数学实践技能是自主创新的内在核心构件

杨瑞敏

摘要：人才是国家的竞争之本，而人才体现在自主创新，数学的应用则是创新的内在核心构件。只有将数学知识、方法，转化成数学实践的技能，才能孵化出更多高质量的创新成果。

关键词：数学；实践；技能；创新；构件

造就大批创新型人才，是国家发展的战略之本。尽管不同的专业、方向及层面所需的认知结构差异很大，但运用数学实践技能的强弱，决定着创新成果的质与量。

数学被公认为人类理性努力的最完美范例。因命题特性、研究方法、手段和作用有别于其他学科。它不仅直观，内在逻辑严谨，还有哲学般的思辨。使认知、解决问题，能更理性发散与收敛：让过程、结果更趋客观实在，能更精确地测度和把握事物。但认知不等于技能。从数学知识的学习与积累，到自觉运用数学的意识建立，再到得心应手地将数学知识、方法等，转化成认知和解决问题的实践技能，则是完全不同的概念。实践是人们对物质和思想活动的统称；而技能则是通过练习获得，且能够完成一定任务的动作系统。

长期的教学和探索，使笔者感悟到，数学的核心价值在于：能精确认知、把握考察对象的本质及属性。换言之，学数学不是为背公式和解题，而提升实践并解决实践中的新问题，才是落脚点。

一、数学成果是源于对实践的凝练

若想最大限度地把数学知识、方法，运用到实践中去，就需提炼出一套完整的实践技能体系，或称其为实践技能学。本文所谈的数学实践技能，是以提升认知和解决问题为目的，全方位、全过程地应用数学公理、定理、方法、计算及表达式等的综合能力。它既不是纯粹数学方法论，亦不是数学课程论，而是将数学应用与客观实在有机结合：把对具体事物的认知过程与数学已有成果的优化再整合，由此所产生出的一整套技能。

1，纯思维形式的数学实践技能。思维活动本身就是一种实践形态，它的基本特征是能娴熟驾驭各种要素和已知条件，在规则内任意扩展所需条件，有效构筑新的关系式，使认知或解决的问题达到创新。此技能，是以理性的数学思维为轨迹，推导严谨，结论无可置疑，突出表现在对数学原理、方法、知识的使用，对数学要素，能自由、合理地分析、移植、整合。在构建新关系体时，又可賦予精确的推演和计算，也包含对已有数学知识的发现过程，进行回归实践的体悟和对抽象问题的具体化和形象化再现，这些都是实现其他类型的数学实践技能的基础。比如，牛顿在发现新宇宙思维方式后，便归结为是数学思维方式的结果，并将其著作命名为“自然哲学的数学原理”；天文学家阿达姆和勒未累，在发现海王星后，称其为是数学计算的胜利；爱因斯坦，也把伟大的“相对论”归结为数学思维方式。

2直接应用于生活、生产的数学实践技能。从度量衡利用到统计、建模，从简易器件到航天器的设计制造，依靠数学知识、方法，去准确认知和把握事态的变化进程和结果，均可归为此类型的数学实践技能。表现在两个方面：一是建立自觉运用数学参与解决问题的意识，而且意识越清晰，指导性就越强；二是结合生活、生产中的问题，有效地运用数学知识和方法。如日常生活中的度量和货币的简单交换技能，人们已普遍掌握。但统计方法，尤其是多层统计方法，却仍是少数人才具有的技能。尽管它对帮助认清复杂事物的规律乃至本质及属性方面，有独特的效能。特别是现代数学与建模，对解决复杂的、呈动态的系统工程问题，虽任何学科无法替代，也仅仅是一些专业者的专属技能。可以想象，在航天计划及特大工程的实施中，若没有数学为主导的知识支撑，那是根本无法实现的。让数学尽量参与，就是充分建立结构关系和数学表达式，使认知和把握更精确。作为技能，只有使用越充分，越熟练，成效就越大。

3利用数学表达式的数学实践技能。数学已构建了一整套准确、简洁的符号表达体系。它最大的特点是能把复杂的事物体及过程，变成等量置换且相对简洁。极大地方便了推演和计算；更大的意义在于，可把一个相对复杂的系统，拆分成若干相对独立的简单部分进行考量，使认知更容易、更透彻。擅用符号表达，是数学活动中的重要内容。但只有真正理解每个符号的内涵和外延及属性后，才能运用自如。此外，还需依据实际需要，创建和使用适宜的组合符号群，才会产生卓越。

4运用计算机建模、实证的数学实践技能。对越来越浩繁、多变的事物体的认知与测度，单靠人的手和脑，已难以胜任。而计算机的高速运算功能，却提供了充分应用数学的可能。在特定的编程下，按照一定目的，再遵循数学原则设定不同要素，就能快捷准确地计算和推演出全过程。如今，计算机技术日新月异，从数值计算到数据处理再到建模都具有极大的优势，而且功能强大无比。已从简单证明，到要素及动态变化下的复杂认知体计算，甚至可以把抽象的认知，赋予以形象的演示。使用此技能，要具备两个条件：一是对计算机的操作及网络的应用能力；二是具备纯思维形式的数学实践技能，以此确保思路和操作路径正确。在现代社会大生产下，各行各业已广泛利用计算机，所以应用计算机的数学实践技能，就不仅仅是重要，而且是趋势和必备的要求。

5数学人文化的数学实践技能。数学通过特有的认识论、真理观，形成了独特的价值判断标准。如何使数学学习，促进人格完善，则是一个很重要的技能。把数学无穷的思维，转变到其他方面的认知中，把无差错与大量的辨证方法，自觉贯穿到行为准则中，把空间形式、数量关系、结构关系的内在对称、和谐、对立统一，形成善与美、辨证思维的体验和勇于挑战所面临困境的意志磨炼，就可以使数学赏心悦目、陶冶性情，形成更高尚的人格。其所具有的理性美、智慧美特征，在理性的高层次上就能显示出创造的本质力量。卓有成就的数学家们，正因为具备把数学转化为数学人文化的实践技能，才会在常人认为枯燥、艰涩的数学海洋中，不知疲倦地孜孜追求，并最终取得了骄人的成绩。数学的人文化最大价值是：催化数学认识、数学发展及数学实践的需要及背景不断升华和提高，对数学的再探索、再实践形成以几何级数递增的反作用力。把数学升华到人文精神层面，是学习的极高境界。

二、全方位娴熟应用数学实践技能，是创新型思维的孵化器

从某种意义上讲，学习数学可分为两个层面。基层是学知识、重积累：高层才是培养应用和提升的技能，即再消化后的再应用。现实中有许多数学学习者，被困在学知识的层面。结果是内容越来越多，知识日趋复杂，反被公理、定义、公式、符号等束缚或僵化。而实践技能不同，它以解决客观实在的问题为起始，以运用数学知识、方法为手段，以获得某种创新的“自由”为目的。全方位运用数学技能，就容易彰显出事物体的本质及属性的变化规律。从认知要素到命题，从推演到结论，从部分到整体，予以充分量化。即使不能达到绝对量化，也可利用“混沌”以“逼近”的方式对客观实在进行测度，进而发现内在的联系和量化条件下的肯定与否定，包括发现一些问题的空

当。从创新角度，这无疑是最有价值的“酵母”；从控制事物角度，经过建模和量化测度，对各方面“度”的掌握，就易上升到可操作的层面。自然，新的创新成果就容易产生出来。需要说明的是：这绝不是要把数学及数学实践技能，推向极致和万能，而是让其“灵魂”焕发出光彩。

三、教学过程实现数学实践技能的基本途径与方法

知识可以储存，也可通过检索获取，但技能只能在反复训练下，才能形成。

获取技能的途径与方法：(1)传授和学习数学知识之始，就充分与实践广泛、深入联系，即回归到实际背景和现实原型，实际上也是对知识进行发散和收敛。现在教学往往把知识的积累看得过重，严重忽略了知识在凝练成完美理论前，不但源于实践，而且蕴含着曲折的认知过程。若把最有意义的发现全过程忽略，就缺失了对完整过程的体验，自然会枯燥、抽象和导致厌学，更严重的是对知识的发散与收敛的技能减弱。(2)营造勇于实践的氛围，特别是在群体(班级)接受认知时，不同的认知背景，所形成合理的认知冲突，即在多种思想火花碰撞的雏形下，若能积极引导争鸣和探索的氛围，则可以互相启发、开阔思路，取长补短，去异存同，使认知趋于严谨和精确，把认知的技能变成内在的认知品质，并完成群体认知的升华或重构。(3)从简单的机械理解和解题入手，通过反复比较异同，感悟概念的内在关联，从中发现实质、要点、规律及属性，也从中品味到数学的美妙；若举一反三。加之再不断变换要素、条件，逐步增加推演的难度，实现实践与理论的自由穿梭，就成了解决难题的高手。作为技能的另一特征是，一旦停止使用，还会衰退。从发现到提出问题，到构建成新的、有针对性的数学思维关系序列，再形成完美的最优表达，就是数学的一个完整思维链。(4)把对数学的抽象理解转变为形象化，这是一种超链接的思维训练。只有善于从实际背景和现实原型的广泛联系，才会把知识认知形象化，才能更自觉地应用到实践中去。不僅如此，人的右脑记忆力是左脑的100万倍，这对庞大的数学知识体系存贮，将有着不可估量的价值。(5)尽量把心算、笔算、计算机的辅助应用形成技能，使之对数学的认知形成再发现或成为灵感的催化剂。(6)广泛交流、集体研讨，尤其与其他学科进行异构交流，那数学的使用价值，就能得到充分张扬，最好莫过于亲身参与有一定难度的项目实践活动，把个人自主探索和集体智慧融合在一起，定能起到事半功倍。(7)不断进行阶段性的数学认知梳理、重构，使内在关联更严谨、更统一。需要强调的是，无论从数学本身的再创新，还是作为工具，与其他学科再整合的创新，只有将技能积淀到一定程度，才会产生奇效。若处处自觉、灵活、有效地把数学实践技能融入到一切事物体的考量中，就到达了自由王国。此境界，也许正是我们学习数学的期望所在。

总之，要把被动认知，向自觉实践转化，而且是向思维实践和现实运用实践两个方向突围，才能把认知转化成体系性技能。这就需要，认知产生后，一切朝着学以致用的方向不断锤炼，若能将实践中的感悟，及时提升到新理论层面，就更难能可贵。此外，技能的积淀，是越总结越厚实，越用越娴熟，而且要有以精益求精的精神，反复提升、锤炼、才会熟中生巧，才能成为经典性的技能。

如在讲导数概念之始，先以学生熟知的、形象的、具体的实例导入，像诸如书桌上方吊灯最佳光线的位置确定，以及学生在上一节课时，接受能力的最佳时段，引出它们的共同特点是，寻找一个“最佳值”，即对“变数”的测定。再利用不同学生的认知背景，让他们自主探讨有关“最佳值”，并再举出自己熟知的实例及“最佳值”。这样让学生的思维充分活跃起来，充分训练他们的发散与收敛技能。

通过直观引入后，逐步凸显“变数”即变化量，是多变事物的构成核心要素，就明确了，要解决问题的目标和基本思路：是弄清变量与依赖该变量变化的另一个变量的变化规律，就容易优化匹配出诸关系序列。即：先建立两变量间相互依赖的关系式，求出变量与因变量的平均变化率，再求出瞬时的变化率。此间还可以引导学生注意欣赏符号的简洁美、严谨的逻辑美、序列关系美，实现从具体到抽象的认知升华。也明晰该知识的应用范围及方向。若再在微机上演示这个变化过程，则就可更加细致、清晰地了解各个变化过程的规律及特点。其目的，就是以教师的理性、有序引导为标杆，促使学生们自我发现、自己感悟、自主发散与收敛，自己总结和提升，自己寻找实践的结合点。

作为解题训练，其目的是让学生从机械的模仿，到更全面了解概念、要素变化下的具体把握，反复训练，至少在三种变异题后，就容易培养他们解决问题的多种技巧，进而达到真正理解、掌握，运用导数解决现实生活中遇到相似问题。

四、把数学实践技能物化为自主创新的核心构件，使数学价值发挥出更大的生命力

创新一般可分为三个层次，即原创新、集成创新和引进消化吸收的再创新。原创新最有意义，也是最难的创新模式，是一个方向上“零”的开始：集成创新，指将各种相关技术有机融合，形成新的产品和理论；而引进、消化、再创新，虽常见却也难有实际突破。原因是已固有的思维导向和成熟度，制约着再发散和延伸。

创新，是数学的本性，纯理论的数学论文，是不能重复别人成果的，也不能停留在低层次的创新，而需要更高、更强、更深的创新。创新成果的质与量，与数学实践技能的利用密切相关。对事物体的量化不但可将各种联结方式及强弱凸显出来，还利于对规律、结构及精细处，给予准确的认知和科学匹配。这正是所有创新的基础条件，且必不可少。在当今，由于主导人类发展的是科学技术，表现方式为全球经济、政治、生活一体化。因而内在的理性发展趋势，已不可逆转。由于所需认知和把握的事物体，越来越庞大和复杂多变，其内在匹配度要求越来越高。而数学特有品质，恰是解决这些问题的关键性支撑方法。但数学知识必定不能直接作用于实践，只有提炼出一套完整的实践技能体系，又转化到实践中去，才能发挥出应有的内在核心作用。