数学中的向量与物理中的矢量

张伟 朱晓安

学生的学习和思考从生活中的实例和现象开始，这是深度学习的起点之一，学生遇到的任何一个问题都不是孤立的，不同的学科会从不同的角度进行研究，体现出不同学科的特点和本质。学科教学设置了明确的学科边界，经常将学生原本整体的认知割裂开来，穿越学科边界进行设计课程，回归学生对问题本质的理解，通过跨学科的知识解决问题，我们在高中数学“平面向量”的教学中进行了尝试。

进行学科穿越的课程设计首先要明确学科间联系的本质。数学是研究空间形式和数量关系的科学，数学对象既有代数的特性，又有几何的特性，平面向量也具备这两种特性，它是近代数学中重要和基本的数学概念之一，是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，在物理中有广泛的应用，有极其丰富的实际背景。物理中的力、速度、加速度、位移都是矢量，在数学学科中抽象成自由向量，矢量和向量都是既有大小又有方向的量，是同一性质的量在不同学科中的描述。有大量的物理问题或现象能够抽象成相应的数学问题，数学问题对应的数学本质研究会促进相应物理问题的解决。结合高中物理必修1和必修2中的物理问题，总结出数学和物理学科联系的内容（见表1）。

学科穿越的边界在哪里？这需要从学科的界定谈起。物理中的矢量除了有大小和方向要素外，还有作用点，每个矢量有其物理意义，而在数学学科向量只有大小和方向的要素，是在矢量基础上的进一步抽象。实验能力是物理学科的重要能力之一，在高中物理必修1教材中通过实验探究求合力的方法得到矢量求和的平行四边形定则，进而应用这一法则解决问题，运算求解是数学学科的重要能力之一，数学中平面向量的加法运算是借助物理学科的位移求和问题进行定义，然后研究向量加法的符号表示、运算律及其坐标运算，突出运算的特性。不同的学科对同一对象的研究关注点不同，与学科能力的培养有密切关系。学生在遇到问题的时候，需要明确不同学科的边界，又要综合运用不同的学科能力解决问题。

物理教师积累的学生测试数据显示：学生对于物理问题，能从实际问题当中抽象模型的占11%，熟练掌握矢量的表示方式与运算方法的占14%，理解并能运用力的运动关系的物理思想的占29%，能对结果进行正确讨论的占17%，从这些数据可以看出，学生将实际的物理问题抽象成数学模型的能力欠缺，应用数学进行运算的意识比较薄弱，在物理学科中只用物理方法来解物理题，在数学学科中只用数学方法来做数学题，孤立的、割裂的学习使得学生在面对实际问题的时候不能综合分析，整体认知，所以在平面向量教学中，我们通过设计尽量来改善这个问题。

我们将单元设计的主题选定为：数学中的向量与物理中的矢量。单元目标的设计也突出学科间的穿越，例如：学生通过抽象引体向上运动，分析理解向量的基本概念和基本运算；学生更新已有初中时对功的公式的认识，通过功的背景来理解向量的数量积运算，用函数的思想来研究功与力和位移的关系，探究向量与数量的关系；学习平面向量数量积以后，学生通过功的专题学习来整理总结学习收获等。这些目标的设计从真实的问题出发，结合学生已有的认知水平，需要经历分析问题—抽象概念—探究方法和策略—体会学科思想—解决实际问题的过程，这个过程中既有物理学科的知识和方法，也有数学学科的思想和方法，二者交融在一起。

学科穿越的设计要以学生现有的学科认知为基础。平面向量单元的概念较多，核心概念是向量，它的两个要素是大小和方向，需要在向量概念的基础上继续抽象相关的概念。为了整合学生在物理学习中已有的知识和经验，实现数学课的进一步抽象和运算，我们在课程设计的时候设计学生熟悉的物理情境：在单杠上做引体向上，两臂的夹角越小越省力。你能从数学的角度解释这种现象吗？

Q1.用图和式表示题目中的量及其关系。

Q2.用什么数学方法解释现象？

Q3.问题中的量与数量有什么不同？

Q4.向量的定义和表示方法。

Q5.举例说明你学习过的向量有哪些？

Q6.你能发现问题中的向量之间有哪些关系？

Q7.分别从大小和方向两个角度说明问题中特殊的向量有哪些？

Q8.如何计算做一次引体向上需要消耗的能量？

Q9.物理中的平行四边形法则和数学中向量的加法有什么关系？

Q10.平面向量的代数形式是什么？

在物理情境的引导下，学生能够自发地提出上述的一些问题。学生提问题的过程就是参与思考、进行数学抽象的过程。与以往的概念和运算学习相比，学生对概念抽象的意义理解更深刻，对概念的本质把握更准确，在经历了充分地分析和抽象以后，学生不仅能够自主地建构平面向量的概念网，而且也体验了将知识应用于生活的过程。

要通过穿越学科的边界来看问题的本质，比如，物理学科中矢量的分解问题，对应到数学内容上是平面向量基本定理，体现出数学学科基本量的思想，即要用平面内基本的量来表示平面内的任意一个向量。这个内容在物理学科中有相应的体现，如图2所示。

图2

这个问题的实质就是平面向量基本定理的应用，需要学生结合知识进行物理现象的想象并用运动轨迹呈现出来。在平面向量基本定理教学的时候，可以从基本的物理问题出发进行探究：任何一个力都可以沿着两个方向进行分解吗？如果能，说明怎么分解，如果不能，说明理由。需要学生将这个问题用数学语言进行描述，应用已有的向量加法法则进行探究，最后给出严格的数学证明，是物理实验结果的抽象化和逻辑化的提升。怎么让学生体会平面向量基本定理中蕴含的基本量的思想？我们设计了图3的例题。

图3

这个例题的设计，教师关注三个方面的内容：（1）在同一基底下表示不同的向量；（2）在不同的基底下来表示同一个向量；（3）比较选取不同基底的优劣，突出对数学思想的体验过程。

评估也能够体现出穿越学科边界学习的意义。作为数学学习的一种评估，我们设计应用数学方法来解决的物理问题，比如说这样的一个问题：如图4所示，电线AB下有一盏电灯，用绳子BC将其拉离墙壁。在保证电线AB与竖直墙壁间的夹角θ不变的情况下，使绳子BC由水平方向逐渐向上转动，则绳子BC中的拉力的变化情况是（）

A. 逐渐增大

B. 逐渐减小

C. 先增大，后减小

D. 先减小，后增大

这一问题的解决对学生来讲有一定难度，对于物理中的三个矢量来说，其中一个矢量始终是不变的，另外一个矢量是方向不变，第三个矢量是大小和方向都在变，这是从变化的角度来分析物理中矢量的变化。那么构建数学模型以后，学生就需要应用学习的向量加法的三角形法则进行分析，对矢量进行平移，平移以后已经不是具有物理意义的矢量了，而是应用数学中向量的三角形法则，还可以进一步应用函数的模型解决，应用数学知识解决物理问题也是物理学科中重要的能力之一。

在学科穿越的过程当中，怎么能够体现学科的本质？需要从学科素养的培养角度审视我们的设计。数学建模是数学学科重要的学科素养，目前学生在这方面相对较弱，我们设计了“功”的主题研究，让学生从学科发展和学科融合的方面进行知识和方法的总结，体会数学和物理学科的相互融合和相互促进，形成学科思想指导下的认知整体。

图5 数学思想统领学科穿越

数学学科和物理学科的关系非常紧密，比如学生接触到的物理公式与数学学科的函数模型是对应的，都体现了变量和对应思想，物理学科中有简谐振动、匀速圆周运动，怎么来刻画这些物理现象，三角函数是必要的形式……学生对问题的认知是一个整体，打破学科边界对学生能力培养的束缚，还要突出学科的本质，对教师的课程观和课程建构能力都是很大的挑战，我们愿意进行尝试和改进，深度学习，从认识学生学习开始。

课题合作者：曾辉、张国宏、牛惠敏

（作者单位：北京市海淀区教师进修学校附属实验学校）

责任编辑：任媛媛

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