基于数学史和《原本》思想的勾股定理教学价值思考*

摘 要勾股定理是一个基本而重要的几何定理，定理本身及其证明蕴含着丰富的数学思想和美学价值。基于勾股定理的发现和证明的历史过程以及《原本》的思想启示，从教学的角度重新认识它的作用和价值，有助于我们深入认识勾股定理和进行有效的教学设计。

关键词勾股定理 数学思想 教学价值 教学设计

勾股定理是一个基本的几何定理，在中学数学和欧几里得《原本》中都占据非常重要的地位。通过勾股定理，我们可以推导出许多其他的定理和命题，这大大地方便了几何问题的解决，也使数学的发展迈出了一大步。现发现勾股定理约有400种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。在形式和应用上看起来如此简单的定理，为什么会吸引那么多人去寻找各种证明方法？勾股定理的主要价值在哪？它应带给我们怎样的思考和启示？已有文献[1，2]从不同的视角探讨勾股定理的教育价值。笔者则试图在追寻勾股定理发现和证明的历史中，重温欧几里得《原本》处理数学证明的思想，从教学的角度重新认识勾股定理的作用和重要价值。

一、勾股定理的发现与证明

勾股定理起源于实际测量和计算是没有疑问的。在中国，《周髀算经》中记载了三国时期赵爽为证明勾股定理所作的“勾股圆方图”即“赵爽弦图”（如图1）。这是极具东方特色的勾股定理无字证明法，证明的思路直观体现在由四个直角三角形所构造的正方形图形中。东汉末年数学家刘徽注《九章算术》中根据“出入相补原理”即割补术给出了“青朱出入图”（如图2），运用数形关系证明了勾股定理，但没有给出具体的证明过程。

在西方，勾股定理被称为毕达哥拉斯定理。直角三角形中的三边关系，早在古巴比伦时期人们就已经知道并用于计算，他们还知道许多勾股数组。但在巴比伦人的数學中肯定还没有严格证明的思想，他们是在解决实际问题中从直观认识得出结果并用于一般情况。而在古希腊，勾股定理虽然以毕达哥拉斯命名，但许多研究表明这个学派可能并未给予证明，最合理的解释是：他们根据一些特例来肯定所得的结果[3]。有史学家把《原本》中关于此定理的证明归功于欧几里得，证明过程突出体现了《原本》证明数学问题时所采用的主要思路——数形结合、转化与等积变换的思想。

二、《原本》中重要的数学思想

《原本》是最早一本知识丰富且以公理化体系组织内容的数学书，全书十三篇集结了希腊古典时期数学工作的精华，涉及算术、代数、平面与立体几何。现行中小学数学教材中算术、代数和几何的内容大都出自《原本》。因此，了解《原本》在证明定理和命题时所采取的主要数学思想，不仅能对勾股定理有更深层次的认识，还有助于我们对中学数学内容的整体把握和进行有效的教学设计。

《原本》最突出的特点在于公理化体系的演绎推理。在处理数学证明时主要涉及到归纳猜想、分类讨论、数形结合、归谬法、穷竭法、等积（等面积或等体积）变换等数学思想方法。比如，在第五篇的比例论中主要体现了分类的思想；在处理关于曲线和曲面所围图形的面积和体积时，主要应用归谬法和穷竭法；在算术（数论）、代数和几何的内容中，体现最为突出的是转化、等积变换和数形结合的思想。对于中学数学教学内容，不管是在几何还是在代数方面，这些思想的适用性都十分广泛。

三、勾股定理的教学价值及其处理

1.勾股定理教学重点的定位偏差

探究性教学方式是新课程理念下所强调的教与学的主要形式。因此，大部分的教学设计都把重点放在引导学生探究勾股定理的发现与证明的过程上。虽然定理的内容和证明过程简单直观，但回望历史我们能体会到，要在课堂教学中让学生真正地去“再发现”定理及其证明是极度困难的事[2]。倘若让学生像教材那样通过测量、面积拼补的数学活动去发现定理，这属于知道定理后的验证，并不是真正意义的探究和数学再发现。但已有研究[2，5]发现，这是目前探究勾股定理常用的两种教学方法。

2.勾股定理的价值及其教学思考

从勾股定理的发现和证明的历史发展看，定理有其实际应用价值且蕴含了丰富的数学思想，如特殊到一般、归纳猜想、转化和数形结合的思想。古代中国和古希腊人对定理的证明也彰显了东西方不同的数学文化和精神。从《原本》中我们可以获得启示，承载在勾股定理证明之上的数学思想是《原本》的精髓部分，核心体现了处理中学几何和代数问题的常用方式。所以实际上勾股定理在中学数学中的价值还在于它为几何与代数架设了一座桥梁，起到了传承的作用。

基于对数学史和《原本》思想的认知，勾股定理的教学价值在于：一是它能解决实际问题；二是定理和定理证明蕴含着丰富的数学思想。这些是学生为什么要学、教师为什么要教的原因。因此，勾股定理的教学重点在于：让学生体会应用价值的基础上突出对数学思想的把握和数学文化的对比。而根据弗赖登塔尔的数学教学观点[6]，数学的学习应是一个数学知识再发现、再创造的活动过程。教师应带领学生在做中学、重走发现之路，通过相应的情景体验所学知识的重要性，并从中获得具体的知识和一般的思想方法。结合弗赖登塔尔的教学理念和勾股定理的价值定位，笔者对勾股定理教学的几个重要环节提出建议。

环节1：设置适当的现实的生活情景，激发学生求知欲

这个环节主要是让学生体会到学习勾股定理的现实需要及其应用价值。已有不少好的情景设计可供大家参考[5][7]，这里不再赘述。

环节2：简单介绍有关勾股定理的历史，体会知识的形成过程

从巴比伦人解决实际问题中发现直角三角形三边关系，到毕达哥拉斯学派用特例肯定结果，再到欧几里得给出严格证明的过程，体现了观察、归纳、猜想、证明的合情推理数学思想。同时也印证了数学的知识大都来源于实际生活的需要，这是数学发展的动力之一。通过了解历史，让学生对以上两个方面有所理解。

环节3：展示定理的证明过程，突出其丰富的数学思想（替代让学生探索定理的证明过程）

展示定理的证明，习得证明的方法。更重要的是让学生体验并获得承载在证明之上的数学思想，这对学生后续的学习乃至终身都是有益的。

引领学生进行欧几里得的证明，揭示蕴含的数学思想。其一，将直角三角形三边关系转变为面积关系来考虑问题，体现了由线段长度向面积转化的思想。其二，证明过程中利用面积相等的理论进行图形间的相互转换，体现了等积变换的思想。其三，这个定理还告诉我们怎样作一个正方形使其面积为所给两个正方形面积之和，即求x，使得x2=a2+b2。因此，证明过程更深层次的意义在于给我们提供了一个解决代数问题的思路：许多代数表达式中两数乘积、三数乘积可转化为面积、体积来处理。这些体现了重要的数形结合思想，它贯穿了整个中学数学的教与学。

环节4：东西方证明方法对比，领略数学思想的统一性和数学文化的差异性

根据时间的充裕程度，选择“赵爽弦图”、“青朱出入图”中一个或两个向学生展示说明证明的思路和特点。中国古代和欧几里得证法都充分运用了面积转化理论，却又各具特色。欧几里得证法推理严谨，重在演绎；赵爽和刘徽的证法通俗易懂，重在应用。两者的证明也反映了古代中国和古希腊两种不同风格的数学文化。古希腊人追求用公理进行逻辑推演，注重理性思维的培养；而中国古代数学则崇尚实用和算法。等式a2+b2=c2，简洁、对称，证明的方法多样、直观，图形构造简单又不失美感。因此，勾股定理的内容和证明所体现的美学价值，也是吸引众多的数学爱好者寻找各种证明的原因之一。

参考文献

[1] 王芳，张维.多元文化下的勾股定理[J].数学教育学报，2004（4）.

[2] 杨小丽.勾股定理的PCK内涵解析[J].数学通报，2011（3）.

[3] 莫里斯克莱因.古今数学思想（第一册）[M].上海：上海科学技术出版社，2014.

[4] 王海青.新课程下不可遗忘的几何教学宝剑——面积法[J].数学教学研究，2008（2）.

[5] 李庆辉.《勾股定理》教学设计比较研究[J].中国信息技术教育，2009（17）.

[6] 弗莱登塔尔.作为教育任务的数学[M].上海：上海教育出版社，1992.

[7] 张蜀青，曹广福.以问题驱动的原理课教学——以勾股定理教学为例[J].中學数学月刊，2014（8）.

【责任编辑 郭振玲】