“绝对值不等式”中的“四类风景”

■江苏省泰兴市第一高级中学 丁红星

选修《不等式》在高考中主要围绕绝对值不等式的解法及简单不等式的证明展开，凸显不等式的工具性和应用性，因此，“绝对值不等式”中的交汇创新就成为一道亮丽的风景。

风景1——绝对值不等式与不等式恒成立

例1 已知函数f(x)=|x—2|—|2x—a|，a∈R。

(1)当a=3时，解不等式f(x)＞0；

(2)当x∈(—∞，2)时，f(x)＜0恒成立，求a的取值范围。

解析：(1)利用零点分段法分类构建分段函数，将不等式化为三段求解，然后求其并集。将函数f(x)化为分段函数得f(x)=当x＞2时，1—x＞0，即x＜1，解得x∈∅；当≤x≤2时，5—3x＞0，即x＜，所以≤；当时，x—1＞0，即x＞1，所以，故不等式解集为

(2)由题意，当x∈(—∞，2)时，不等式f(x)＜0恒成立，即2—x—|2x—a|＜0恒成立，即2—x＜|2x—a|，解得x＜a—2或恒成立，则由条件x∈(—∞，2)，得a—2≥2，即a≥4，故a的取值范围为a≥4。

感悟：以绝对值函数为背景，将绝对值不等式的解法、不等式恒成立问题网络交汇，考查“分类讨论法和公式法解绝对值不等式，以及分离参数构建函数求值域解决恒成立”的思维方法，凸显“逻辑推理、数学运算、数学模型”等核心素养的具体应用。

风景2——绝对值不等式证明中的“三角不等式和函数的单调性”

例2 (1)设函数f(x)=|x—3|，g(x)=|x—2|，对任意的实数x，y，若f(x)≤1，g(x)≤1，证明：|x—2y+1|≤3。

(2)设函数f(x)=|2x+a|+当a＞0时，证明：f(x)≥。

解析：(1)依据题设配凑使用条件，借助“绝对值三角不等式”放缩法求证。因为f(x)=|x—3|≤1，g(x)=|x—2|≤1，所以|x—2y+1|=|(x—3)—2(y—2)|≤|x—3|+2|y—2|≤1+2=3。

(2)利用零点分段法将函数f(x)写成分段函数的形式，然后分，求得函数f(x)的最小值。函数分零点取绝对值，f(x)=|2x+a|+

当x＞时，f(x)＞+a；当x＜—时，f(x)＞；当—时，。所以f(x)min=

综上可知，当a＞0时，不等式f(x)≥成立。

感悟：以绝对值函数为背景，将绝对值不等式的证明，与绝对值三角不等式和分段函数有机交汇，考查绝对值不等式的性质和绝对值函数最值的求解方法，凸显“函数的主导作用和均值不等式的工具性”。

风景3——绝对值不等式性质与“1”的整体代入求最值

例3 已知函数f(x)=|x|—|x—m|的最大值为3。

(1)求实数m的值；

(2)若0＜x＜m，求g(x)=的最小值。

解析：(1)由绝对值不等式性质知，f(x)=|x|—|x—m|≤|x—(x—m)|=|m|，当且仅当x(x—m)≥0时取等号，此时f(x)的最大值为|m|，故m=±3。

(2)由(1)及0＜x＜m知，m=3，则0＜x＜3，于是g(x)=，当且仅当即x=时取等号，故x=时，g(x)=的最小值为

感悟：以绝对值函数为背景，利用“绝对值三角不等式”可以求出一元变量的绝对值和的最小值或绝对值差的最大值，关键在于凑出和或差为定值；用均值不等式求最值，常常应用“1”的整体代入展开凑积为定值一次用不等式。

风景4——绝对值不等式与不等式证明的多种思维方法

例4 已知关于x的不等式m—|x—2|≥1，其解集为x∈[0，4]。

(1)求m的值；

(2)若a，b均为正实数，且满足a+b=m，求a2+b2的最小值。

解析：(1)不等式合理转化，利用公式法求解不等式，对照解集求待定参数值，不等式m—|x—2|＞1可化为|x—2|≤m—1，所以1—m≤x—2≤m—1，即3—m≤x≤m+1。因为其解集为[0，4]，所以解得m=3。

(2)由(1)和题设知a+b=3，由两正数的和求其平方和，可产生多种思维方法。

方法1：利用基本不等式解出其最小值。

因为(a+b)2=a2+b2+2a b≤(a2+b2)+(a2+b2)=2(a2+b2)，所以a2+b2≥，当且仅当a=b=时，a2+b2取最小值为

方法2：利用柯西不等式解出其最小值。

因为(a2+b2)·(12+12)≥(a×1+b×1)2=(a+b)2=9，所以a2+b2≥，当且仅当a=b=时，a2+b2取最小值为

方法3：降元化归求二次函数的最值。

因为a+b=3，所以b=3—a，所以a2+，当且仅当a=b=时，a2+b2取最小值为

感悟：以绝对值不等式的解集为背景求待定参数值，得到两正数和为定值，求两正数的平方和可产生3种思维方法。其中构建不等式解最值是重要不等式的一个应用。借助柯西不等式解最值简单且具有操作性，实质是|m·n|2≤|m|2|n|2的坐标表示，关键在于依据题设结构特征合理构造两个向量的坐标表示。降元化归二次函数区间上的值域是最基本和最重要的思维方法，应借鉴。