而让思维认知结构化。

三、思维可视化的教学策略

思维可视化是以发展学生思维能力为目标，通过多维表达、动手操作和思维导图等方式，把原本隐性、抽象、零散的思维结构、思考路径及思维方法呈现出来，使其清晰可见的过程。教师应在数学实验或类似实验的学习情境中，发展学生思维能力，为提升教学效能搭建一个可靠的支点。

1.多维表达，物化思维成果

教师要善于发掘学科教学中蕴含的数学知识，同数学实验教学有机整合，引导学生在可视的操作情境中思考、交流，勇于多维度表达自己发现的数学知识。例如苏教版《数学》六年级下册“大树有多高”。学生结合正、反比例知识，根据实验测量的影长与实际高度之间的关系，通过知识的迁移、类比，探索影子长度和物体高度之间的关系。其实，影子长度除了和物体高度有关外，还和太阳高度有关：一天当中，正午太阳高度最大，而正午影子长度最短;一年中，正午的影子长度也是不同的：北半球温带地区，夏半年太阳直射北半球正午影子短，冬半年太阳直射南半球时影子长。所以，太阳的高度与影子成反比例。在交流中让学生充分表达每一个知识点的相关知识链接，通过深度思考，把大树的高度与影长之间的关系进行物化整合，进一步形成高一级的思维成果。

2.操作留痕，呈现思维轨迹

操作是数学实验教学中学生学习的常用方式之一。对一些学生难以理解的核心知识，教师要在充分研读教材的基础上，设计学生喜闻乐见的游戏活动，把核心知识有序地呈现在动手操作中。比如苏教版《数学》四年级下册在学习了“三位数乘两位数”后有这样的一道思考题：用0、1、2、3、4这五个数字组成一个两位数和一个三位数，要使乘积最大，应是哪两个数？要使乘积最小呢？教师花了很长时间讲解，但收效甚微，多数学生不知道如何排列这几个数字，更不知道其中蕴含的规律。为此，再次研读教材，发现学生已有的知识经验是三位数乘两位数，于是把思考数字的排列过程设计成摆数字卡片的形式：用0、1、2、3、4、“×”号六张纸片，摆一个最大的三位数乘两位数。学生通过操作调试发现：两个乘数最高位上数字应该是3和4，两个乘数越接近乘积就越大。在操作实验中，学生的思维轨迹逐步呈现，很快摸索出思考方法并理解其中的规律。

3.导图引领，完善思维认知

思维导图是思维可视化常用的教学策略之一，不仅能将零散的点状知识通过导图的方式构建完整的知识结构，而且能使学生的思维能力得到系统的锻炼与提升，从而完善学生的思维认知。

如苏教版《数学》六年级下册“分数与百分数的复习”，为了让学生对这一知识点有整体的建构，课前让学生自主整理知识要点。讲评时发现学生的动手能力超乎教师想象（如图1）。

学生通过思维导图，把分数、百分数的知识要点进行有效勾连，形成较为完整的知识链接，同时完善思维的整体认知。

数学实验教学是课堂教学不可或缺的环节。作为数学教师应该深入研读教材，结合学生的学习经验，创设可视的数学实验教学的场景，促进学生在活动中创生知识、积累活动经验，使数学学习更有创意、更丰富、更多元，使学生获得能“带得走”的能力，真正实现学习方式的变革。

参考文献

[1] 杨红.动手实验，让数学更好玩——“玩转数字天平”教学有感[J].职业技术，2018，17（07）：106-108.

[2] 冯爱琴.关于数学练习的设计[J].新课程学习：综合，2010（09）：62.

*该文为江苏省教育科学“十三五”规划重点资助课题“指向创意学习的小学数学实验教学案例研究”（B-a/2018/02/63）的研究成果