数学课堂要以发展学生思维为核心

李大永

自20世纪80年代开始，我国数学课堂教学改革一直持续至今。这期间，各种教学法的实验研究如火如荼，各种新的数学教学方法和教学模式层出不穷，也引发了一波又一波的学习热潮。这些教学方式与模式改革，多发源于国内优秀教师的教学经验或课堂教学研究项目与成果的推广。21世纪初，这一热潮又体现为新涌现出的部分“热点”地区或特定“明星”学校的课堂教学改革，近期又呈现出西学（如“翻转课堂”“MOOC”）等特点。在各种教学方式与模式学习的潮起潮落中，有一种共同现象，就是比较关注课堂教学实施的具体环节或实施方式、使用媒介与实施步骤的效仿，但是缺少对“为什么要这样做”的追问、研究与考证，这使得教学模式往往流于形式。作为教师，我们该如何面对花样翻新的教学模式？

笔者认为，教师必须自问：“我究竟在为什么而教？”或者说“数学教育的核心价值在哪？”对于这个问题的思考，实质上就是一个审视自己数学教学观的过程。从大量的听课、评课、组织教研以及8年的国培经历中，笔者认为，一位教师在课堂上的教学行为，处处都能体现出教师所持的教学观（数学教学价值）和数学观（数学理解）。同一类教学行为（哪怕都是讲授），不同教师实施，教学效果大不相同。也就是说，真正的教学效果取决于教师的教学观和数学观，而不是表面的教学行为。因此，课堂教学的问题并不能靠某一种教学方式或模式来解决，而需要用一个具有高度凝聚性的核心教育目标来指引教师的教学实践。

本文将结合案例，阐述如下观点：教师需要以“发展学生的数学思维”为核心去构建课堂的教与学。而达成这一目标的唯一有效途径，就是在日常教学工作中，以“发展学生的数学思维”为目标，设计实施教学、反思评价教学、改进后再教学，在这样的过程中不断地进行理论的实践性解读和实践的理论性反思。

一、热闹的活动背后，数学思维有几成

1.案例呈现

笔者曾看到一篇名为“以学生为本是数学课堂教学设计的出发点──《正弦定理的引入、探索、发现与证明》教学案例”，该案例展示了正弦定理的探索与发现活动，如下。

活动1 让学生观察并测量一个三角板的边长，例如，量得三角板三内角所对的三边长分别约为5cm，8.6cm，10cm。

提出问题：你能发现三边长与其对角的正弦值之比之间的关系吗？

活动2 （在任意的直角三角形中探讨）在Rt△ABC中，你能否发现类似的结论？

提出问题：上述规律对任意三角形成立吗？

活动3 二人合作，先在纸上作一个任意锐角（或钝角）三角形，测量三边长及其三个对角，然后用计算器计算每一边与其对角正弦值的比，填入下面表中，验证前面得出的结论是否正确。（其中，角精确到分，边精确到0.1cm，结果保留3位有效数字）

2.活动背后的数学思维分析

由案例展示的上述活动，我们可以想象到，课堂不乏热闹，学生一直处于活动之中，而且持续的时间也不会太短。但是，从发展学生数学思维这一角度来看，三个活动都缺少高水平的数学思维活动。活动1中，学生只是被动完成量一量、算一算的指令，对于算出来的结果，发现三个比值相等，对发展数学思维来讲没什么积极意义。活动2中，学生需要的是回忆再现直角三角形的三角函数定义，实施检验是低水平的判断。活动3中，学生仍是量一量、算一算，唯一的潜在价值是基于检验结论的目标，画三角形时，对形状的选择是有一点思维价值的，但是教师却并未对此设问。

实际上，教学设计的出发点，不应该是追求活动、小组合作等形式，而是应挖掘所学内容对促进学生数学思维发展的价值，活动是为实现这一目标服务的，不能本末倒置。显然，如果教师自身不能深谙数学思维的规律，不能在备课中努力挖掘、还原数学内容背后的思维活动，发展学生的数学思维就无从谈起。

二、如何感悟和认识数学思维的规律

实际上，每个学科都有特定的认识世界的思维框架，这一思维框架集中体现了一定的认识取向或价值观念与方法。比如，我们应当关注事物与现象的哪些方面？我们应如何去发现问题，并对此作出恰当的问题表述？我们又应如何去分析问题和解决问题（包括究竟什么可以被看成问题的适当解决方法）？

1.从数学发展史看数学思维的基本特征

数学史是一个感悟数学思维规律和特征的重要途径。从数学发展史可以发现，数学家在解决生产和科学技术提出的新问题过程中， 首先是抽象概括其中的量化模式，形成数学问题，通过试探或试验，发现或创造出解决新问题的具体方法，归纳或概括出新的公式、概念和原理，而这些新的公式、概念和原理必须通过逻辑推理来获得确认。当新的数学问题积累到一定程度后，便形成了数学研究的新问题（对象） 类或新领域，产生解决这类新问题的一般方法、公式、概念、原理和思想，形成了一套理论知识，就标志着一门新的数学分支学科的产生，例如，微积分、群论等。而数学理论通过数学模型又和现实世界建立了联系，使得数学理论可以应用于现实世界中去帮助人们解决广泛的问题。

从上述数学认识活动的一般过程可以看到，数学家总是不满足于个别问题的结果或结论的获得，而总是希望获得更深刻的理解。后者直接导致对于严格的逻辑证明的寻求，而且促使数学家积极地去从事进一步的研究。如在有些看上去并无联系的事实背后是否隐藏着某种普遍的理论？这一事实能否被纳入到某一统一的数学结构中？他们总是希望能达到更大的简洁性和精致性，如，是否存在更为简单的证明？是否对相应的表达方式作出适当的改进？这也就充分体现出了数学思维的一些基本特征。

2.在教学工作中，要多问几个为什么

时时思考和自问是深刻领悟数学思维的重要途径，教师的专业素养恰恰是在对这些问题的不断拷问与探寻中获得发展的。例如，在数学中为什么要给出这一数学概念（公式、定理）？为什么要采用这样的方式来对其进行定义（表达）？这个概念（公式、定理）背后蕴含了怎样的思维方式？它与之前和之后的哪些内容有关联？这种关联背后又蕴含了怎样的一致性或不同的思维模式？等等。

以前面的正弦定理教学为例，对解三角形这一主题，教师应在备课时弄清楚以下几个基本问题：解三角形这一章研究的基本问题是什么？这个问题是如何被发现和提出的？它与之前的哪些内容有关联？这种关联背后蕴含着怎样的一致性或不同的思维模式？

解三角形这一章的基本问题就是三角形的边、角要素之间存在怎样的量化模式。通过以前对三角形相关知识的学习，已经获得了部分解答，如内角和为180。、任意两边之和大于第三边、大边对大角，还有特殊三角形——直角三角形三边关系。此外，两个三角形关系的研究，如两三角形的全等条件也从侧面告诉我们，确定三角形并不需要给出六个要素，只要知道其中部分要素即可。也就是说，在初中阶段，学生就已经认识到了边角边、边边边、角边角等条件可以确定一个三角形形状与大小了，既然如此，这种部分要素确定了整体的现象预示着什么呢？这说明背后一定存在着还未发现的三角形边角数量模式，三角形的正、余弦定理实际上是对三角形的边角数量模式的表达。实际上，从研究三角形开始，我们就一直在试图发现三角形这一几何图形背后所隐藏的边角模式，只不过早期比较偏重直观感知、动手操作、实验猜想，而后来更突出合情合理的猜想与思辨论证。

从上述问题的思考，可以发现，前面所呈现的案例中，教师的学习活动并没有起到引领学生认识研究三角形的一般思维路径的作用。

3.从新异问题的研究中体验数学思维发展的过程

教师由于长时间接触常规数学问题，因此，在面对试题时，很难体会一个原生态的思维过程，解题思路烙下了深深的记忆印记，这就会使解题教学不自觉地沦落为解释如何操做，而难以呈现原生态（处于学生思维水平下的）的思维过程，讲不出解题思路。

所以，解决新异问题，使自己陷入一种没有现成模式可以套用的思维困境之下，尝试各种方法探寻解题思路的努力之下，去感知数学思维是如何发生和发展的，由思维的混沌状态经历了怎样的思维过程，使思维逐渐走向清晰和明朗是非常重要的。在教师培训中，这一办法有助于教师更深刻理解思维的过程是怎样的。

新异问题，一方面可以从试题中寻找，例如，每年北京的理科卷20题，往往是比较新颖的题目，建议不要当成一道试题去做，而要去探索、研究，发现题干所定义的数学对象都有哪些特性。另一方面，可以从生活中或其他学科的问题中寻找，例如，中国象棋中的“马”走的是“日”字格的对角线，马从棋盘的任何一个位置，按照马的走棋规则，可否走遍每一个位置（格点）呢？

三、如何在数学课堂上发展学生思维

通过前面的正弦定理的案例，我们看到，不是所有与数学相关的活动都是有价值的活动，我们需要弄清楚数学活动的内涵与基本形式，尤其是能够促进学生数学思维发展的数学活动的特征，因为，能够促进学生数学思维发展的数学活动才是构建课堂的教与学的关键。

1.理解数学活动的内涵与基本形式

前苏联数学教育家斯托利亚尔提出，数学教学实际上是数学活动的教学，数学活动是具有一定结构（带有数学特点）的思维活动。[1]他认为，可以将数学活动看作按下述模式进行的思维活动：首先是经验材料的数学组织化；其次是第一阶段活动结果中积累的数学材料的逻辑组织化；最后是第二阶段活动的结果中建立的数学理论的应用。

数学活动有两个基本形式：一是数学概念的生成、分析与组织；二是数学的提出、分析与解决问题。而这两种基本形式，在数学活动的组织方式上又可以统一到数学的发现、提出、分析与解决问题这一形式上来。

例如，函数单调性概念的形成过程，可以由不满足于初中阶段在描点画图基础上获得的直观感知认识，而在寻求更深刻的理解过程中去发现问题。一方面，我们根本画不出所有的点，对于所画的相邻两个点之间的图像，我们并不知道实际上是什么样子，因此，无从通过看来判断函数的单调性；另一方面，我们所看到的图像实际上只是数学中的对象——函数图像的示意图，并非函数的实际图像（函数解析式确定的点集），因为，数学中的点是没有大小的，线是没有粗细的，在现实中根本不可能画出来，所以，我们看到的只是虚幻的，这当然不足以说明函数的单调性。发现这一矛盾后，我们就产生了进一步清晰刻画函数单调性的实际需求，在这种需求下，我们必须将函数单调性的几何直观用量化的手段，借助代数的符号语言来进行刻画，这一问题解决的结果，自然就表现为得到了函数单调性的概念及其定义。

2.理解能够促进学生数学思维发展的数学活动的特征

从上述单调性概念教学案例可以看出，能够促进学生数学思维发展的数学活动，应该是一个能够带给学生理智挑战、认知冲突和精神享受的活动。在这样的活动中，学生需要不屈不挠地深入思考，将学生头脑中的问题数学化，需要同学间的相互交流与讨论，需要论据明确、条理清楚地进行阐述。通过这样的数学活动，使学生能够学会解决问题、应对困难，从而积累数学活动经验，感悟数学思想。

根据上述能够促进学生数学思维发展的数学活动的特征，对正弦定理的教学，所设计的数学活动应该有助于学生从已习得的相关结论中发现需要进一步研究的问题，并在已有知识的基础上，通过设法建立已知边角数量与未知边角数量之间的联系，自主探索解决这一问题。在这样的思维活动定位下，本案例的数学活动可设计如下。

活动1 对于三角形，大家并不陌生，与同桌交流并写出已经学习的与三角形相关的结论。

活动2 请与同桌讨论：关于三角形，是否还存在有待进一步研究的问题？

活动3 请各自选择一组可确定三角形的边角条件，探索如何用已知边角数量求出其他未知的边角数量。

3.要始终以促进学生的数学思维发展为标尺

教学是实践的智慧，教师要让自己的课堂能够更好地促进学生思维发展，就要始终如一地以发展学生的数学思维为标尺。备课时，用这个标尺来衡量自己对教学内容的理解，就会促使自己思考探寻每一个教学内容背后的数学思维过程与价值，促使教师自我察觉活动设计得是否合理。教学时，用这个标尺来要求，就会促使教师有意识地去聆听学生的想法，从中分析了解学生的思维过程，从而给出恰当的帮助。课后，用这个标尺来反思评价自己的课堂教学，就能不断从中获得教学中的得与失，为以后的数学活动的组织与实施积累经验。

参考文献：

[1] A·A斯托利亚尔，数学教育[M] .北京：人民教育出版社，1984.

（作者单位：北京市海淀区教师进修学校）

责任编辑：赵彩侠

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