巧用数轴培养学生运算能力

杨熠 金小亚

摘 要  数轴把直线上的点和数一一对应，形象地表示数。根据数轴的特性，把数轴和运算相结合，可以阐述运算意义，说明运算顺序规定的道理，渗透代数思维等。充分利用、挖掘数轴在运算能力培养教学中的作用，开展有针对性的教学，能更好地培养学生的运算能力。

关键词 数轴运算能力

数轴把直线上的点和数一一对应，形象地表示数，通常用以培养学生数感。实际上，数轴在运算能力的培养上也能发挥作用。巧用数轴，充分利用、挖掘数轴在运算能力培养教学中的作用，开展有针对性的教学，能更好地阐述运算意义，说明运算顺序规定的道理，渗透代数思维等。本文结合教学实践，阐述数轴在学生运算能力培养中的作用。

一、理解运算意义

20以内加减运算建立在数的组成的基础上，主要是对数字进行拆与合。如4可以分成1和3，对应4-1=3，4-3=1;9加3时可以把3分成1和2，9和1凑成10，10+2=12等。但从运算的本质来说，“加法是加1的复合”，任何自然数都可以由1开始，逐步+1而得到它。人教版数学教材其实也介绍了这种方法，如计算3+2的一种方法就是：“从3后面接着数，4、5，一共5只。”（人教版《数学》一年级上册第25页）这种方法体现了加法运算的本质，却往往被教师忽略，没能在教学中得到体现。

一年级上册的教材中编排有直尺图，直尺图就是数轴在0到20的正整数范围内的生活原型。教学中可以结合数轴（直尺图），直观呈现计算过程和结果。如教学4+2，让学生在图中先找到4，加2就是往右数两格，得到6;教学4-3，就从4开始向左边数3格，得到1（见图1）。

由于数轴上数的排列规则是左小右大，学生计算加法时就向右数，计算减法时就向左数，不仅能快速计算出结果，还能在里面渗透基本数量关系：4+2既可以表示把前面的4格和后面的2格合并起来，也可以表示求比4大2的数;4-3既可以表示从4格里面去掉了3格，也可以表示求比4少3的数。借助数轴开展加减法运算的教学，结合常规运算明确数量之间的关系，对学生进行了线段图的启蒙，能建立加减法数量关系的模型、降低思维难度，帮助学生获得解决问题的方法和能力，培养学生的运算能力。

当学生开始学习负数加减运算时，这样的教学就更加凸显出其积极意义。如计算“-1+3”，就从“-1”开始向右数3格，得到“2”;计算“-1-3”，就从“-1”开始向左数3格，得到“-4”。

乘法的运算意义也可以通过数轴来表示。人教版《数学》二年级上册第56页里有一道习题，就用了数轴（见图2）。借助数轴教学表内乘法，能帮助学生清晰地看到几个几与得数的对应关系，更好地理解乘法的意义，掌握乘法口诀。

数轴把运算意义清晰地呈现出来，加强算理、算法与数量关系之间的融合，对低年级小学生的计算学习起到了很好的辅助作用。

二、理解运算顺序和运算律

关于运算能力的表述，其中之一就是“根据法则与运算律寻求合理简洁的运算途径”，说明运算顺序和运算律的理解与运用是运算能力的重要体现。在教学中，理解运算顺序和运算律既是教学的重难点，也是学生做题的易错点。

在浙江某市2017年小学四年级数学质量监测中，涉及到须要灵活应用法则与运算律进行计算的题目相对得分率都较低：25×8÷25×8（得分率78.7%），23.76-5.65-3.76-4.35（得分率77.3%），1200÷25×4（得分率54.3%），远低于整体计算得分率（86.5%）。

运算顺序和运算律的学习要在理解的基础上进行。如果只是记忆规定，遇到较复杂的混合运算题目时，将会束手无策。如146+87-46和146+54-87，前者先算146-46较简便，后者先算146+54较简便;146-87-46和146-54-46，前者先算146-46较简便，后者先算54+46较简便;146-（87+46）和146-（54+46），前者去括号后先算146-46较简便，后者不需要去括号，先算54+46较简便。虽然题目的运算符号相同，数字相近，但是运算过程却不尽相同，需要学生具有较高的运算能力——合理简洁运算的意识和能力。

数轴在帮助学生理解加减混合运算的运算顺序和运算律上具有很好的作用。如果用实心的线段表示“加”，空心的线段表示“减”，结合数轴，学生很容易就能看出最优的运算策略。以146+87-46和146+54-87两题的对比为例（见图3）：

数轴使得运算的思维过程变得形象可见，降低了思维难度，促进了学生对运算顺序和运算律应用的理解。

三、渗透代数思维

代数思维是数学的核心思想，在现代数学教育中具有重要的地位。数学教学要从一年级开始就渗透代数思维，帮助学生不断感受、体验、理解代数思维，逐步实现从算术思维到代数思维的转变。

如1+（  ）=7-（  ），要求在括号里填上合適的数，使等式两边相等。对一年级小朋友来说，这是一种较为复杂的数量结构，需要学生深入思考算式整体之间的关系，发现答案之间的规律。如果没有直观辅助手段，学生一般只会一个数字一个数字地试过去，难以从整体上把握等式两边括号内数字和已知数字之间存在的关系。教学中可以引进数轴，帮助学生从数轴上发现数量之间的相等关系，变过程性的计算为结构性的关系，渗透代数思维。

数轴能在渗透代数思维中发挥关键作用。先让学生在数轴上找到“1”和“7”并进行标记，接着根据运算意义标出箭头——加法向右画箭头，减法向左画箭头，箭头交汇处就表示等号两边的值相等。在动态演示中变换箭头的交汇处，形成图4，让学生通过观察发现数据的变化规律，知道数据的变化只会影响等号两边的值，这个值会随着数据的变化而变化，但是两边的值却会始终存在相等关系，从而体会到等式结构不变的原因。

这种关系的得出把数的运算提升到式的理解，对学生代数思维的形成具有重要意义。图4就是小学数学的典型问题——“用移多补少法求平均数”“从上层拿几本书到下层，上、下层的书就同样多”等题目的结构模型。通过类似的渗透，对学生后续学习相关问题能起到很好的促进作用。

同样的，对式子的大小比较，如2+3○2+4，7-2○7-5，6-1○3-1（在○里填>、<或=），应用数轴也能起到好的教学效果。很多教师面对此类题目时喜欢让学生先计算，把计算结果写在式子下面，再比较大小。这样的方法具有通用性，能提升解答的正确率，但学生在此学习到的仅是计算技能，不能体会到式子之间的关系。结合数轴（见图5）解释算式，能使教学发生质的变化。

数轴的演示使学生明白：一个加数相同，另一个加数越大，算式的结果越大（见图5-1）;被减数相同，减去的数越大，算式的结果越小（见图5-2）;减数相同，被减数越大，算式的结果越大（见图5-3）。数轴帮助学生辩证认识算式之间的关系，形成动态变化的数学观。

探究数轴在运算能力培养中的作用，把数轴和计算教学相结合，符合儿童的认知规律，使运算变得直观形象、便于理解，帮助学生更好地理解运算意义、理解运算法则和运算律、培养初步的代数思维。从教学的意义来说，对数轴的探索和研究，是为了更好地把握知识的本质，使教学沿着正确的轨道前行，培养学生的数学素养，让学习真正发生。

参考文献

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[2] 曹培英.跨越断层，走出误区.数学课程标准核心词的解读之六[J].小学数学教师，2014（03）.

[3] 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）解读[M].北京师范大学出版社，2012.

[4] 金小亚.借助几何直观，培养运算能力[J].教育实践与研究，2019（03）.

[责任编辑：陈国庆]