基于APOS理论下的核心概念及其教学策略

李婵

【摘 要】本文應用 APOS 理论，从操作、过程、对象、图式四个阶段分别就导数概念教学进行阐述，并结合教学实践，指出了各个阶段容易出现的问题。

【关键词】导数APOS理论 概念教学

【中图分类号】G  【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2019）08B-0112-03

数学概念是学习数学的基石，更是数学思想与方法的载体，在高中数学教学中具有重要的地位。而作为高中微积分章节的核心概念，导数概念是学生初次接触的并且较为抽象的概念，有不少学生很难区别变化率与导数之间的关系，对导数的几何意义认识不透彻。然而以建构主义理论为基础的 APOS 理论更加注重学生的主体地位，更加注重知识探究的形成过程，因此，如何基于 APOS 理论下探究高中数学核心概念教学策略，让学生真正理解导数概念的实质具有重要的意义。

一、APOS 理论下导数概念教学策略

为了让学生自己建构导数的概念，理解导数概念的实质，在教学过程中需要分为以下四个阶段来完成。

（一）操作阶段

为了让学生初步感受概念的科学性，对概念有一个初步的理解，教师应以学生现有的认知水平为出发，将学生已有生活经验和知识结合起来，适当创设问题情境，很自然地实现相关知识的迁移。在这一阶段中，教师的主要作用是创设问题情境，注意问题是否符合学生的认知水平。值得说明的是，教师不能因该阶段简单而忽视该阶段的学习，而应有耐心地引导学生实现知识的迁移，让学生自己去感受概念的合理性。

例如，在导数概念问题情境创设中，笔者以学生日常生活中所见到的吹气球现象为出发点，要求学生描述气球内空气容量增加与气球半径大小之间的关系，体会随着体积的增大，半径增加越来越慢，揭示出气球膨胀的本质变化。然后，以汽车的速度为例，引导学生将教学重点由平均速度向瞬时速度转变，从 ?t 大于 0 和 ?t 小于 0 两个方面入手，选取一些具体数值体会无限逼近的思想，认识当 t 不断趋近 0 时，平均速度将趋近于一个固定值，让学生感受导数概念产生的合理性。最后，从学生已有的认知—— 割线入手，探究一条曲线上，任取一个固定点，在其固定点周围随机取一些移动点，让移动点不断趋向这一固定点，观察割线的变化趋势，并引导学生写出割线斜率的一般式，即 。

（二）过程阶段

操作阶段只是一个外部刺激，而概念的形成还要依靠学生自己去建构。在过程阶段，教师应设置一些问题来探究，引导学生对操纵阶段的对象再次进行分析和反思，总结其共同特征和属性，在大脑中形成一个完整的认识。然后，组织成为数学语言，将相关概念所描述的内容精炼地表达出来。在这一阶段中，教师的主要作用是不断提出问题，进行启发，并引导学生对新旧知识进行比较。

例如，通过前面操作阶段的学习，学生已经对平均膨胀率、平均速度有了深刻的认识，深刻理解了瞬时速度的实质，发现趋近后确定的值就是瞬时速度，并引出瞬时速度这一抽象的数学符号。然后，按照由特殊到一般的原则，总结以上问题的特征和属性，理解某一时刻的瞬时速度如何表示和求解，进而转化为函数的瞬时变化率该如何表示，最终将导数概念与其函数的瞬时变化率结合起来，从而认识导数概念的实质。

同时，在理解导数的几何意义时，继续观察曲线上某一点割线的变化趋势，通过对割线斜率数学表达式的抽象，观察总结出当 ?t→0 时，其割线的斜率就会趋近在切线的斜率上，进而将切线的斜率与导数的概念结合起来，初步形成导数的几何意义就是该点切线的斜率。

（三）对象阶段

上述所获得的概念是通过对过程的总结而获得的，但这样所获得概念抽象性较强，必须实现由过程向对象的转化，必须将所获得概念作为一个整体去理解。为了实现概念由之前的动态步骤转变为静态的结构存储，需要教师组织学生反复对上述前两个阶段进行思考，对其概念再次进行补充说明和细节上的辨析，多方面地理解概念。值得一提的是，虽然经过了细致的引导和具体的实例，但还是有相当数量的学生难以接受这个概念，此时，教师可以组织学生通过一些具体的习题练习、对象建立示范等方式以达到深刻理解概念的目的。

例如，经过过程阶段，学生已经获得了相关的概念，但对平均膨胀率、平均速度的理解仍然较为抽象，平均膨胀率、平均速度到底是谁与谁的比值，进而通过类比得出函数中平均变化率就是函数值的增量与自变量增量的比值，即 ，显然，若 ?x 是 x1 的增量，那么 f（x2）=f（x1+?x），并且要求学生从函数图象上理解平均变化率的意义。

同时，再次组织学生思考瞬时速度、瞬时变化率的求解步骤和求解过程，认清 ?x 是如何趋近于 0 的，?x 能否直接等于 0，?y 是否可以等于 0，以前所学问题中哪些地方可以发现导数，并且要使函数在 x0 处有导数，就必须使这个函数在 x0 处有意义，并运用所学知识书写出 x0 处的导数形式，即 。

此外，经过上述阶段的学习，学生已近知道了导数的几何意义就是切线的斜率，但此时仅是单纯的记忆，并没有在学生大脑中留下深刻的印象，此时，教师应引导学生思考此时的切线是否是以前学生已经学习的切线，两者之间有什么关系，割线的变化趋势反映到具体数学式子上该是什么，并通过设置问题、数形结合、思考割线的变化趋势等方式理解此处切线的实质，深刻体会微积分中以直代曲、应用简单的对象刻画复杂对象的重要思想，进而理解导数的几何意义。

（四）图式阶段

虽然经过上述过程的探究已经揭示了其对象的本质属性，但在联系其他概念和法则时往往会出现一些错误，因此，教师还应排除干扰，不断帮助学生完善自己的知识框架，建立学生自己的综合性知识框架。在具体实践中，一方面需要建立概念纵向框架，主要包括概念的外延和内涵;另一方面，需要建立概念横向框架，主要包括该概念与其他概念之间的区别与联系。并且，随着学习的不断深入，不断完善自己已经建立的知识图式。

例如，为了使概念形成的綜合图式更加稳定，教师应设置一些具体事例，要求学生探究出函数在某一段上的平均变化率。如图 1 是甲乙企业在规定的排污达标日期之前的治污效果连续检测结果图，试从图中两条曲线去分析哪个企业的治理污染的效率较高，并说明你的理由。并且要求学生以平均变化率的实质与其几何意义是什么、平均变化率的概念是怎么获得的、你还能列举那些以 平均变化率为主题的生活现象等问题进行反思，要求学生以小组交流的方式让学生踊跃发言，通过以上这些实际问题和问题反思从而有效巩固平均变化率的概念，帮助学生形成心理图式。

同时，在导数概念教学中，此阶段可以通过设置一些例题，有效练习计算瞬时变化率，还可以运用导数定义的变式解决实际问题，建立基本的心理图式，从而理解导数概念的本质。例如，。

此外，对于导数的几何意义，教师应结合图形深入分析某些时刻瞬时变化率，还可以就容易混淆和出错的题目进行本质上的区别，有效比较概念的横向和纵向框架，使对导数的几何意义的理解实现思维上升华，从而形成完整的心理图式。例如，为了让学生辨析在某一点处的切线方程和过一点处的切线方程，笔者设置了如下题目，并要求学生思考曲线的切线是怎么来的，割线的斜率和切线的斜率之间存在什么样的关系。

已知曲线 f（x）=x2+1，试求在点 P（1，2）处的切线方程。

二、APOS 理论下高中导数概念教学应注意的事项

经过了操作、过程、对象、图式四个阶段之后，学生会对高中导数概念建立一个层层递进认识的过程，但 APOS 理论下的高中导数概念教学不是一蹴而就的，需要教师在具体教学实践中不断加以完善。基于 APOS 理论下开展高中导数概念教学应注意几个方面的问题：

1.从操作到过程阶段中，一些学生表面上看似理解了概念的本质与属性，但在面对一些变式题目时，仍然停留在模仿阶段，并没有进行积极的思考，对无限逼近的数学思想、瞬时变化率还没有达到真正掌握的程度，从具体问题到抽象的数学概念之间没有形成很好的转变，因此，教师应充分了解学生现有的认知水平，注重由实际问题背景引出导数概念。

2.从过程到对象阶段中，学生过多地关注导数概念数学表达式的右半部分，而忽视了导数概念数学表达式的左半部分，以至于对于  无法正确解答，可见学生对于对象的建立还有欠缺，因此，教师应做好概念的整体把握，实现知识与思维真正的升华。

3.从对象到图式阶段中，学生在刚学知识后能够有效解决相关问题，但随着时间的推移，原有已理解的问题却不能高效应对。究其缘由是学生没有形成综合图式，或者是只是处于初级图式阶段，因此，教师应深刻关注和思考学生的综合图式，通过一些相关练习题目或专题讲座等形式促使学生形成比较稳定的综合图式。

4.概念的学习过程是思维不断升华，不断提高的一个过程，而导数概念的建立需要经过反复甚至来回跳跃才能形成图式，有时还会存在不能确定属于某一阶段的情况。因此，教师应采用反复建构、螺旋上升的方式进行概念教学，这在一定程度上也很好体现了 APOS 理论对概念的建构思想与理论。

综上所述，基于 APOS 理论下的高中数学核心概念教学让课堂由原来教师的教变为学生主动的建构，有效引导学生加强对概念图示的建构，符合高中学生的心理发展特点与认知水平。我们相信，随着 APOS 理论下高中数学核心概念教学的不断完善，一定能够帮助学生更好地理解所学知识，一定能够培养出学生良好的数学思维。

【参考文献】

[1]陈国华.APOS理论下初中数学核心概念及其教学策略探究——以“函数”概念为例[J].数学教学通讯，2017（20）

[2]濮安山，丁嘉雯.基于APOS理论的高中数学概念教学案例设计——以“任意角”的概念教学为例[J].中学数学研究（华南师范大学版），2018（03）

[3]徐长俊.基于APOS理论谈谈中职数学概念的教学策略[J].科教文汇（上旬刊），2012（1）

[4]汤 强，罗义铭.从APOS理论分析“任意角的三角函数”的教学难点[J].中国数学教育，2016（10）

（责编 卢建龙）