基于试题分析的“概率统计”复习教学

刘宏英 王海青

摘   要

《普通高中数学课程标准（2017年版）》提出要基于数学学科核心素养进行考试命题，概率统计板块试题是考查数据分析素养的主要载体。本文对近三年高考全国卷的概率统计板块试题进行了整理分析，发现试题知识点全面、情境内容新颖、数据分析素养水平层次分明、数据分析素养特色鲜明突出。针对这些特点，本文提出复习课教学中选取的问题具有基础性和多元性、素养的培养强调层次性和渐进性、教学的过程体现参与性和开放性的建议，希望对一线教师在复习课教学中落实数据分析素养的培养有所帮助。

关键词

高中数学  数据分析素养  概率统计  复习课

大数据时代下，数据分析已经成为一种新的数学语言，是当今及未来“互联网+”相关领域的主要数学方法，在科研和社会生活中发挥重要的作用，成为一种必备的知识技能[1]。《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称新课标）第一次将数据分析作为数学学科核心素养提出，体现了新课标适应时代发展要求的理念。新课标指出：“数据分析是指针对研究对象获取数据，运用数学方法对数据进行整理、分析和推断，形成关于研究对象知识的素养。”高中数学课程在数据分析素养上的培养目标为——学生能提升获取有价值信息并进行定量分析的意识和能力;适应数字化学习的需要，增强基于数据表达现实问题的意识，形成通过数据认识事物的思维品质，积累依托数据探索事物本质、关联和规律的活动经验[2]。

怎样落实数据分析素养的培养呢？作为教学的风向标，近年高考全国卷概率统计板块试题给出了较明确的答案。笔者对近三年高考全国卷的试题进行了整理分析，发现了一些明显的特点，结合这些特点进行复习课的教学，有利于更好地落实数据分析素养的培养。

一、高考全国卷概率统计板块试题特点分析

以使用面最广的全国I卷为例，近三年文理科试题考查数据分析素养的题号、分值、主要知识点、情境见表1。

从表1可以看出，近三年概率统计板块试题题量稳定，文理科均为2道左右（1或2道客观题，1道解答题），2018年理科试题客观题相对偏多，总分值在17～27分。所考查的知识点覆盖了概率统计板块的主要内容。通过研究试题，可以发现近年高考以概率统计板块为载体考查数据分析素养的导向十分明显。归纳起来，全国卷概率统计板块试题具有以下三个特点。

1.知识点全面，情境内容新颖

试题全面考查收集和整理、理解和处理、获得和解释数据的相关知识和方法。情境与问题丰富、多层次，与学生的学习和生活密切相关，且富于时代气息。除了种花、选人、抽卡片等经典情境之外，还有易损零件更换、产品质量监控、超市订货、垃圾无害化处理、新农村建设等，充分展现了数据分析素养的数学学科价值。统计图表除了教材中的茎叶图、频数分布表、频率分布直方图，还有生产生活中常用的柱状图、雷达图、折线图等。除了考查定量计算概率、概率分布列、数学期望、方差、求回归方程等，还考查定性分析决策推断。除了考查作图、识图、用图，还考查渗透思维与表达、交流与反思。

2.数据分析素养水平层次分明

新课标提出要基于数学学科核心素养进行考试命题，围绕四条内容主线和核心素养水平的达成进行评价。划分核心素养水平的主要依据是核心素养的四个方面——情境与问题、知识与技能、思维与表达、交流与反思。例如数据分析素养“知识与技能”水平一的评价标准为“能够对熟悉的概率问题，选择合适的概率模型，解决问题;能够对熟悉的统计问题，选择合适的抽样方法收集数据，掌握描述、刻画、分析数据的基本统计方法，解决问题。”[2]高考试题所考查的素养水平层次分明，选择、填空题多为熟悉或关联的情境与问题，在教材或课后习题中出现过，以考查素养水平一、二为主。解答题多为综合情境与问题，在概率统计板块内综合或与其他知识板块交汇，需要考生针对不同的问题，综合或创造性地运用统计概率知识，分层考查三个素养水平。

3.数据分析素养特色鲜明突出

数据分析素养与其他数学核心素养相比，在研究对象、推理方法、判断准则上有明显的不同。数据分析探究的是随机现象的统计规律性，相关问题几乎都来自于实际，主要的推理方法是归纳推理。数据分析素养强调的是培养学生分析带有随机性的数据的能力，其判断结论的准则不是“对与错”而是“好与坏”[2]。如果涉及繁琐的计算，试题往往给出计算结果，但需要考生根据题意恰当选取和加工，可见考查的重点不是运算而是统计或概率的思维方法。

二、“概率统计”复习教学建议

根据分析可知，高考概率统计板块试题基本上围绕数据分析过程展开，考查学生从实际背景中提炼统计问题、合理构建模型、对数据合理加工、优化推断合理决策的能力。除了基础知识、基本技能，更注重考查基本思想和基本活动经验。结合新课标的要求和高考试题的特点，建议概率统计板块的复习课要转变题海战术的复习理念，使用基于数据分析素养的学习材料和教学方法。

1.选取的问题具有基础性和多元性

概率统计的研究对象多为现实中的随机现象，来源于数学学科外部，因此所选取的问题情境既要立足教材和学生的生活经验，又要与现实问题特别是经济现象、数学文化相结合。选取熟悉的、关联的、综合的情境，丰富学生的背景知识，才有利于学生在不同的情境中运用数据分析的知识和方法。例如产品尺寸问题“甲、乙两人同时生产内径为25.40mm的一种零件。为了对两人的生产质量进行评比，从他们生产的零件中各抽出20件（给出各个零件的内径尺寸），从生产的零件內径尺寸看，谁的生产质量较高？”[3]这是一个与制造业有关的典型问题，可延伸出正态分布知识。选取这样的问题进行教学，不仅有利于学生掌握基础知识，还有利于学生开拓视野，提升思维的深度和广度，体会运用统计原理进行产品质量控制的基本思想，并将解决此问题的原理和方法迁移到自然界中的其他正态分布。

2.素养的培养强调层次性和渐进性

新课标从问题与情境、知识与技能、交流与反思、思维与表达四个方面将数据分析核心素养划分为三个水平。复习课可以选取不同的问题考查不同的素养水平，也可以选取同一问题从不同角度考查不同的素养水平。

例如题组：（1）图1所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）。若这两组数据的中位数相等，平均值也相等，则x和y的值分别为（）。

A.3，5  B.5，5  C.3，7  D.5，7

（2）某大學艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20，30），[30，40），…，[80，90]，并整理得到如图2 的频率分布直方图。

①从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率;

②已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40，50）内的人数;

③已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等，试估计总体中男生和女生人数的比例。

图2  学生分数分布直方图

（3）某电视厂家准备在元旦举行促销活动，现根据近七年的广告费与销售量的数据确定此次广告费支出.广告费支出x（万元）和销售量y（万台）的数据见表2。

表2  广告费支出与销售量数据

①若用线性回归模型拟合y与x的关系，求出y关于x的线性回归方程;

②若用y=c+d■模型拟合y与x的关系，可得回归方程■=1.63+0.99■，经计算线性回归模型和该模型的R2分别约为0.75和0.88，请用R2说明选择哪个回归模型更好;

③已知利润z与x，y的关系为z=200y-x。根据②的结果回答下列问题：

广告费x=20时，销售量及利润的预报值是多少？

广告费x为何值时，利润的预报值最大？（精确到0.01）

第1题要求学生结合熟悉的实例，从样本数据中提取需要的数字特征，掌握数据分析的基本方法，侧重考查素养水平一。第2题要求学生运用统计方法解决具体问题，理解统计结论的意义，用数据呈现的规律解释随机现象，侧重考查素养水平二。第3题围绕“回归分析”这一主题，递进式设问，并结合函数知识从不同角度考查数据分析素养的三个水平。第①问要求学生针对具体问题，建立一元回归模型，用统计模型表达随机现象的统计规律;第②问要求学生鉴别统计模型的优劣，理解统计结论的意义;第③问则设计了综合的情境和知识的交汇，考查学生通过对信息的加工，基于统计模型进行预测，并用统计的语言予以表达。本题还考查了数学抽象、逻辑推理、数学建模素养。

3.教学的过程体现参与性和开放性

考查数据分析素养的高考试题在整套试卷中最具新意，如果把数据分析当作简单的数学运算问题进行机械式训练，那么学生由于活动经验不足或有偏差，很难快速准确地抓住问题要点，只能望题兴叹。教学中要以案例为载体，适当引入计算机或计算器，使学生充分经历收集整理数据、提取信息、构建模型、获得和解释结论的全过程，通过思考、表达、交流和反思，用多个统计模型或多个视角分析、优化推断、合理决策，在“做中学”，才能有效积累数据分析活动经验和提高统计思维的水平。例如在前述产品尺寸的基础上，继续研究案例“让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，落在各个球槽内的小球分布情况” [4] 。这个案例教师可以借助教具演示实验，学生亦可亲自操作，还可以使用软件模拟实验，大大提高了学习过程的参与度和开放度。

考查数据分析素养的试题新而不偏、繁而不怪，教学中结合高考试题特点和新课标要求进行概率统计板块的复习，提升学生的数据分析素养，使学生不仅能对高考试题应对自如，还能深切感受到数学的价值和魅力，激发出强烈的学习动力。

参考文献

[1] 史宁中，王尚志主编.普通高中数学课程标准（2017年版）解读[M].北京：高等教育出版社，2018.

[2] 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2018.

[3] 普通高中课程标准实验教科书.数学3（必修）[M].北京：人民教育出版社，2018.

[4] 普通高中课程标准实验教科书.数学2-3（选修）[M].北京：人民教育出版社，2018.

【责任编辑  郭振玲】