数学联结性学习的实践策略

高 娟

数学联结性学习的实践策略

高 娟

类化和内化是数学联结性学习的两种实践策略。学习是以一定的经验和知识为前提，在知识联结的基础上进行的。本文中的联结性学习强调将学习材料本身的内在联系同学生原有的认知结构相联结，让学生获得更高效的学习经历与体验。

联结性学习；实践策略；数学学习方法

人们的学习总是以一定的经验和知识为前提，在联想的基础上理解和掌握新知的，这里的联想即为知识的联结。

联结性学习认为学习存在一个认知过程，是认知结构的重新组合。它既强调原有认知结构的作用，也强调学习材料本身的内在联系，把有内在联系的材料和学生原有认知结构联结起来，新旧知识发生作用，从而将新材料在学生的头脑中达成“内化”。

数学是人类文化的重要组成部分，也是促进学生全面发展教育的重要组成部分，数学教育者既要使学生掌握现代生活和学习所需要的数学知识和技能，更要培养学生的思维能力和创新能力。事实上无论是数学知识的形成、数学技能的掌握，还是数学能力的培养，都是学习者由未知到已知、将已知重组内化的联结过程。基于数学学科的特点，应当让学生生成网络状的知识结构，让学生拥有充分思考的空间，提高学生的学习效率。如何达到上述目标呢？笔者以为类化和内化是数学联结性学习的实践策略。

一、类化：形成数学学习的横向迁移

类化主要是将同类问题间的联系通过相同的解决方式联结到一起，通过比较可以归纳求同，把握共同规律，掌握基本概念；在此基础上深入理解，发散求异，发展创新，理解共性和个性的关系，从而让学生能更有效地解决问题，更有效地学习数学。

1.举一反三，建构知识体系。

子曰:“不愤不启，不悱不发，举一隅不以三隅反，则不复也。”这种典型的启发式教学，可以刺激学生的学习主动性和积极性。学生可以从预习、上课、复习这三个过程中借助“三思”（思方法、思归类、思多解），对所学知识进行举一反三，找到新旧知识间的联系，加深对知识的理解，形成自己的学习技能，从而发展自己的智力，培养解决问题的能力。

例如在教学 “借助三角函数特值求三角形面积”时，教师可以首先提供如下例题。

图1

图2

生：三角形的底和相应底边上的高。以AB为底，如图2过点C作AB边上的高，垂足为D。

师：高CD怎么求？△ABC的面积是？

生：因为∠A=30°，所以 CD=AC·sinA，S△ABC=

图3

在解决好上面的例题后，再提供如下3个变式。

图4

图5

这里设计的几个变式，题目的条件从已知两边夹一锐角变到已知两边夹一钝角，再变到已知两边和一角（不是夹角），问题都是求三角形面积。同例题相似，都需要借助特殊角的三角函数值来解决问题。这些变式促进了学生解决三角形面积问题的知识体系的构建。

2.“意义”联想，促进知识迁移。

联想是思维的一种特殊形式，一般情况下我们很容易从“形”方面对一个事物进行联想，如果能从其本质，即“意义”方面对事物进行联想，对学生思维更高层次的锻炼有着特别重要的作用。这样能够较快地帮助学生理解新知、接受新知并且熟练地运用新知。

例如，学生在初中阶段，已经正式开始学习几何。很长一段时间，很多学生都不能找到几何入门的技巧。但学生对数与代数的知识已经非常熟悉了，我们可以借助数与代数的思想方法，解决学生几何学习入门难的问题。

图6

在教学“垂直证明”的内容时有一道例题:如图 6，OD平分角∠AOC，OE平分∠BOC，判断OD、OE的位置关系。

解决此问题的过程中，我们可以这样联想:将这些“角”之间的关系联想为“数”之间的关系，并借助加减乘除运算将“数”之间的关系表示出来，这样可以帮助学生清晰地理解“角”之间的关系。

虽然这道题目很简单，但是对于初一刚接触几何的学生来说，他们很难理解，并且很难将其中的关系搞懂。但学生接触代数知识较多，无形中早已培养了符号化、形式化、结构化和操作化四个方面的意识。因此，学生在学习几何的过程中若能借助这四种意识，对几何知识进行“意义”联想，将代数知识迁移到几何问题中，便可解决几何学习入门难的问题。

二、内化：联结性学习形成数学学习的纵向迁移

学习是一个内化的过程，在多维互动中内化建构，需要思考“学”的策略和“学”的方法；需要运用智慧将知识进行升华，并学会在总结中不断内化知识，寻找知识的根本。这样将知识进行重组构建新的知识体系，不仅可以帮助学生找到问题的本质，还可能在其过程中得到意想不到的结果，使学生的学习思维得到深度的发展。

1.循环建构，催生数学思维。

学生学习的过程一般分为四个环节:自主定向、尝试学习、反思学习、自主学习。在这样的学习过程中，反思学习、自主学习即是对知识进行循环内化的过程。循环建构主要是将已经掌握的知识与新知联系到一起，形成一张知识网络图，在这样建构的过程中对新旧知识进行一种再认识、升华的过程，以此加深学生的理解，让学生能更好地学数学用数学，从而催生学生数学思维的种子。

例如在教学“一元二次方程”时，要引导学生回想学习一元一次方程、二元一次方程组的过程。

师：通过一元一次方程、二元一次方程组的学习，我们知道在学习方程问题时将经历几个阶段？

生：认识方程、解方程、用方程解决问题三个阶段。

师：那学习一元二次方程同样要经历几个阶段呢？

生：认识方程、解方程、用方程解决问题三个阶段去学习。

师：我们又该如何去解一元二次方程呢？

生：可以借助解二元一次方程组的思想，将一元二次方程转化为一元一次方程。

虽然上面的案例比较抽象，但这样一个过程，其实可以让学生认识到几种方程之间的联系。通过这样一个循环认知的过程让学生发现，要想解决未知的问题可以转化为已知的知识去解决，从而催生学生解决问题的思维。

2.追根寻底，激发数学思维。

教师经常会说:这个题目我都讲过四五遍了，他们还是不会。学生也常有这样的感觉:明明老师讲的时候我确实听明白了，怎么遇到了相同题目时又不会做了呢？其实说到底，是没有认识到问题的本质，那怎样才能理解问题的本质呢？“追根寻底”是解决这一现象的方法。“追根寻底”主要是通过对问题或者知识点层层剥皮，让学生在不知不觉中发现本质。

例如在教学设计“一次函数、一元一次方程与一元一次不等式”时，可以设计如下的情景，开展教学活动。

一根弹簧长为2cm，一端固定，另一端挂物。在弹簧伸长后的长度不超过8cm的限度内，设所挂物体的质量为xg，弹簧长度为ycm。

活动一：

（1）请你测量一下所挂物体质量为50g、100g、150g、200g时弹簧的长度，并完成下列表格。

?

（2）根据表格中的数据的规律列出物体质量xg、弹簧长度ycm的函数表达式 。

（3）在以x为横轴、y为纵轴的平面直角坐标系中画出函数图像。

活动二：

（1）当所挂物体质量x=230时，你能测量出弹簧的长度吗？如果不能，弹簧的长度能算出来吗？怎么算？

（2）如果给你一个物体，你能否借助手中的弹簧拉力器算出物体的质量？（从表格、表达式、图像三方面理解）

活动三：

（1）如果勾码不断挂下去，弹簧可以不断伸长吗？

（2）弹性限度范围内弹簧长度y（cm）满足什么条件？所挂物体的质量呢？你是怎么得到的？（从表格、表达式、图像三方面理解）

通过前面的活动，将一元一次方程与一元一次不等式与函数的三种表达方式作比较。以层层递进的方式，让学生进行活动，从而在本质上帮助学生理解函数、一元一次方程与一元一次不等式三者间的关系。我们发现函数是刻画一个运动变化过程中，两个变量之间的对应关系；方程是刻画一个运动变化过程中的瞬间情况；不等式刻画的是一个变化过程中，某一段的情况。从根本上解决了这三种式子之间的关系，让学生以后再遇到类似问题时可以快速解决。同时也激发了学生解决问题的思维。

总之，不管是“类化”还是“内化”，数学联结学习遵循数学知识的内在联结方式，遵循学生数学学习的内在规律，提供给学生 “学习的动力”，促进学生的思维向更深处发展，从而提升学生问题解决的能力。

G633.6

A

1005-6009（2017）35-0038-03

高娟，江苏省淮安工业园区实验学校（江苏淮安，223008）教师，一级教师。