从几个数学概念例谈理解和把握教材

王　林

如何理解和把握教材，需要探讨和研究的方面较多。本文主要就本次专栏所涉及的面积、分数和方程的定义谈谈自己的看法。

小学数学中的许多概念，在小学不能定义或不宜定义，大多数是通过描述性的方式和用“属+种差”的方式定义的。对于面积，大纲教材是这样描述性定义的：物体的表面或围成的平面图形的大小，叫做它们的面积。现在，教材没有给出定义，而是结合教室这一学生非常熟悉的实例，按照“物体有面——每个面都有大小——面的大小是面积”这样的线索教学面积的意义。让学生先通过“看”黑板表面、课本封面体会物体有面，“比”黑板面与课本封面哪一个大哪一个小，体会各个物体的面都有确定的大小，“想”什么是课本封面的面积感知面积的含义；再通过“摸”课桌面和椅子面，直接感知这些面的客观存在，并感受这些面各自的大小，扩大概念外延，进一步体会面积的意义。接着，让学生自己举例表达物体表面的面积，并比较它们的大小，反馈自己对面积的初步认识，并在更大的范围里体会，看到的物体都有面，每个面都有确定的大小，面的大小就是这个面的面积，从而形成初步的面积概念。在学生已经知道物体表面的大小是面积之后，学习平面图形的大小也是面积，从而全面理解面积的意义。教材通过比较一个正方形和一个长方形面积的大小，让学生讨论什么是这两个图形的面积，引导他们的认知迁移，从物体表面的大小是面积类推出平面图形的大小也是面积。教材虽然没有对面积下概括的定义，但是学生结合实例，在多个活动中体验、感悟、体会面积的意义，在表象的层面上充分认识了面积。大纲教材中的定义，也只是对面积的描述，不是严格的定义。在严格的面积定义里并不出现“大小”的词语。先要定义了面积，才能有面积的大小。实际上，不仅平面图形有面积，球面(立体图形)也有面积。但是，对于小学生来说，面积的严格定义并不重要，重要的是通过数学认知活动知道面积与长度一样是刻画图形大小的度量，知道面积的真正含义，建立面积的表象，会求一些几何图形的面积。

分数是一个内涵丰富的数学概念，在小学数学教学内容中占有重要地位。小学生学习的数，主要有正整数和正分数(小数是特殊的分数)，在正整数集中添加正分数，组成非负有理数集，是数的概念的重要扩充。在正整数集中，两个整数相除，有时不能得到整数商，为了使除法运算总可以施行(除数不能是0)，就需要引进分数。在小学，一般将分数直观地定义为：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数。这是关于分数的份数定义，是描述性的。实际上，分数除了份数的定义，还有商的定义和比的定义。在数学理论中，分数一般采用商的定义：两个整数m、n(n≠0)，m除以n的商m/n叫做分数。即是说，分数是一个商，m除以n除得尽时是一个整数，除不尽时就是一个分数。由于两个数相除又叫做两个数的比，于是就有了分数的比的定义：两个整数m、n(n≠0)，m比n即m/n叫做分数。六年级教材上说，两个数的比表示两个数相除，两个数的比也可以写成分数形式。学习了比之后，分数就可以扩大应用范围。我们知道了分数的这三个定义，可以更清楚地看出比的基本性质、分数的基本性质和整数除法商不变的性质内在的同一关系。由于分数与整数有较大的差异，学生掌握分数概念比较困难，小学数学教材对此一般分为三个阶段教学。第一阶段，三年级直观感性认识阶段，充分借助直观手段，只作具体描述，如1/2是分数3/4是分数，不概括出描述性的定义。学生通过三上的学习明白把一个物体、图形平均分成若干份，其中一份或几份，是这个物体、图形的几分之一或几分之几：通过三下的学习明白把由若干个同类物体组成的一个整体平均分成几份，用几分之一或几分之几这样的分数表示这个整体里的一份或几份，并应用对分数的初步理解。用整数计算的方法解决求由若干个同类物体组成的一个整体的几分之一或几分之几是多少个物体的实际问题。从一个物体、图形的几分之一到若干个同类物体组成的一个整体的几分之一，是认识分数的一次发展。学生储存了丰富的分数表象，到五年级认识分数的意义，理解单位“1”，不仅减少了学习困难，而且更有利于他们在丰富表象的基础上抽象概括，比较牢固地掌握分数的有关知识。学生到五年级整体认识分数，深入理解分数的份数定义，再通过两次分饼的数学活动认识分数与除法的关系，不仅用语言讲述和用数量关系式表示，还写成字母组成的等式，建立新的知识结构，实际理解分数的商的定义。到了六年级再学习比，体会比在生活中的应用，实际理解分数的比的定义，扩大分数的应用范围。这就使学生学习分数的过程循序渐进，有效而扎实。

对于方程，大纲教材是用“属+种差”的方式定义的：含有未知数的等式叫做方程。与被定义概念邻近的属是“等式”，种差是“含有未知数”。方程是等式里的一类特殊对象，“含有未知数”与“等式”是方程意义的两点最重要的内涵，“含有未知数”也是方程区别于其他等式的关键特征。现行教材按“等式+含有未知数一方程”的线索，结合具体情境，让学生通过观察天平平衡与不平衡的生活现象，帮助学生理解等式的含义，了解等式与方程的关系，概括出：像x+50=150、2x=200这样含有未知数的等式是方程。与大纲教材相比，特别增加了“像x+50=150、2x=200”这样的限定，一是因为实际上函数也是含有未知数的等式，增加限定后更具有科学性；二是可以避免类似于“x=6是不是方程”等一些过于形式化问题的过分关注与争论。方程用等号将相互等价的两件事情联立，等号的左右两边等价，比较全面地展示了建模思想。教学方程就是要抓住从等式的关系求未知数这一重点，通过列方程的教学让学生初步体会建模思想。通过解方程的教学让学生初步体会化归(转化)思想。教材要求小学生学习运用等式的性质解方程，就十分有利于学生体会化归(转化)思想。

从面积、分数和方程的定义的分析，可以反映出苏教版教材对概念、法则、规律等呈现的大致特点，我们教学时应引起足够的重视。

1、既有整体观念，又注意阶段性。教材依据数学课程标准，比较合理地编排了各册的教学内容，要按照教学进度和学生的认知水平进行教学，不随意提前教学后续的内容，不去轻易地拔高教学要求。分数的意义比较抽象，在三年级学生初步认识分数时，一定要把握好螺旋上升的度，贴近学生的认知水平，借助现实的情境和直观的图形，通过具体操作，使学生逐步获得对分数的感性认识，建立分数的表象，而不能脱离直观。同样的道理，乘、除法的口算，课程标准要求学生能口算百以内的一位数乘、除两位数，教学时就不要再提出两位数除以两位数的口算要求。二年级下学期学习口算不进位的一位数乘两位数，就不要提出进位的一位数乘两位数的口算要求，避免加重学生的学习负担。

2、要注重实质，适当淡化形式。数学教材在注重数学本质的同时，对一些定义、笔算法则等适当地淡化了形式。这是为了讲求实效，使学生更好地掌握整个知识，真正理解概念，体会数学的本质。从这个意义上说，适当的“淡化”是为了真正的“强化”。什么是乘法?求两个数的积的运算叫做乘法。但是，为了便于小学生理解，在小学通常把乘法说成是“求几个相同加数的和的简便运算”，现在“3个5相加”不再规定哪一个数做乘数，哪一个数做被乘数，就不应再要求学生把3个5相加只能写作5×3，而不能写作3×5，也不要过多地去要求学生说“3个5相加用5×3表示”这些形式化的语言。整数乘、除法的笔算法则，学生理解了算理，在已有经验的基础上合作交流，发现、归纳并总结出计算方法，能懂得法则的几条具体内容，按照法则比较熟练地笔算就可以了。教材没有用文字集中呈现计算法则，更没有用黑体字突出，我们在教学中就不需要将文字叙述的笔算法则让学生抄录背诵，也不需要对此进行默写或者填空考查。对于运算律的安排与教学，同样如此。

3、要加强概念特别是基本概念的教学。数学概念是数学知识的细胞，是学习和运用一切数学知识的基础。小学阶段所涉及的概念都是非常基本和重要的，不重视概念教学的现象当前比较普遍，应当切实纠正。概念教学是数学教学中必须抓好的重要一环，我们每一位数学教师和教研员，都必须重视和加强概念教学及其研究，努力改进概念教学。三年级小学生从学习长度到学习面积，是空间形式认识发展上的一次飞跃。以前面积和面积单位安排在一课时内教学，学生在一课时里既学习面积的意义，又认识三个面积单位，时间紧、任务重，对面积、面积单位概念的形成过程经历不够、体验不深，效果往往得不到保证。现行教材把面积与面积单位这两个对后继学习有着深远影响的概念分成两课时教学，目的就是让学生在第一次学习时。有足够的时间经历概念的形成过程，达到教学的扎实有效。运算律是小学数学中最基础的知识之一，教材紧密联系学生的生活实际，引导他们利用已经掌握的知识独立解答，再通过举例发现规律，从用符号表示过渡到用含有字母的式子表示这些规律，使得运算律的表达更加准确、简明、形象。这既便于学生加深体验，有利于他们掌握运算律，又能发展学生的符号感。