在体验中形成解决问题的策略

赵瑞生 赵鸿

【摘   要】画图的策略是指把现实情境中的条件、问题及它们之间的关系用合适的图形表示出来，再利用图形分析、推理，探索解决问题的思路。以苏教版教材四年级下册“画图的策略”的教学为例，教师可从“经历比较，体验画图必要性；操作图形，体验几何直观；总结方法，体验图形表征；反思抽象，体验策略本质”四方面进行教学设计，引导学生对策略形成的关键环节进行充分的体验与感悟，使学生获得丰富、深刻的领悟，形成策略意识。

【关键词】画图；体验；解决问题；策略；教学设计

画图的策略是指把现实情境中的条件、问题及它们之间的关系用合适的图形表示出来，再利用图形分析、推理，探索解决问题的思路。小学生的思维正处在由具体形象思维向抽象思维过渡的阶段，在解决问题中的复杂数量关系时，需要借助直观图形来帮助思考。对学生而言，他们并不是第一次接触画图解决问题，只不过以往没有把画图作为一种解决问题的策略，没有从几何直观的高度来认识画图的策略。要想让画图成为学生自觉主动使用的策略，必须让学生在亲身经历的数学活动中对画图的策略形成具有个人意义的体验、感悟和情感。“当我们将学科思维训练内化后，它们就会变成如早年的镌刻一样深刻，就能如专家一样用学科知识解释世界的现象。”［1］因此，教学画图的策略，首先，要创设情境，讓学生自主解题，通过比较几种不同的解题过程，体验画图解题的必要性；其次，要通过操作图形活动，体验运用图形描述和分析问题的意识和习惯；再次，要总结画图的方法，体验图形表征的直观形象特点；最后，要通过反思抽象，品味画图的思想与方法特点，形成对画图策略所孕育的数学思想方法的实质性领会。

一、经历比较，体验画图必要性

在“画图的策略”的教学中，教师通常会先呈现例题：小宁和小春共有72枚邮票，小春比小宁多12枚。两人各有邮票多少枚？同时提出要求：先画图再列式解答。学生独立尝试，然后全班交流怎样画图、怎样解答。这样的教学方式下，学生只是机械地执行教师的要求，并不能感受用画图描述和分析问题之于解决问题的必要性，即学生虽然经历了实实在在地画图解答的过程，却失去了对为什么要使用画图策略的思考与感悟。

苏教版教材将解决问题的策略（列表的策略、画图的策略、列举的策略等）作为独立单元安排在各册教材中，让学生每学期学习一种策略。对学生来说，这不是难事。他们的困难在于，学过多种策略后，面对实际情境，不知道选择何种策略来解决问题。因此，在学生学习具体策略时，教师不能代替学生作判断，不能直接告诉他们用某种策略解决问题，而要引导学生思考和感悟问题情境与问题解决策略之间的内在关系，通过具体问题的解决，感受与把握这种内在关系的必要性。

学习“画图的策略”时，学生面对问题情境，伴随对问题的思考，会自发生成一些解决问题的方法和策略。因此，教师要将选择权交给学生，让学生尝试解决问题。学生的解答主要有这样几种情况：没有画图但能正确解答、画图且能正确解答、没有画图且解答错误等。基于此，教师教学的重点是要在学生独立思考的基础上组织两次比较。第一次比较时，先让没有画图但能正确解答的学生叙述解题过程，然后让画图且能正确解答的学生叙述解题过程，最后比较两个人的发言，全班同学谈谈感受。学生发现：第二个同学能结合线段图清楚叙述每一步求的是什么。通过这样的过程，学生自然而然感受到画图能帮助他们分析数量关系，从而得到启发：以后碰到类似的问题，可以试试先画图。教师进一步引导：“画图能帮助我们分析数量关系，那它能帮助我们理解题意吗？”学生感受到，和文字叙述相比，通过画图描述问题，能把抽象、隐蔽的数量关系以直观形象的方式表示出来，有助于他们弄清条件和问题之间的联系，找到解决问题的正确思路。第二次比较让没有画图且解答错误的学生先说说自己错在哪里，再说说自己是怎样订正的。教师引导学生思考：比较前后的解题过程，你有什么体会？让学生切身体会画图描述对理解题意和分析数量关系的作用。经历两次比较，问题情境与图形之间的关系在学生头脑中逐渐变得清晰起来，画图的策略得到强化。

“策略”不同于具体的解题方法，它是一类解题方法的抽象表达，适用性更广。就“画图的策略”而言，教师能教的只有显性的怎样画图及如何根据图形分析数量关系，至于在什么情况下需要画图，画什么样的图则需要学生自行进行判断。如果教师直接要求学生“先画图再解答”，就会屏蔽学生内在的画图意识和对图形的敏锐感觉。这样的教学方式下，学生只是解题的工具人，不会去思考在何种情况下该选择哪种策略解题，导致他们丧失了对策略的敏感性和自主选择策略的意识，将“画图”当作额外的“作业”。以至于在后续的学习中，经常会有学生问：“老师，这道题要画图吗？”

高水平的理解需要元认知的参与。元认知是指对认知活动的自我意识、自我体验和自我调节。高层次的解题活动既需要运用感知、记忆、思维等认知因素进行认知活动，还需要积极地调动元认知对自己的认知活动进行监控与调节。元认知影响问题的解决。［2］一旦有学生提出诸如“这道题要画图吗？”的问题，就表明他的元认知没有参与解题活动。因此，解决问题的策略的教学要重视培养学生的元认知能力。学生在自主解答问题时，教师要对需要帮助的学生提供元认知援助，针对学生出现的具体情况提出具有启发性的问题：已知条件和未知条件清楚吗？怎样才能清楚地表示呢？之前解过类似的问题吗？学生清楚了思考的方向和解题的思路，就能顺利解决问题，并积累解题的经验。之后再碰到类似的问题情境，就能主动地选择相应策略解决问题。

二、操作图形，体验几何直观

画图策略的本质是“数形结合”，是指在解决问题的过程中，充分运用“形”的直观来描述数量之间的关系。“即使对于表面上属于代数的问题，也能借助‘形把隐藏的数量关系表示出来，通过对图形的操作，获得问题解决。”［3］因此，教师要利用“数形结合”，引导学生学会借助几何直观思考问题。《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出：“几何直观主要是指运用图表描述和分析问题的意识与习惯。”发展学生的几何直观，既要注重平时的潜移默化，也要借助典型问题进行针对性的探究。在“画图的策略”教学中，通常有3种方法解决“求小宁和小春的邮票枚数”的问题，分别是“把长的削去”“把短的补长”和“匀一半”。以“把长的削去”方法的教学为例，教师可先指着“12枚”这一线段，说明这一线段表示“小春比小宁多12枚”，给“几何图形”赋予“代数意义”。然后一边操作图形，一边说明意义：如果去掉12枚邮票，两人的邮票就同样多。即“两人邮票的总数减去12枚等于小宁邮票枚数的2倍”，所以要先算出小宁有多少枚邮票。“把短的补长”和“匀一半”这两种解题思路也可以依样画葫芦，指导学生操作，让学生借图分析。这一方面能使复杂的数量关系变得简单、直观，另一方面也有助于学生从不同的角度分析问题，形成不同的解题思路。

解决问题的策略的教学中，“教师难教、学生难学”的根源在于，策略除了显性成分，还包括隐性成分。策略的隐性成分主要指数学的思想方法、观念、价值取向等。对于“把长的削去”“把短的补长”“匀一半”这3种不同的解法，教师要提出质疑，引导学生思考这些解法之间的区别与联系。教师提问：“把长的削去”要从总数里减去12枚，“把短的补长”要从总数里加上12枚，而“匀一半”总数不加也不减，这是为什么呢？学生发现：这样做的目的在于把不相等的数量变成相等的。由此把新思路和学生原有的知识经验打通，使学生感悟到新思路背后变与不变、假设的思想。学生在这样的解法比较中，能亲身体验画图的独特价值，对画图策略的理解也更加深刻。

数学是思维的体操，“一题多解”能发散学生的思维。学生借助图形操作，发现多种解法之间的内在联系，发现多种解法的共同本质，实现“多解归一”，并与已有知识经验贯通，将其上升为数学思想方法，从而帮助他们形成强大的学习能力。

三、总结方法，体验图形表征

对解决问题策略的理解要上升到“學科教学的本原性问题”上来。画（示意）图所蕴含的数学教学的本原性问题是数形结合思想和相应的画图法。［4］教师要在学生自主画图的基础上，帮助学生总结画图方法，感悟数形结合思想。“画图的策略”中的例题是一道典型的和差问题。画图时，第一步要找出比较句“小春比小宁多12枚”，确定谁和谁比，谁作为“标准量”，先画“标准量”，再画“比较量”；第二步要画出另一个条件“小宁和小春共有72枚邮票”；第三步要标出“问题”。教师可以引导学生质疑：为什么不先画“小宁和小春共有72枚邮票”？帮助学生明确画图时确定标准的重要性。

郑毓信教授认为，数学基础知识的教学不应求全，而应求变、求联。因此，针对“小春比小宁多12枚”，教师可以先引导学生思考：这个条件还可以怎样画？让学生明白：也可以先画小春的枚数，再画小宁比小春少12枚。然后在两个量比较的基础上，再引入一个量，变成三个量比较，如可以增加一个条件 “小明比小宁的2倍少4枚”，继续启发学生思考：这个条件应该怎样画呢？教师应通过例题及各种变式，帮助学生总结画图方法，培养学生发现问题和提出问题的能力。

学生在解决问题的过程中，需要把文字语言、图形语言和符号语言进行相互转换。学生掌握画图的策略，要先学会画图，即把文字语言转化为图形语言；还要学会识图，即掌握一些识图技能，把图形语言转化为符号语言（数学模型），再用图形分析数量关系并解决问题。用画图的策略来解决问题，其实质是考查学生对数学知识的多元表征能力。文字表征易于理解，图表表征赋值清晰，图形表征表现直观。［5］不同的表征形式之间具有内在联系，数与形是同一问题的不同侧面。学生经历“数”与“形”的相互转换，可以把抽象的数量关系转化为直观图形，由此发展思维能力。这是画图的策略所要达成的目标。

四、反思抽象，体验策略本质

“建构数学知识的方式是活动和反思抽象。”［6］因此，在“画图的策略”教学中，教师要引导学生经历自主画图的需求，体验运用图形描述及解决问题，在对画图的方法与价值有了较深认识的基础上，通过反思将画图的方法抽象概括为解决问题的策略。体现反思抽象需要数学问题的引领。教师可以提问：数学中的“画图的策略”与一般的画图有什么区别？学生由此认识到，数学中的“画图的策略”要去除情境，力求体现数学元素，是用数、符号和图形表示数量关系。它有一个“模式化过程”［7］，即一种“数形结合”的数学思考方法。那什么时候画图呢？当题目中的数量关系比较复杂时，可以通过画图使复杂问题变得直观形象，它只是解决问题的一种手段。如果在解决问题时，学生能一边读题一边在脑中把文字转化为图形，并能根据脑中的图形进行思考，说明他已经掌握了画图的策略。这是画图策略要达成的终极目标。

学生在解决问题过程中生成的是方法，形成的是策略，吸收的是数学思想。而反思的价值在于，学生在“正式”学习画图策略之后，能站在新的高度——更上位的数学思想的角度，去反思自己的解题行为，回顾品味画图的思想与方法特点，以验证画图策略的普遍性和掌握知识的灵活性，从而实质性领会画图策略所孕育的数学思想方法。

总之，策略教学一定要紧扣策略形成的内在规律进行教学设计，重视引导学生对策略形成的关键环节进行充分的体验与感悟，使学生获得丰富、深刻的领悟，形成策略意识。

参考文献：

［1］加德纳.未受过学科训练的心智［M］.张开冰，译.北京：学苑出版社，2020.

［2］李淑文，李清.在数学问题解决中知识、策略、元认知三者关系的实证研究［J］.上海教育科研，2005（11）：45-47.

［3］邵光华.作为教育任务的数学思想与方法［M］.上海：上海教育出版社，2009.

［4］徐文彬.数学“解决问题的策略”的理解、设计与教学［J］.课程·教材·教法，2009，29（1）：52-55.

［5］朱黎生，杨慧娟.PISA与中考试题中对“读图能力”的考察［J］.数学教育学报，2013，22（4）：39-42．

［6］赵瑞生.促进学生积累数学基本活动经验的教学策略［J］.教育理论与实践，2019，39（17）：63-64.

［7］郑毓信.学校数学：必要的抽象［J］.人民教育，2006（3/4）：43-44.

（1.江苏省南京市浦口区新浦实验小学

2.江苏省南京市浦口区新世纪小学）