课堂因思维而绽放光芒

杨吟 金丽霞

【摘   要】分数的基本性质在教学中具有承上启下的作用，属于分数知识系统中的一个基本概念。教师通过对教学内容、学情的分析，确立了教学目标，尝试从“以问引学，激发思维热情；探究规律，发展推理意识；练习应用，渗透等价思想”等实践过程，提升学生的思维水平。

【关键词】分数的基本性质；演绎推理；数学思想；等价类思想

【课前思考】

《分数的基本性质》是人教版教材五年级下册“分数的意义和性质”单元中的教学内容。这一课以分数意义、分数与除法的关系及应用为基础，是后续进行约分、通分的基本依据，和商不变性质、比的基本性质具有内在一致性。因此，分数的基本性质在教学中具有承上启下的作用，属于分数知识系统中的一个基本概念。教材在编排上通过两个层次推进：第一层次让学生先借助动手操作和直观图式，发现分数的等值关系；再观察等值分数中分子和分母的变化规律，引发猜想，进行验证；最后概括总结出分数的基本性质。整个学习过程运用了不完全归纳思想，渗透了合情推理。第二层次让学生根据分数与除法的关系，以及整数除法中商不变的规律，自主完成分数的基本性质的演绎推理过程。两个层次两种推理相互印证，促进学生对分数的基本性质的理解，也使学生获得等价类思想的熏陶。

从学情的角度思考，《分数的基本性质》这一内容的教学起点在哪里？学生的疑问点在哪里？思维的增量又在哪里呢？为此，笔者对70名五年级学生进行了前测。

问题1：在[12]、[36]、[46]、[48]、[612]、[812]、[23]中，有大小一样的分数吗？请你找一找。

调查结果显示，学生基本上都能从中找出大小一样的分数。这说明学生已经具备利用已有的知识经验判断分数的大小的能力，这为探究分子、分母的变化规律提供了认知基础。

问题2：你能比较出[14]和[28]的大小吗？将你的思考过程用写一写或画一画的方式表示出来。

从问题2的前测结果（如表1）可以看出，学生具有判断两个分数相等的能力，且表示方法多样：大部分学生选择方法1，用画直观图的方法说明分数的等值关系；也有小部分学生利用分数与除法的关系，将分数转化为小数进行说明；仅有2名学生把分数转化为除法，用商不变性质来说明。可见，将分数的基本性质和商不变性质联系起来，对学生来说存在一定的困难。

从前测可知，学生对分数的意义掌握较好，教师应放手让学生自主探索，经历猜测、验证、总结的不完全归纳过程而将教学的重点转向引导学生利用分数与除法的关系及商不变规律进行验证，利用演绎推理说明结论的合理性，打通知识内在关联，从而让学生初步感受数学研究的科学严谨，发展推理意识，提升思维水平。

基于上述对教学内容和学情的分析，笔者确立了以下教学目标。

1.深刻理解分数的基本性质，能初步运用分数的基本性质体会等价类思想。

2.经历“猜想—质疑—验证—分析”等探究活动，发展提问能力，增强对合情推理和演绎推理的体验。

3.体会数学知识的内在联系，感受数学探究、合作学习的乐趣。

【教学实践】

一、以问引学，激发思维热情

根据前测结果，对于分数的基本性质，学生已经积累了很多感性经验。教师可以利用学生的知识经验，调动他们已有的知识储备，让他们主动地发现问题，提出问题，从而激发学生学习兴趣，引领后续的自主探究。

v教学片段1

师：你们听说过“分数的基本性质”吗？谁能说一说什么是分数的基本性质？

生：分数的分子和分母同时乘或者除以相同的数（0除外），分数的大小不变。

师：对于这个说法，你们有什么疑问？

生：为什么同时乘或者除以相同的数，分数的大小会不变？

生：如果是“加或减”相同的数，大小是不是就会变了？

生：这里的“相同的数”是什么数？是小数、分数都可以吗？

生：为什么要0除外？

（教师整理并记录学生提出的问题，如图1所示）

二、探究规律，发展推理意识

（一）合情推理，初步感知性质

分数的基本性质的学习过程主要是一个合情推理的过程。教学时，教师先设置学习支架，以“加或者减”为例，示范验证的方法，再引导学生通过图式、文字、算式等数学语言进行多元表征，让学生充分经历“猜想—验证—结论”的归纳推理过程，体会“发现”的乐趣。

v教学片段2

师：如果是加或者减相同的数，分数的大小变不变？

生：可以举个例子来说明。把[13]的分子和分母同时加1，变成[24]，[13]和[24]不相等。

师：看来加或者减相同的数，分数的大小是会变的。

（教师在板书中擦去“加或者减？”）

师：那么乘或者除以相同的数会不会改变分数的大小？你们有办法来说明吗？

生：我们也可以像刚才那样举例子进行验证。

师：请同学们自己来举例子说明是否相等，然后和同桌交流分享。

（学生先独立思考，再同桌之间相互交流，最后全班反馈）

生：我举的例子是[24]。把[24]的分子和分母都除以2，得到[12]，利用画图就可发现这两个分数是相等的。（如图2）

生：我利用画线段图来说明。把[23]的分子和分母都乘2，得到[46]。我发现[23]和[46]表示的长度是一样的。（如图3）

生：我举的例子是[1020]。分子和分母都除以10后是[12]，[1020]和[12]轉化成小数，都是0.5，所以它们一样大。

生：我举的例子是[912]。把分数转化为除法，即9÷12。根据商不变性质，被除数和除数同时除以3，它们的大小是不变的。除法算式大小一样，那么分数大小也一样。（如图4）

（二）演绎推理，理性认识性质

在学生通过举例验证，经历合情推理后，教师引导学生利用分数和除法的关系，根据商不变规律，对分数的基本性质进行演绎推理。这样的学习过程不仅能帮助学生建立数学知识之间的内在联系，形成合理的认知结构，还能让学生比较完整地经历合情推理发现结论、演绎推理说明结论的过程，发展推理意识。

v教学片段3

师：你们举的这些例子都能说明分子和分母同时乘或者除以相同的数，分数的大小不变。

生：老师，我有疑问。我们只是举了几个例子，就能证明任意分数都是这样的吗？

师：这是一个有价值的好问题。有什么办法能证明任意分数都是这样的呢？我们想想什么叫任意分数？

生：可以用字母来表示，比如[ab]。

师：如果能证明[ab]的分子和分母同时乘或者除以相同的数，分数的大小还是不变，那这个结论就是正确的。那怎么证明呢？

（教师组织学生进行小组合作探究，然后展示交流）

生：把分数的分子分母都乘2，然后都转化为除法，经过计算，得到结果相等。（如图5）

生：把分数的分子和分母都乘c，然后都转化为除法，再根据商不变性质来说明结果相等。（如图6）

教师借助学生的交流讨论梳理论证过程，先把[ab]的分子和分母同时乘2，再延伸为乘n，从而理解n可以是除0以外的任意数。（如图7）

（三）数形结合，深刻理解性质

教师可聚焦分数单位，让学生在“度量”中寻找等值分数。在这个过程中，教师引导学生用数形结合的形式，借助图形理解分数单位和单位个数之间的关系，让学生感受到分数单位变了，取的份数也要发生变化，此时分数保持等价。在变与不变中，促进学生对分数的基本性质的深度理解。

三、练习应用，渗透等价思想

分数不同于整数的重要特性之一就是等价性。整数中，一个数只有一种表示形式，在数轴上就表示为某一个点。分数则不同，一个具体的值有无限多种表示形式，如[12]=[24]=[36]=[48]=……尽管这些分数的表示形式各有不同，但是在同一条数轴上，它们都表示同一个点，这表示它们数值相等。

v教学片段4

教师出示拓展练习。

师：你能写出几个和[13]相等的分数？你能把这些数在数轴上表示出来吗？

（学生在课件上操作，把这些数移动到了同一个点上）

师：看到这一幕，你又有什么好奇的地方？

生：为什么在数轴上一个点只能表示一个整数，却能表示那么多分数呢？

生：这些分数都是相等的，它们存在的意义是什么呢？

师：在数轴上，同一个点可以用来表示不同形式的分数，这有什么用呢？我们来玩个游戏，看看你能不能从中得到一些启发。

（教师借助课件开展分数比大小游戏，如[13]和[415]无法直接比较，要用与[13]相等的另外表示形式[515]与[415]进行比较，得出[13]>[415]。教师更换分数，如[13]和[1330]、[13]和[821]等，继续进行游戏，加深学生的感受）

师：你能来说说分数的基本性质有什么用吗？

生：同一个分数可以写成不同的形式，它就能在需要的时候发挥作用。

【课后感悟】

数学课堂要深入挖掘教学内容的思维元素，努力激发学生的思维热情，积极引导学生经历思考的过程，让课堂绽放内涵，显现精彩。

一、提出问题，有效激發思维热情

要让学生对知识探究产生好奇心、主动性，就要引导学生发现问题、提出问题，鼓励他们探究和解决问题。本课教学围绕学生的三次提问，促进学生深入思考。课一开始，引出分数的基本性质非确定性结论，引发第一次提问：“为什么同时乘或者除以相同的数，分数的大小会不变？”“如果是‘加或者减相同的数，大小是不是就会变了？”“这里的‘相同的数是什么数？是小数、分数都可以吗？”“为什么要0除外？”让学生经历“猜想—验证—结论”的过程（合情推理），归纳出结论。初步得出结论后，再次引发提问：“通过以上举例验证，就能说明这个性质一定成立吗？”引导学生结合商不变性质有层次地进行论证（演绎推理）。最后在练习环节中，在引出与[13]相等的不同分数形式后，引发提问：“为什么在数轴上一个点只能表示一个整数，却能表示那么多分数呢？”“这些分数都是相等的，它们存在的意义是什么呢？”使学生的思维活跃起来。通过三次引发学生提问，层层推进，促发学生对规律本质的深度思考。

二、经历过程，切实体验演绎推理

在小学阶段，结论性的知识通常都是采用合情推理（不完全归纳推理）的方式获得的，其实质是讨论“是什么”。而若能适度讨论“为什么”，学习就能达到“知其所以然”的更高水平。在本课中，当学生经历举例后，会意识到例子是举不完的，会产生“是否有别的方法来说明”的想法，这时，教师恰当引导学生思考：“通过以上举例验证，就能说明这个性质一定成立吗？”“举了几个例子，就能证明任意分数都是这样的吗？”启发学生运用字母[ab]去尝试“证明”。学生在主动思考的过程中，想出了不一样的方法。教师在学生交流、讨论的基础上，帮助学生一起经历演绎推理过程，让学生理解分数的基本性质一定成立的“原理”，从而体会到数学知识的严密和演绎推理的美妙。

三、练中有思，深刻感悟数学思想

分数的基本性质用一句话即可概括，却蕴含着重要的等价类思想。为了达成这个目标，教师精心设计了一个比分数大小的游戏：[415] 该用哪个分数进行比较？[1330] 呢？让学生体会到同一个分数虽然有不同的表示形式，却各有各的用途。在这个过程中，学生体验逐步增强，认识水平不断提升，从而对等价类思想获得了较深刻的感悟。

数学知识本身也许是枯燥的，但探究这些知识时，感悟这些知识背后的思想方法却是美妙的。数学课堂，正是由于思维的融入，才绽放出了耀眼的光芒！

（1.浙江省杭州二中白马湖学校

2.浙江省杭州市长河小学）