数学阅读的技术结构研究

高志扬 张昆

摘      要

学生学习数学都绕不过数学阅读这个学习的基本环节，数学阅读是学生的重要核心素养之一。数学阅读的技术结构在于领悟数学语言、符号、图形或图表的涵义；把文字的涵义与符号、图形或图表的涵义这几者联系起来；分析符号（包括图形或图表）之间的关系，并试图将这几个方面组织成一个整体；解数学文字应用题四方面要素。这种技术结构的发现对培养数学阅读这一核心素养具有重要作用。

关 键 词

数学教学  数学阅读  教学能力  核心素养

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高志扬，张昆.数学阅读的技术结构研究[J].教学与管理，2023（33）：86-89.

在教师必须完成某些数学教学任务时，学习者需要先具备某些数学技能、知识、观念、思想、理论与以前的学习所生成的经验等前提条件，当这些前提条件不能充分满足时，学习者个体就必须要进行额外学习，使这些前提条件得到满足，才能完成当下所需要完成的学习任务[1]。这种额外学习活动，如果是大多数学生的需要，教师就应该进行有组织、有计划地安排，如果只是少数学生的需要，很可能就主要依靠学生自己去完成。如果从独立完成学习任务的视角上看，这些学生最常选择的途径就是查找与阅读相关的学习材料，或者是教师有针对性地向他们提供某些有价值的辅助性学习材料，因此培养学生的数学阅读素养十分必要。本文通过数学阅读过程，探索培养学生数学阅读核心素养的途径。

一、数学阅读在数学学习中的作用

由于数学阅读具有学习数学活动的普遍性、基础性与特殊性的特点，数学阅读素养成为学生学习数学最为重要、最为基础的核心素养。当学习者具备了数学阅读素养，数学的其他核心素养要素都可以由学习者自己通过数学阅读这项核心素养而独立地发展起来。伴随着数学阅读过程，数学阅读核心素养可以迅速地转化为学习者学习数学的技能技巧、能力、经验，或者为产生与完善学习数学的这些要素提供必要的支持[2]。由此，学习者可以逐步地摆脱对自己的数学教师的依赖，从而形成比较独立的、有效的数学学习的能力。

美国数学教育家D.H.贝尔在其专著《中学数学的教与学》中将进入数学课程的一般的数学内容划分为四个侧面：事实、技能、概念与原理。其中，数学技能与主体的肢体活动或心智活动息息相关，主要偏重于生理上的特点，学生通过训练而熟能生巧地生成、内化与定型，进而易于迁移到其他具体操作的情境中去。数学事实、概念与原理都离不开学生的自主阅读而形成，当然，听教师讲课时，有些学生可以不打开数学课本就能够学会一些数学事实、概念与原理，但是，如果经由学生自己阅读理解了的具体线索，能促使学生透彻地理解自己正在学习的数学内容，从而最有效地为自己所掌握，如此，即使没有教师指导学生学习数学，具备数学阅读素养的学生，通过自己的数学阅读进行独立学习也会有很好的收获，比听教师讲解所获得的知识及体现于其中的技能、能力、經验、观念等具有更好的迁移性。

众所周知，教师施教数学的重要目标之一，在于提高学生自学数学的技能、能力，从而帮助学生养成数学素质与素养。学生是数学学习的承担者与主体，数学学习是学生自己的事情，不能由教师（或他人）完全替代。因此，比较独立的数学阅读不可或缺。数学教师有效施教数学活动，是为了实现启发、鼓励，促使学生提高自己的学习效率与效果的目的。在提高自己的自学数学能力的相关项目要素中，学生数学阅读的技能、能力、经验起着非常重要的作用[3]。

学习数学的重要途径在于面对阅读对象所设定的情境时，寻找出合适的思考活动，数学教师施教数学是为了促使学生数学地思考，如果学生离开数学教师的鼓励、启发与指导，能够自己通过阅读相关的数学资料，发生具体的数学知识认识，这是最佳学习方式。如此，通过自行比较独立地阅读数学材料，展开数学学习活动过程，则会提高学生自学能力。当数学阅读能力达到了一定的水平高度，学生就不会依赖数学教师，可以时时处处地阅读，或者经由阅读而在记忆中思考那些在学习中已经形成的数学问题。学生为了解决问题，很可能不仅限于阅读数学教科书，而且会搜寻与解决问题相关的课外资料，如此，扩展了学生阅读数学内容的范围，为创造性或研究型数学学习奠定了基础。

由此分析结论能够认识到，从低年级到高年级的每一学段的数学教师，在施教数学知识过程中，帮助学生形成数学技能、发展数学能力、萌生数学观念，这是非常重要的途径。数学教师如果有意识、有机制、有目的地精心指导学生数学阅读，帮助学生提高阅读数学材料的技能、能力、经验，养成阅读材料的习惯，就为学生独立地学习数学插上了坚硬的翅膀。如此，数学学习好的学生能够突飞猛进；数学学习比较差的学生在闲暇时间里通过自己数学阅读，可以迎头赶上。

俄尔（R.Earle）指出：“大多数专业人员一致同意，认为任何一门学科领域中的阅读，不能、也不应当与该领域中的概念发展分割开来。”[4]具有数学阅读素养的学习者通过独立数学阅读，可以接受数学事实，形成数学概念，理解数学原理，萌发数学技能，并为从这些内容的阅读学习中转化为数学能力提供基础。

二、数学阅读技术结构的组成分析

数学阅读活动的心理过程需要类似于认知心理活动的等级水平来刻画，研究者从大量的观察与自己的数学阅读实践、数学教学实践中将数学阅读活动过程划分为四个必要的层层递进的层次：其一，领悟数学语言、符号、图形或图表的涵义；其二，把文字的涵义与符号、图形或图表的涵义这几者联系起来；其三，分析符号（包括图形或图表）之间的关系，并试图将这几个方面组织成一个有机整体；其四，解数学文字应用题。

1.领悟数学术语与符号的涵义

领悟数学术语与符号的涵义，就是认识领悟数学学习内容中字里行间的数学术语与符号的内涵，最终在自己的表达中，自由地、正确地使用这些术语与符号。数学术语与符号，就像一般性的文字一样，组成了数学知识的内容。数学阅读指的是，学习者仅仅是将术语与符号及其组成语句，变得就像阅读汉字一样，不仅从字里行间能够理解他人的意图，还必须要能够正确地陈述它们[5]。学习者必须熟悉所学习数学内容中的特殊语词、术语与符号以及图形或图表，如果不能识别和叙述诸如△、≌、⊙、⌒、∥、∽等数学符号，他就不知道这些符号及其组成的语句的涵义，也就不可能通过阅读的途径学习平面几何知识。

为了实现鼓励学生领悟数学符号的教学目的，教师可以要求学生朗读数学教科书的某些段落；当教师在黑板上写出（或PPT呈现）某些数学术语与符号时，必须要求学生正确地叙述这些术语与符号；在平时的小测验或正规的考试中，教师可以有针对性地选择与数学术语、符号相关的题型，如选择的题型（△ABC≌△DEF读作______。A.△ABC等于△DEF；B.△ABC与△DEF相似；C.△ABC全等于△DEF；D.△ABC与△DEF形状相同），配对的题型（将几个符号或它们表达式作为左边的一列，对这些符号的文字解释作为右边的一列，然后要求学生使用细线将左边的符号或表达式与右边的正确解释连起来），识别符号的题型（对下面的数学符号写出正确的叙述：①（）3______；②_______）等。教师应该有计划坚持不懈地帮助与督促学生认识数学的基本术语与符号。

2.把文字的涵义与符号、图形或图表的涵义联系成一体

当学生已经能够辨别、认识与叙述某些数学术语与符号时，教师就应该引导学生把这些文字的涵义与这些符号、图表、图形的涵义联系起来，并且通过这种联系的心理过程，形成学生的关联文字与符号、构成语句的相应能力[6]。对于一般的数学术语、符号所构成的语句，每一名学生都应该在教科书（或教师提供的教学辅助材料）呈现的内容的不同段落中，识别或找出数学名词或符号，并且理解这些文字或符号的组织顺序所构成的语句的内在涵义。

当学生通过自己的阅读和思考，已经能够熟练识别与陈述这些阅读内容的对象时，教师就应该以学生理解与应用的方式，进一步说明这些学习内容的涵义，帮助学生以自己的数学现实为基础，正确地说明数学术语与符号的涵义。例如，学生能够记住教师所定义的an的涵义是指n个因数a相乘的积，但是学生不会在适当的情境下选择与应用它，这就说明学生并没有理解这个定义的内涵。

长期的教学经验使我们认识到，学生通过阅读（或者在老师的指导下）形成定义的方法是，每一个学生要有一个类似于数学词典的笔记本。既然学生弄不懂教科书与教师呈现于他们的一些数学定义（文辞的或符号的），就应该把他们所需要理解的每个术语或符号的定义记在这个词典笔记本中。同时，教师也应该在适当的时候检视学生给每个术语或符号所下的定义，以便掌握定义这些术语或符号的准确性程度，从而及时地、有针对性地给予学生以帮助，使学生在掌握这些术语或符号时技术上是正确的、可行的。

教师在时间允许的情况下，可以把部分学生所做的典型的定义（错误的或正确的）向全班学生诵读，要求其他学生对定义加以评论，这种教学行为有利于学生看到正确与准确定义的价值，同时也给他们批判地解释、分析其他同学的数学定义的机会。为了准确与一致，并且作为阅读与理解教科书的一种辅助材料，学生应该在自己的词典笔记本里，把教科书上各个术语与符号的定义写在自己写出的定义旁边，从而鼓励学生形成一种对比性的认识与理解方式，有助于学生更加有效地进行记忆，形成标准性的阅读，在需要时可以形成有效的应用。

学生有无能力通过阅读中的分析过程，把文字的涵义与数学语句、符号关联于一体，其关键在于学生能否详细地叙述每个数学定义，用各种不同的例子说明教科书中呈现的语句与符号的涵义。例如，函数的概念在初中与高中的定义形式的要求截然不同，从初中时的定义过渡到高中时的定义的转化过程，需要把相应的术语转化为符号，把生活中的实物性的特点转化为抽象的概念性的特点，教科书中通过例子并且使用了图形、图表，学生要理解高中函数概念就必须要把文字、符号、图形或图表关联起来。对此，学生可否自行独立地实现与完成，是学生理解这个定义的一种重要标识。

随着智力的成熟、学习经验的丰富，学生能够以一种更精确、更抽象、更概括和更有用的方式重新定义数学术语或符号，从而保证在数学阅读中，能够尽快地掌握一句话、一个段落、一个主题的本质内涵，学习效率大大提高。与其说鼓励学生记住那些对大多数人来说没有真正理解的正规的数学定义，不如启发他们通过分析那些不精确、不严密的数学定义，从而得出正确和有用的数学定义，后者将更有价值，更能促进学生对于相关的数学知识的理解，并且提升学生的数学阅读能力。

3.分析数学符号等要素之间的关系

分析数学符号等要素之间的关系，就是同时处理已经陈述的事实、概念、术语与符号这些学习内容，并且由此而识别已陈述与未陈述的内容及其之间的关系。当学生阅读数学教科书的一些段落时，他们必须个别地领悟术语、符号、图形或图表及其所形成的语句的内涵，把文字涵义与这个段落内容整体联系起来，然后注意各个段落中所有术语与符号的共同特点和它们之间的关系。在某种意义上说，关系的分析就是把通过数学语言（文辞、符号、图形或图表）表达的数学知识组织成相互联系的一套要点的过程。

分析数学符号等要素之间关系的教学过程，教师的教学准备活动可以简述如下：其一，分析数学教科书呈现的相关学习内容中的词汇（文辞、符号等），并且把能表示出需要学生了解的主要概念的所有词汇列成表；其二，整理这个表中的词汇，直到教师认识到可以画出一个图表，说明学习任务所特有的概念之间的关系为止；其三，把教师认为学生应理解的词汇、概念填到图表上去，这是为了说明学习任务与各个部分之间的关系；其四，评价这个到现在为止已经产生的具有结构性的图表，评价的方式可以为提出一些问题：这段学习材料中的所有概念都纳入到这张图表中了吗？你已经把这段学习材料中的主要关系描述清楚了吗？这个结构性的图表可否加以簡化？它是否仍然能有效地表示你认为最重要的那些关系？其五，当教师向学生提出学习的具体任务时，向他们呈示已经整理好的图表，并且简要地说明为什么要如此地整理这些词汇，要鼓励学生尽可能多地说出他们自己的解释；其六，伴随学习任务的完成过程，教师应选择合适的时机，把新知识与已经作成的结构性的图表联系起来。

教师整理与组织好的关于某一段教科书教学内容的结构图表，可以作为先行组织者[7]的形式介绍于学生。但是，为了鼓励学生提高阅读和理解数学教科书的能力，教师还应该完成教科书上的简短的指定的数学阅读作业，并且准备好自己的书面结构的图表。为了帮助学生写出自己的结构图表，教师首先应该作出自己的一些图表，启发全体学生了解甚至掌握这个图表是如何制作出来的，学生从中可以领悟到从阅读到制作结构图表的心路历程，这是分析数学符号等要素之间关系的很好途径；然后要求学生阅读几页教科书上的学习内容，学生独立或以小组的形式（在教师的指导下）进行学习活动，从而制造出一个结构图表，完善此图表，就可以由此作出指定的数学阅读作业的模型。如此，达到提高学生分析数学符号等要素之间的关系的能力的目的。

4.解数学文字应用题

数学学习最高阶段的心理语言（包括领悟词汇与符号的低级阶段活动，把文字涵义、词汇与符号联系起来，分析词汇与符号之间的关系等）活动就是能够解决相关的数学文字题。数学文字题是一个较为普遍与广泛的涵义，而不是仅仅指某一项知识。在数学活动中，数学文字题通常是通过散文的形式陈述的任何问题，代数中的标准故事问题是数学文字题，算术中的应用题是文字题，几何中的定理与命题也是文字题，三角中关于度量、距离与角等的问题同样是数学文字题。

在中学数学教学中，利用数学文字题的资源可以培养学生解决数学问题的一般技能，这种技能相对比较容易地迁移到其他数学或非数学领域的学习活动中。学生为了阅读与求解数学文字题，他们必须领悟这个具体的问题陈述中相关的词汇、符号及其组成的语句，理解它们并且需要正确地分析这些词汇、符号及其组成的语句之间所内含的关系[8]。好的数学文字题的解题者会把这个文字题重新组织成可以使用一种数学算法来求解的数学符号关系体系。

在课堂上，数学文字题的特点是教师难教，学生难学，这就对教师的教与学生的学提出了很高的要求。学生不仅必须在心理语言的所有四个阶段进行有效操作，而且必须使用自己的高级智力阶段的分析、综合和评价探究文字应用题中的材料。在解题活动中，学生需要复习教科书上的某个段落，考虑将某个一般的解题模型的各个步骤搜寻出来，用它来帮助发现问题的思路。一般而言，要培养学生能仔细地、有分析地阅读文字题的能力，不是一朝一夕就能够实现的，教师要有整体思想，学生需要经过若干年的耐心学习，才有可能实现。

总之，教师应该针对数学阅读技术结构的这几个环节，选择好示范材料加以数学阅读示范，鼓励学生通过自己的阅读实践形成有效率的数学阅读方法，学生在数学学习中运用这些数学阅读方法展开自己的数学学习。教师也应该促使学生进行个性化的数学阅读活动，并从这种个性化的数学阅读活动过程中发现问题，练就学生的阅读技能，阅读数学教科书或教师提供的辅助数学学习的材料，促使学生想方设法地通过阅读理解自己所阅读的内容。

数学阅读是支持学生独立学习数学活动的基础，也是学生掌握数学事实、技能、概念与原理的最为重要的基本途径之一，是学生形成数学能力，发生数学体验，萌生数学学习兴趣的必备素养，因此，数学阅读是学生学习数学的重要核心素养之一[9]。培养学生的数学阅读核心素养需要数学教师依据数学的特点，数学阅读技术结构活动的组成环节，学生数学思维发展所处水平[10]的阶段性特点，形成数学阅读方法的特殊性与针对性，据此，教师设计培养活动的特殊计划，通过数学阅读过程的活动特点实现教学目的。

参考文献

[1] 张昆. 培养数学阅读方式的教学实践创新[J].中学数学教学，2019（01）：5-8.

[2] 张昆.指导学生阅读数学教科书的實践探索[J].中小学数学（高中版），2019（Z1）：3-7.

[3] 邵光华.关于重视数学阅读的再探讨[J].中学数学教学参考，1999（10）：7-9.

[4] 贝尔.中学数学的教与学[M].许振声，管承仲，译.北京：教育科学出版社，1990：615.

[5] 邵光华.数学阅读：现代数学教育不容忽视的课题[J].数学通报，1999（10）：16-18.

[6] 郑毓信，肖红.语言视角下的数学教学[J].课程·教材·教法，2009， 29（09）：47-53.

[7] 奥苏贝尔.教育心理学：认知观点[M].余星南，钱钧，译.北京：人民教育出版社，1994：145.

[8] 李丽.试论高中数学应用题阅读学习的策略[J].数学学习与研究（教研版），2008（02）：57.

[9] 张昆.激发数学阅读兴趣的实践途径[J].中学教研（数学），2018（08）：27-30.

[10] 皮亚杰.发生认识论原理[M].王宪钿，译.胡世襄，校. 北京：商务印书馆，1996：21-57.

[作者：高志扬（1999-），男，江苏徐州人，淮北师范大学数学科学学院，硕士生；张昆（1965-），男，安徽淮北人，淮北师范大学数学科学学院，中学高级教师，博士。]

【责任编辑  郭振玲】