重视性质，提高解题效益

■宁夏银川一中 周天佐

同学们在解题过程中，一般采用常规方法，即通法去解决。但有一些题目，如果用常规解法，有时运算量大，过程烦琐，若没有扎实的基础很难做出。若能用性质或一些常用的结论去处理，不仅运算简便得多，问题也很容易得到解决，尤其对一些选择题、填空题，会收到事半功倍的效果。下面就一些性质或结论在解题中的应用进行分享。

一、函数中的应用

例1 已知函数f(x)=l n(1+|x|)—，则使得f(x)＞f(2x—1)成立的x的取值范围是( )。

解析：由f(x)=l n(1+|x|)—，可知f(x)是偶函数，且在[0，+∞)上是增函数，所以f(x)＞f(2x—1)⇒f(|x|)＞故选A。

本题是考查函数性质的综合题，是高考重点考查内容之一。若此题用其他方法去解，不仅运算量大，而且运算困难。若用偶函数的性质去解，则运算过程简单，会有事半功倍的效果。

二、立体几何中的应用

在立体几何斜二测画法中，原图形的面积与其直观图的面积之间的关系有以下性质

例2 如果等边三角形的边长为1，那么它的平面直观图的面积为( )。

此题若利用斜二测画法画出直观图，再求面积，则比较麻烦，而用上述性质，则使解题变得容易。

三、三角函数中的应用

在三角函数中，函数y=Asin(ω x+φ)(A＞0，ω＞0)的性质：

(1)函数y=Asin(ω x+φ)为奇函数⇒φ=kπ(k∈Z)；函数y=Asin(ω x+φ)(φ≠0)为偶函数⇒φ=kπ+(k∈Z)；

(2)函数y=Ac o s(ω x+φ)(φ≠0)为奇函数⇒φ=kπ+(k∈Z)；函数y=Ac o s(ω x+φ)为偶函数⇒φ=kπ(k∈Z)。

例3 函数y=sin(2x+φ)的图像沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图像，则φ的一个可能取值为( )。

解析：将已知函数y=sin(2x+φ)的图像沿x轴向左平移个单位后，得到函数y的图像，由已知条件知它为偶函数，则+kπ，k∈Z，即φ=+kπ，k∈Z。故选B。

此题考查三角函数的图像及其变化，若由偶函数f(x)=f(—x)代入去做，则会比较麻烦。

四、平面向量中的应用

在△A B C中，角A，B，C所对应的边长分别为a，b，c，有以下重要结论：

例4 已知O，N，P三点在△A B C所在 的 平 面 内 ，则点O，N，P依次是△A B C的( )。

A.重心，外心，垂心

B.重心，外心，内心

C.外心，重心，垂心

D.外心，重心，内心

解析：由上面的结论知答案为C。

熟记一些重要性质和结论，并能灵活运用，对培养同学们的数学思维能力、分析问题和解决问题的能力，以及提高同学们的数学素养具有积极作用。

五、解析几何中的应用

1.双曲线中的应用。

例5(1)与双曲线=1有共同的渐近线，且过点(—3，2)的双曲线的标准方程是( )。

(2)双曲线的一条渐近线方程为2x—3y=0，且过点(—，—2)的双曲线方程是____。

解析：(1)设所求双曲线方程为=λ(λ≠0)，又双曲线过点(—3，2)，所以=λ(λ≠0)，解得λ=—2，故所求双曲线方程是

(2)设所求双曲线方程为4x2—9y2=λ(λ≠0)，又双曲线过点(—，—2)，所以4·(—)2—9·(—2)2=λ(λ≠0)，解得λ=—1 2，故所求双曲线方程是4x2—9y2=—1 2，即

本题是双曲线标准方程和性质的题型，如果用分类代入去做，则不仅运算烦琐，浪费时间，而且对解方程的要求比较高。

2.抛物线中的应用。

在抛物线中，过抛物线y2=2p x(p＞0)的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，则对于其他几种抛物线仍然适用。

例6过抛物线y=4a x2(a＞0)的焦点F作一直线交抛物线于A，B两点，若|A F|，|B F|的长分别是m，n，则( )。

解析：由已知(a＞0)，则2p=，所以故选A。

类似本文所给出的性质和结论在高中数学中还有很多，需要我们在学习过程中及时加以总结，并牢牢记住它们。同学们在学习过程中应有意识地对这类题进行训练，这样有助于提升同学们的数学思维能力，提高数学素养，从而激发同学们的求知欲，增强解题成就感，树立学习数学的信心。