用数学思想方法指导教学

张双孝

数学思想方法，作为数学知识内容的精髓，是对数学的本质的认识，是数学学习的一种指导思想和普遍适用的方法。数学思想方法的学习和领悟会使学生将所学的零散的知识点联系起来，能帮助学生形成有序的知识链，为学生构建良好的认知结构起到十分重要的作用，是由知识转化为能力的桥梁，是培养学生数学意识、形成优良思维素质的关键。数学学习时，学生“懂得基本原理使得学科更容易理解”（布鲁纳），有利于记忆。学习基本原理有利于“原理和态度的迁移”，培养学生的创造能力，能够缩短高级知识和初级知识之间的间隙。数学思想方法能培养学生的数学思维品质。

数学思想方法教学的课堂组织模式

数学思想方法是基于数学表层知识，又高于它的深层数学知识，它隐藏在具体的数学知识方法之中，精心设计课堂教学、把握教学全过程是有效进行数学思想方法教学的基础和保证。教师要“站在系统的高度教授知识，让知识总是以系统中的一个环节的面貌出现在学生的面前”，着重数学原理的发现与汲取，设计课堂方案与组织实施。在数学教学中，我共梳理了以下五种模式。

观察、猜想——启发式。教师引导学生恰当运用观察与实验来获取经验材料，进行大胆猜想，发现新事物。操作程序可设计为：观察—猜想—实验—证明—应用。此模式适用于规律课（定理、公式、性质）的教学，在教学中强调从特殊到一般的方法。

研究、实践——探究式。在数学实际应用问题中经过逐步抽象、概括而得到数学模型，利用数学知识研究数学模型的结论，分析数据，并解释实际问题蕴含的内在原因。此模式适用于数学实际应用问题教学，一方面是利用函数方程思想、最优化思想解决有关的实际问题;另一方面是利用统计知识方法，处理数据，研究有关的实际问题。例如，利用所学的统计知识研究北京的空气污染问题、学生总成绩与各科目的相关程度的问题。

联想、演绎——启发式。运用类比联想帮助学生找出相关数学概念、相关数学命题之间的联系与区别，引导学生从概念的内涵、外延、属种、差别等方面去理解概念，澄清一些易于混淆的概念、定理、公式，确切地理解数学概念系统。此模式适用于新课、复习课，强调结构思想、最优化思想以及比较与分析、归纳与类比方法。

化归、转化——启发式。借助旧知识、旧经验来处理面临的新问题。其程序：对问题观察—联想—回忆旧知识—问题解决。此模式适用于“规律”课、复习课，强调化归思想、转化思想、数形结合思想。例如，立体几何教学中，将立体几何转化为平面几何;研究空间线面关系时，借助长方体进行转化，同时联想平面几何的有关结论探究立体几何中的图形性质。转化也是一种重要的解题策略、数学思想，人们在解决数学问题时往往要尽可能地把它转化为熟悉的、简单的已经解决或容易解决的问题。

训练、总结——启发式。解题是数学思维活动的主要实践形式，借助解题训练，在反复的体验和实践中使学生逐步认识、理解数学思想方法。此模式适用于复习课，强调多解归一，寻共性;多题归一，找规律。

数学思想方法的教学策略

在教学中，抓住机会、适时渗透、化隐为显。问题的发现过程、概念的形成过程、结论的推导过程、方法的思考过程、规律的被揭示过程都是在向学生渗透数学思想方法，是训练思维的极好机会。在教学实践中，我梳理了以下七条课堂教学策略。

策略一：让学生做学习的主人。学习有一条很重要的原则，就是自我培养的原则。对于数学思想方法的学习也不应靠灌输，教师应将数学思想方法的概念、结论性知识的教学设计成再发现、再创造的教学过程。通过探索研究活动，使学生在动脑、动手、动口的过程中领悟、体验、提炼数学思想方法，并逐步掌握、应用。

策略二：单元结构组织。“不论我们选教什么学科，务必使学生理解该学科的基本结构”（布鲁纳）。在组织安排教学内容时，我改变按课时分配划分的方法，按照知识的内在联系，将整本教材的教学内容划分成若干单元进行教学，使学生掌握知识内在联系，获得比较系统、完整的知识，便于记忆，使学生站在系统高度体会、掌握其中蕴涵的数学思想方法。

策略三：注重知识的形成过程。概念是思维的细胞，是浓缩的知识点，是感性飞跃到理性认识的结果，而飞跃的实现要经过分析、综合、比较、抽象、概括等思维的逻辑加工。现代数学尤其重视数学概念，许多技巧性强的运算证明可以被计算机代替，而概念获得则不能。概念教学既重视概念的运用，更重视概念的获得，引导学生揭示概念本质特征，培养学生从具体到抽象、特殊到一般的思维方法。教学中，教师应引导学生积极参与数学定理、性质、法则、公式等结论的探索、发现、推导过程，弄清每个结论的因果关系。

策略四：导入与小结设计实施要呼应。数学思想方法是隐性的知识，在导入的环节，不仅罗列出复习的知识，还给出本节的基本思维流程、基本思想方法，使数学思想方法显现出来引导学生研究体会;在小结的环节，有效地利用对比、类比、化归、转换等，揭示知识之间的内在联系，讲清来龙去脉，从整体上对内容有清晰的认识，形成知识结构图，利用算法思想展示思维流程，引导学生反思回顾，引起共鸣，促进学生掌握数学思想方法。

策略五：例题、习题实践中，注重过程渗透，最后在反思中升华。解题是最重要的数学活动，要从创设问题情境、理解问题、尝试求解、反思回顾的全过程运用、渗透数学思想方法。“反思是数学活动的核心和动力”（弗兰登塔尔）。对于例题、习题，不能就题论题，要让学生解完题后进行反思。反思求解的过程，能让学生较好地概括思维本质，从而上升到数学思想方法上来。这种对解题过程的评价，能够优化学生的思维方法，提升学生的创新精神和实践能力。

策略六：重视数学史的教育。纵观数学史，大凡有所成就的数学家，在数学思想方法上都有良好的素质，他们从无数次的成功与失败中，经过分析与研究探索到了科学的思维规律，掌握了数学思想方法，他们给人类的贡献不仅是数学成就，更重要的是给后人留下从事数学研究的思想方法。数学史也是对于一些重要的数学概念形成过程的人文描述，通过数学史的学习可以加深认识和理解。为此，我们开设了《数学史选讲》的选修课。

策略七：不断反复，螺旋上升。数学思想方法是基于数学知识，又高于数学知识的一种隐性的数学知识，要在反复的体验和实践中才能使个体逐步认识、理解，内化为个体认知结构中对数学学习和问题解决有着生长点和开放面的稳定成分。在高中三年教学中，教师一方面要在日常教学中渗透、突出、强化数学思想方法的教学;另一方面，依据最近发展区理论、可接受的原则，在不同的阶段进行数学思想方法的系统教学。

数学思想方法教学进一步推进举措

深入钻研教材，充分挖掘有关的数学思想方法。对教材的定义、公理、定理、公式、法则等要逐字逐句推敲，抓住揭示其本质属性的关键字眼，搞清彼此之间的逻辑结构，掌握教材的科学性;明确本节教材在整个体系中所处的地位，以及教材本身的结构特点，探讨和挖掘教材中的辨证唯物主义因素，掌握其中蕴涵的数学思想方法。

注重教学反思，开展教学研究，撰写经验小论文。在每节讲课结束后，要认真撰写课后反思，针对一些典型的问题展开研究，剖析问题，全面认识有关的概念、法则。撰写小论文，不仅能将自己的研究成果或教学经验及时总结出来，启发他人，又能通过参考大量的文献资料，展开一定的探讨与研究，提高自己的数学修养和教学能力，并形成对数学思想方法的系统认识。

掌握与教材有关的数学史。“如果我们想要预见数学的将来，适当的途径是研究这门科学的历史和现状”（庞卡莱）。学习数学史有助于全面深刻地理解数学知识。通过学习数学史，可以了解数学知识的来龙去脉，有利于教师处理教材，寻求有效的教学方法;学习数学史，可以了解数学先辈们的刻苦钻研的作风。中学数学教材中有大量的数学史料，教师必须掌握与充分利用这些史料才能很好地完成教学任务。

紧密的团队合作。如果有一个志同道合的工作伙伴与自己共同研究数学，相互交换意见之后的过程会少走许多弯路。另外，在交流的过程中能够碰撞出智慧的火花，并使得教师们在数学教育中形成一种伙伴关系，以共同协作进行数学教学。

总之，在教学中，教师要将数学知识和思想方法的教学结合起来，以数学思想方法为指导进行教学，在教学的各个环节渗透、明晰数学思想方法，引导学生领会数学知识间内在的本质联系，使学生形成良好的认知结构，有利于提高学生的数学思维能力，提高教学实效。

参考文献：

1.钱佩玲编著.数学思想方法与中学数学.北京：北京师范大学出版集团，2008.

2.朱水根，王延文等著.中学数学教学导论.北京：教育科学出版社，2001.

3.[美]G·波利亚著.数学与猜想.北京：科学出版社，2012.

4.曹才翰，章建跃著.数学教育心理学.北京：北京师范大学出版社，1999.

5.孙维刚著.我的三轮教育教学实验.北京：北京教育出版社，1999.