经历过程 探寻联系

赵丽芳

【摘   要】数与形是数学研究的两个重要方面，二者之间有紧密的联系。在人教版教材六年级上册《数与形》一课的教学实践中，教师将教学重点放在引导学生亲历过程、探寻联系上，让学生经历“以形助数，自主表征；沟通对比，建立联系；数形互译，融会贯通；回顾拓展，感悟外化”四个步骤，感悟数与形之间的关系。由此，提升学生的数形结合能力，发展学生的素养。

【关键词】数与形；数形结合；图形表征；数列

数与形是数学研究的两个重要方面。华罗庚先生“数缺形时少直观，形少数时难入微”的表达，形象地描述了数与形之间的关系。数形结合往往可将复杂的问题变简单，将抽象的问题变形象，达到优化解题途径的目的。学习中，学生需要亲历数形转化的过程，在数形联系的探究中发展思维，提升应用意识。

小学数学教材中体现数形结合的内容有很多，人教版教材六年级上册的《数与形》是其中非常有代表性的内容之一。在这节课的教学中，教师要引导学生亲身经历数与形的沟通过程，让他们主动探寻二者之间的联系，从而体会如何“以形助数”“以数解形”，感受数与形之间的广泛联系。

一、基于教前分析，确定教学目标

教学前，教师需要从教学内容、学生情况两方面出发，找准教学起点与终点，确定教学目标。

（一）教学内容分析

《数与形》一课由两个例题组成。例1将“1+3+5+……+（2n-1）”与方格图联系起来，让学生通过观察图，发现其结果可以直接用n2表示。例2借助正方形（单位1）的分割，联系“[12]+[14]+[18]+[116]+[132]+……”与正方形不断二分所形成的图，让学生同样借助观察发现结果。

如果按照教材呈现的方式，直接让学生观察、理解这两题中数与形的关系，只要学生能够体会到形的表征能让这两道题变得清晰、简单，就已经达到了基本的教学要求。但若深入分析教材，会发现这两幅图均具有一定的“个性”，并非解决问题的“通法”，学生能够在学习的过程中体会到数形结合的神奇，也容易陷入只有这两道题或特殊的题目才适合采用数形结合的方法解决的误区。如果不仅仅将体会“数形结合”的方法当作教学目标，而是更进一步，将引导学生主动采用“数形结合”的方法解决问题看作教学目标的话，就要让学生在学习的过程中放慢发现的脚步，拓展学习的内容。如带领学生思考：从1开始的连续奇数之和可以借助图形找到答案，从2开始的连续偶数、从1开始的连续自然数等数列的和也能借助图形找到答案吗？这样的思考，能够帮助学生更加深入地分析数与形之间的关系，体会数形结合带来的便利。

（二）学生情况分析

前测是分析学情的重要方式。笔者采用不给任何提示，直接让学生求例1和例2两道题结果的方式，对某班学生进行了第一次前测。前测结果表明：被测班级的45名学生，多数采用“算”的方法求算式的结果，很少有学生会想到借助“形”。计算例1和例2，学生的正确率分别是95%和80%。接着，笔者增加了“用图形表征算式”的要求，以另一个平行班的45名学生为对象进行了第二次前测。从计算的结果上看，该班正确得出两道题结果的人数均略高于第一个班级。其中，对例1的图形表征，有9%左右的学生采用横向摆放的“一字形”，80%左右的学生采用纵向摆放的“三角形”，11%左右的学生想到摆“正方形”。学生独立用图形表征例2时略感困难，但经过教师提醒，能用正方形、线段、圆形等图形正确表征的学生达到了78%。

以上测试表明学生有较强的计算能力，有用图形表示算式意义的基础，但主动联系数与形的意识不强。因此，教学中需要让学生花更多的时间经历主动探究过程，在自主解决问题的过程中获得对数形结合思想方法的感悟。

（三）确定学习目标

针对以上分析，确定本节课的主要任务不是让学生借助观察“发现、应用规律”，而是让学生在探究过程中，感受如何用数形结合的方式帮助自己解决问题，积累数形结合的经验。因此，本节课的学习目标确定为以下三点。

1.通过数与形的对照，感受形能直观表示数的规律，数能精确反映形的本质。

2.经历探索数形之间联系的过程，打通数与形之间的屏障，感悟数形结合的思想方法。

3.体会运用数形结合的方法解决较复杂问题的优越性，增强分析、观察、解决问题的能力。

二、精准实施教学，引导学生亲历过程

精心设计的学习任务，能够帮助学生探寻数与形之间、形与形之间、不同算式用同一图形表征等的关系。教师在教学中要让学生多思考、多表达，在不断操作、观察、试错的过程中，打通“数”与“形”之间的“隔阂”，理解它们之间的关系。

（一）以形助数，自主表征

课始，教师出示学习任务：请用正方形学具卡片表示出“1+3+5+7+9”。

同桌合作用卡片摆“1+3+5+7+9”的图形时，教师现场拍摄学生有代表性的“三角形”（如图1）、“凑十”（如图2）、“正方形”（如圖3）三种摆法，并逐幅展示、分析。

师：这三种方法你看得懂吗？

学生均轻轻点头。

师：它们有什么共同的地方？

生：它们都可以直观表示数列，也都能很方便地呈现答案。

师：看来同一个数列可以用多种不同的形来表示。如果请你继续用图形表示出“1+3+5+7+9+11”，或者更多奇数的和，你会用哪种方法？

生：三种方法应该都可以。

本学习任务对学生来说不难，但教师给了学生独立表征的时间与空间，让学生可以有不同的表征方法。这是学生后继沟通、比较的基础。

（二）沟通对比，建立联系

数与形之间有紧密的联系，但数与形并不存在简单的对应关系。能够根据现实情况选择不同的表征方式，是学生真正形成数形结合思想的重要标志。教师要引导学生充分经历沟通对比的过程，帮助他们深入体会数与形之间的联系。

1.多种表征，理解图式

师：大家都有自己的猜想，很好！那就根据自己的想法，动手摆一摆吧。

学生在操作中，有小组用“三角形”摆法继续摆，还在不断讨论着；有小组先用“凑十”的摆法，后来又调整为“正方形”或“三角形”摆法……

汇报时，教师问大家选择哪种图形继续研究，全班同学选择的图形由原来的三种变为两种。

生1： 我们原来用“凑十”法摆，随着奇数越来越多，图形变得没有规律，像11要拆成10和1，这个1要和原来的5摆在一起，感觉越摆越乱。

生2：我们组原来用“三角形”法，奇数变大，只要在三角形的底部再加一层，就可以直观表示数列了，但数越大，计算到底有几层就越麻烦。

生3：我们对他们组（生2）有补充，因为是等差数列，所以层数=（11-1）÷2+1=6。

生4：听了他们的发言，我们有个发现。由于第一个数是1，所以求这个数列的层数还有更简便的方法，即层数=（1+11）÷2=6。

学生对这两种方法进行讨论后发现：两种方法都可以，第二种比第一种更简便。

生5：我们觉得“正方形”摆法更好。用这种摆法，多一个奇数就在外面增加一层“L”，让原来的正方形变成更大的正方形就行了。这样不仅可以直接看出数列，还可以很快算出答案。“1+3+5+7+9+11”就是边长为6的正方形（如图4）。

2.一式多图，建立联系

教师追问：大家认为“正方形”与“三角形”两种图形都可以直观表示“1+3+5+7+9+11”以及更多连续奇数相加的和，其中有什么奥秘吗？这两种图形之间有什么关系吗？

生1：我们组研究用“正方形”表示，发现每加一个奇数就是在原来的正方形外面多加个“L”形。因为有重叠部分，所以这个“L”形表示的正方形数量就比两条边上的正方形数量少1，像“1+3+5+7+9+11+13”就是“（13+1）÷2=7”，答案“7”就表示这个数列可以拼成边数为7的正方形。

生1团队的发现引起了很多学生的共鸣，大家频频点头。

师追问：为什么要先“+1”再“÷2”呢？

生2：“13+1”是变成新的正方形时，两条边上增加的正方形的总数，“14÷2”是新正方形的边长。

生3：我来补充。这种方法还可以求更多奇数的和，如从1加到19，就是边长为10的正方形。

教师根据学生的回答形成板书：“19→（19+1）÷2=10”。

生4：我们组研究用“三角形”表示，“三角形”图也能帮助我们很方便地找到答案。找答案时最主要的是找到层数。层数=（头+尾）÷2。

生5：我有个重要发现。用“三角形”和“正方形”两种图形帮助求和，方法其实是一样的（如图5）。用“正方形”帮助计算时，最后一个奇数加1，与用“三角形”帮助计算时的“头+尾”是一样的。“三角形”的层数就是“正方形”的边数，比如：“1+3+5+7+9+11+13”用“三角形”表征时，层数=（1+13）÷2=7；用“正方形”表征时，边数=（1+13）÷2=7。

生6：我听明白生5的想法了。“正方形”每个“L”形拉直就是“三角形”的最后一层，“三角形”求和公式=（头+尾）×层数÷2，其实就是（头+尾）÷2×层数=层数×层数=边数×边数。

上述教学过程中，教师没有直接聚焦教材中提倡的“正方形”摆法，而是给足学生时间，让他们根据自己的意愿探索不同摆法与数列之间的关系。经过探究，学生理解了“三角形”摆法也就是等差数列求和法，从而将“正方形”和“三角形”两种图形联结在一起，感受到方法的多样性和共性，自然而然地加深了对“数”与“形”关系的感悟。

3.变式拓展，表征优化

类比是一种推理思维。以“从1开始连续若干个奇数的和”为基点，学生主动提出：“正方形”和“三角形”两种图形能表示“从2开始连续偶数相加的和”和“从1开始连续自然数相加的和”吗？面对学生强烈的探知欲，教师不再提供实物辅助，而引导学生在头脑中想象，再逐个讨论解决。

学生发现，“三角形”摆法能表征“从2开始连续偶数相加的和”（如图6），而按“正方形”摆法形成的图形是“长方形”，如“2+4+6+8+10+12+14”会形成图7。“三角形”与“长方形”摆法之间同样存在联系。

对于“从1开始连续自然数相加的和”，学生经过讨论，发现“正方形”或“长方形”摆法都不能表示，只有“三角形”摆法可行。思辨后发现，“三角形”摆法是最适用等差数列的表征图形。

以上教学，教师通过三个层次的学习活动，让学生在不断想象、对比、思辨中，对比、优化不同图形的适用范围，深刻体验数与形之间的联系。

（三）数形互译，融会贯通

有了前面深刻体验“以形助数”的过程，学生见到数式，不再局限于直接计算数式结果的方法，而會选择用图形来表示过程，看“图”知结果。同样面对形，学生会想到用数式来具体刻画，从而初步感知“数形一体”，感受到数与形结合的美妙与和谐。

1.一式多图，化繁为简

教师出示“[12]+[14]+[18]+[116]+[132]+[164]”，请学生快速求出结果，并写出思考过程。在汇报时，教师惊喜地发现，采用“通分”方法算出答案的学生只有5人，其余学生均用正方形、线段、圆形等图形表示算式的意义，并计算出结果。交流时，学生达成共识。用什么图形不重要，只要确定一个图形作为单位一，并将它二等分六次，去掉最后一小部分后，都可以表征这个数列，而且容易“看”出结果。

2.以数解形，数形互补

师：以正方形为例（如图8），它可以帮助我们看出[12]+[14]+[18]+[116]+[132]+[164]的结果。在这幅图中，你还能看出其他算式的结果吗？

生：可以求空白部分是多少，也就是求1-[12]-[14]-[18]-[116]-[132]-[164]的结果。

师：同一个“形”中藏着不同的数的运算规律，真奇妙！如果在这个图形的基础上，再把空白部分均分，还能解决什么问题？你能写出一个算式并算出结果吗？

生：可以解决两个问题，分别求涂色部分和空白部分是多少。算式分别为：[12]+[14]+[18]+[116]+[132]+[164]+[1128]、1-[12]-[14]-[18]-[116]-[132]-[164]-[1128]。

3.多图比较，寻找共性

教师示本节课出现的正方形、三角形、长方形图（如图9），并提问：看着这些图，你有什么想说的吗？引导学生在观察比较中进一步体会，借助图形能直观地表示出不同数列的意义，能直观地得出计算结果。

（四）回顾拓展，感悟外化

沟通、联系是重要能力。教师呈现一组学生曾经接触过以及将要接触的数与形材料（图10），让学生边回忆边思考“数与形有怎样的关系”。

因为经历了前面深刻探寻联系的过程，学生回答的关键詞紧紧围绕“密不可分”“相互依赖”“互帮互助”展开。当追问“数与形，哪个优势大”时，学生一致认为“不分上下、各有各的优势”“数可以帮助形变得精确”“形可以帮助数变得直观”。至此，学生真正感悟到了华罗庚先生所说的“数形结合百般好，隔离分家万事休”。

同样的学习素材，若实施的教学目标、呈现的教学过程不同，也会给予学生不同的体验、不同的收获。《数与形》一课将侧重点放在让学生体验数与形的内在联系，加强数与形的沟通、形与形的沟通上，更有利于打破数与形之间屏障，真正让学生意识到“数”与“形”之间的密切联系，提升学生的数形结合能力，发展学生的素养。

参考文献：

［1］刘加霞，刘琳娜.在认知冲突中体验感悟数形结合思想的内涵与价值：兼评刘延革老师执教的“数与形”一课［J］.小学数学教师，2015（12）：49-52.

［2］潘红娟.向更深处漫溯：特级教师刘延革《数与形》一课赏析［J］.小学教学设计，2017（1/2）：111-113.

［3］吕立峰.以数解形，让数形结合思想更加丰满：以人教版教材六年级上册《数与形》为例［J］.教学月刊·小学版（数学），2022（10）：32-36.

（浙江省杭州市滨和小学）