基于核心问题培养模型意识——以小学数学“植树问题”为例

时间：2024-05-07

文 /黄露岚

随着基础教育改革的推进和发展，数学建模越来越受到重视。《义务教育数学课程标准（2022 年版）》指出，模型意识主要是指对数学模型普适性的初步感悟[1]。模型意识是小学数学学科核心素养的重要组成部分，是形成模型观念的经验基础。培养模型意识不仅能促进学生数学思维发展，开展跨学科主题学习，也能提高学生解决问题的能力，增强学生对数学的应用意识。因此，培养模型意识具有重大的现实意义。

一、缘由：为何基于核心问题培养模型意识

纵观传统的小学数学课堂，大部分教师能认识到数学思想的重要性，有在课堂教学中渗透数学基本思想的意识，积极创新教学理念和方式。但是，小学数学教材的明线侧重数学知识，数学模型思想是隐含其中的暗线，模型意识的培养在实际的小学数学课堂教学中渗透力度不够，存在着一些问题。例如，在教师层面，部分教师对数学模型思想理解不到位，缺少对模型意识的系统认识。部分教师在教学时没有结合学生的学习特征和教学内容，教学方式不符合建模规律，教学没有方向感，新知教学缺乏对模型意识的渗透，练习环节缺乏模型意识的强化，小结环节缺乏对模型意识的提炼，作业布置缺乏模型意识的体现，种种原因导致应用效果不佳。此外，部分教师没有深入挖掘教材中蕴含的模型思想，没有有效整合教材中零散的模型内容，导致教学有模型没思想。而在学生层面，小学生的模型意识相对欠缺，对模型思想的认识流于表面，对数学模型的认识只停留在朦胧状态。

核心问题，即统领一节课的中心问题、关键性问题，需要学生思考，能发挥问题的价值的问题。本文尝试以人教版五年级（上册）“植树问题”一课为例，基于核心问题，充分调动学生参与数学学习的主动性，使学生深度思考，发现现实生活现象中蕴藏着的数学信息，用数学的思维把这些现象抽象成数学模型，并用数学模型解释现实生活中的现象，培养模型意识，初步感悟、建构、完善和运用数学模型，帮助学生在亲历建模的过程中培养模型意识，感悟基本数学思想，为发展学生数学学科核心素养奠定基础。

二、策略：如何基于核心问题培养模型意识

（一）呈现核心问题，感悟模型意识

弗赖登塔尔认为，数学源于生活，又应用于生活，数学知识的根源在于生活中的普通常识。学生需要认识到现实生活中大量的问题都与数学有关，需要关注数学知识的原型，对现实情境有充分的认识，能用数学的眼光观察生活情境，发现和提出问题，并运用数学知识解释现实生活中的现象，分析和解决问题，有效培养模型意识。而在日常的小学数学课堂教学活动中，大部分学生并没有完整地接受数学建模的专项课程学习。学生有时能够记住某些特殊情况下的知识建模，但又往往因为生活素材过少、亲身体验不够等，对数学模型的认识只停留在表面，没有真正系统地认知和感悟，没有有效经历数学抽象过程，导致对数学本质的理解不够透彻，影响了数学建模，模型意识相对薄弱。

创设合理有效的生活问题情境是培养模型意识的有效途径。在小学数学课堂教学中，教师要充分利用学生熟悉的生活素材，适时呈现核心问题，展现生活中的数学原型，将数学问题生活化，让学生在真实且有趣的生活情境中理解数学内容，引导学生自主思考、深入探究、合作交流等，围绕具有一定思维价值的核心问题，聚焦知识的本质，由浅入深，逐步推进，经历从生活原型问题逐步抽象到数学问题的过程，感悟模型意识[2]。

例如，在创建全国文明城市的背景下，教师从学生熟悉的生活情境和已有的生活经验出发，呈现植树问题：“在1000 米的小路一边植树，每隔5 米栽一棵（两端都栽）。一共要栽多少棵树？”学生在梳理条件后提出各种猜测，如199 棵、200 棵、201 棵等，在复杂情境中初步感知棵数和间隔数的关系。基于核心问题“到底需要栽多少棵呢？有什么办法来验证呢？”，学生动手实践，尝试画图验证，发现较难直接通过画图验证复杂问题情境的猜想。这可以引发学生的认知冲突。教师可以使学生利用学习任务单，主动选择较小的数据，通过画一画、算一算、找一找、说一说等环节，在解决问题的过程中体会：将未学过或者不易解决的问题转化成已经学过的或者比较容易解决的问题，从简单情境中发现规律，进而用规律解决复杂的问题情境，化繁为简。基于核心问题，学生可以在学习中提高解决实际问题的能力，增强合作交流的意识，养成主动探究的习惯，初步感悟模型意识。

（二）聚焦核心问题，建构模型意识

建构主义认为，知识不是简单地通过传授得到，而应由学生利用自己已有的知识和经验主动建构的。模型意识并不是学生天生就具有的，而是一种需要后天不断努力培养和建构的数学意识。在学生自主探究过程中，教师不能直接灌输模型意识，而应当扮演好引导者角色，引导学生聚焦核心问题，对学生进行指导或点拨，使学生在具体的生活情境中理解问题，经历感知、理解、想象、推理、抽象、概括等系列活动，从现实问题中提炼有用的数学信息，舍去非本质要素，在自主探索的过程中建立更多感性认知，及时归纳、总结探究结果，亲身经历数学建模的全过程，把握数学模型的结构特点，建立对数学模型的理解，把新建立的数学模型真正纳入原有的认知结构中，并逐步建构模型意识。

例如，围绕核心问题“两端都栽时，棵数和间隔数有什么关系？”，学生可以选择自己喜欢的较小的总长和间隔长，自主探究，合作交流，展示自己设计的植树方案。教师要及时列表，收集汇总学生的做法，如总长10 米间隔长5 米、总长20 米间隔长5 米、总长10 米间隔长2 米等情况，引导学生在总长相同间隔长不同、总长不同间隔长相同、总长间隔长都不相同等简单情境中，探究棵数和间隔数的关系，让学生发现“两端都栽时棵数比间隔数多1”这一重要规律。然后，学生聚焦核心问题“为什么间隔数要加1？”，借助写一写、摆一摆、画一画等，演示树与间隔的一一对应，明确多的“1”在哪里，建立“两端都栽”的植树问题模型，即“间隔数=总长÷间隔长，棵数=间隔数+1”。面对生活中的实际问题，学生能够通过观察、分析、猜想、选择、验证、归纳、抽象等数学活动，采用自主探究、合作交流等形式，研究“两端都栽”的植树问题，剥离其他非数学的信息，抽象出数学问题的结构及特征，即棵树和间隔数的关系，将实际问题初步抽象成数学模型，这也是学生解决数学问题的前提。在此过程中，学生还能用数学语言表达现实世界的数量关系，感悟数学与现实世界的联系，运用数学思维构建数学模型，探求解决问题的方案，建构模型意识。

（三）剖析核心问题，完善模型意识

小学数学教学有严谨的逻辑体系，当建构完新的数学模型后，教师应及时引导学生联系已建模型，找出内在逻辑关系。这既有利于学生深入理解新模型，也有利于学生进一步完善自身原有的认知结构。举一反三能力的培养与问题教学之间存在天然联系。在教学中，教师可以利用一个问题引出其他问题，让学生借助一个问题解答同类型的问题。数学核心问题应是有利于学生摸索与揭示事物本质的问题，既要符合问题的特点，又要满足教学的需要。学生要运用数学语言表达现实世界中的问题与数学的内在联系，解释表达的合理性，并结合自主探究的结果及出现的问题拓宽探究方向，进而完善模型意识[3]。

例如，在已经建立“两端都栽”模型的基础上，教师可以聚焦“只栽一端和两端都不栽，间隔数与棵数之间有什么关系？”这一核心问题，让学生以四人小组为单位，借助线段图，用一一对应的方法说明理由，完善植树问题的三种基本模型。然后，教师可以让学生对比分析核心问题：“观察这三种情况，它们之间有什么区别和联系？”针对植树问题两端都栽、只栽一端、两端都不栽的三种情况，学生会把树与间隔一一对应，发现棵数和间隔数之间的关系，抽象出植树问题实际上是研究线段中的点和线的关系，经历完整的植树问题模型建构过程。在学习过程中，学生会体会到“发现—分析—归纳—总结”的本质就是一个小型的科研过程，能够发展数学思维、完善模型意识。

（四）把握核心问题，应用模型意识

深度学习理论认为，学生的学习就是要对学习内容达成深度理解和切身体验，要抓住学习内容的本质属性，把握知识的内在联系。学生的认识是在“实践—认识—再实践—再认识”的过程中不断发展的。学生经历充分的探究活动建立起来的数学模型，并非只是针对个别数学现象或数学特征，而是对现实生活现象的本质属性和特征进行抽象概括而形成的典型特征，具有一般性。应用是模型的重要价值，模型的存在使问题的解决存在捷径。应用数学模型，绝不能单纯将模型看作数学公式进行机械的记忆、复述与运用，而要将模型作为训练学生数学思维的手段，为进一步锻炼学生的数学思维服务。

教师要创设不同的问题情境，为学生呈现丰富的表象积累，组成问题链，引导学生在运用数学模型解决问题的过程中，将已经生成的数学模型进行拓展，衍生出新的数学模型，回到现实生活情境中去体验和检验，进一步理解并掌握数学模型。教师要引导学生从不同角度观察发现模型的共同特征，体会模型的普遍性和应用价值，了解数学模型是数学应用的基本途径，可以用来解决一类问题，进一步培养学生主动建模的能力和应用模型意识。

例如，教师可以利用“植树问题，我们真的只是研究如何种树吗？生活中有类似这样的规律吗？”这一核心问题，让学生结合实际情境，灵活判断生活中的“植树问题”——“树”在哪里、“间隔”在哪里，从数学上的三种植树问题拓展到环形植树问题。教师可以拓展延伸到历史上著名的“二十棵树”问题——“20 棵树，如果每行种4 棵，怎样种植，才能使种的行数更多？”，使学生学会用数学的眼光厘清不同类型植树问题的关系，用数学的思维形成一定的解决方法，帮助学生从各个方面认识植树问题，会用植树问题的模型解决生活实际问题，用数学的语言表达现实世界。

三、期许：基于核心问题培养模型意识

数学学科核心素养的意义就在于我们应通过数学教学帮助学生学会思维，使他们想得更清晰、更深入、更全面、更合理。模型意识是重要的数学学科核心素养之一，模型意识的培养是社会对人才培养的客观需求，也是学生全面发展的必要条件。但是，模型意识的培养是复杂性与综合性并存的过程，并非一蹴而就。模型意识的形成无法可视化，因此离不开教师的指导，这就对教师的教学水平和学生的数学能力提出了较高要求。

在平常的教学中，教师不能忽略对学生数学模型意识的培养，教师应提高自身的建模教学意识，善于在平时的数学课堂上发现、摸索和实践，完善课堂教学策略，在各个教学环节中反复渗透核心问题，有意识地培养学生的模型意识，真正让数学思维服务于学生。教师应基于学生学情，依托核心问题，促使学生思考和学习，密切联系学生实际生活。教师还要利用核心问题整合教学内容，以学生为主体，在课堂上给予学生充分的探究时间和空间，借助多元化的自主探究活动，丰富学生对数学模型的认知，引导学生运用已有知识和生活经验开展观察、操作、推理等活动，经历感知、感悟、建构、完善和应用数学模型的过程，把握数学模型的本质。