用好变式策略，发展核心素养

蓝海鹏

【摘   要】重复练习、低水平训练是现实教学中常见的现象。为了解决这个问题，教师可以采用变式的方法，根据教材中的一道习题变化出各种层次的题目，把相关知识串联起来，让学生在不同层次的习题练习中，以少练、精练实现减负提质增效。以一道计算平行四边形面积的习题为例，提出“从复杂变简单、从直接变间接、从正向到逆向、从封闭到开放、从单一到综合、从静态到动态、从数学到生活”七个变式策略，帮助学生有效巩固基础知识，形成基本技能，提升数学能力，发展数学核心素养。

【关键词】变式策略；平行四边形面积计算；核心素养；习题

“双减”政策颁布以来，作业设计成为专家、学者和一线教师共同关注的焦点。然而，现实教学中仍然存在重复练习、低水平训练的现象，导致学生只能停留在“了解”“理解”水平，很少达到“掌握”“运用”水平。为了解决这个问题，教师可以采用变式的方法，根据教材中的一道习题变化出各种层次的题目，把相关知识串联起来，让学生在不同层次的习题练习中，以少练、精练实现减负，提质增效，帮助学生有效巩固知识、形成技能，提升数学能力，发展数学核心素养。

那么，怎样将一道习题变式为具有探索性和综合性的习题，以促进学生的深度学习，发展数学核心素养呢？具体有哪些习题变式的基本策略呢？下面以一道计算平行四边形面积的习题为例谈谈具体做法。

一、原题呈现与价值分析

【原题】如图1，计算这个平行四边形的面积。

这是人教版教材五年级上册“练习十九”第2题中的第（3）小题，属于平行四边形面积计算的常规性习题，主要考查学生是否能运用公式求平行四边形的面积，以发展学生的公式应用意识和运算能力。

《义务教育数学课程标准（2022年版）》在课程内容中指出：“探索并掌握平行四边形、三角形和梯形的面积计算公式”“在图形认识与测量的过程中，进一步形成量感、空间观念和几何直观”“会计算平行四边形、三角形、梯形的面积，能用相应公式解决实际问题”。由此可见，在公式的探索、应用过程中，还应同时发展学生的核心素养。为此，教师可采用七种策略，对这道题进行适当变式，助力学生发展核心素养。

二、变式策略

变式时，应以平行四边形面积的计算为基础，融合三角形、正方形、长方形、梯形的面积计算等知识，设计不同层次的习题，从而发展学生的运算能力、几何直观、空间观念、推理意识、应用意识和创新意识。

（一）从复杂变简单

当原题给出的条件较多时，可以通过减少条件或改变所求问题，使变式题变得简单、有针对性。

【变式1】如图2，已知AB=2 cm，DE=2.4 cm，求平行四邊形ABCD的面积。

【变式2】如图2，已知DE=2.4 cm，BC=3 cm，DF=1.6 cm，求平行四边形ABCD的面积；

【变式3】如图1，求平行四边形的周长。

变式价值：理解和运用平行四边形的面积公式、周长公式进行计算。

（二）从直接变间接

把原题中的一些直接条件变为间接条件，增加题目的难度，从而提高学生解决问题的灵活度和综合能力。

【变式4】如图2，已知DE=2.4 cm，BC=3 cm，平行四边形ABCD的周长是10 cm，求平行四边形ABCD的面积。

变式价值：巩固平行四边形的面积公式、周长公式，提高分析和解决问题的能力。

（三）从正向到逆向

平行四边形面积公式的正向考查：已知平行四边形的底及对应的高，求面积。逆向考查：已知平行四边形的面积和一条底（或高），求对应的高（或底）。

【变式5】如图2，已知平行四边形ABCD的面积是4.8 cm2，AB=2 cm，求DE。

【变式6】如图2，已知平行四边形ABCD的面积是4.8 cm2，DE=2.4 cm，DF=1.6 cm，求AB或BC（或求平行四边形ABCD的周长）。

变式价值：逆用平行四边形的面积公式，理解面积与高、底之间的关系，发展逆向思考能力。

（四）从封闭到开放

封闭性数学问题的条件通常指向所求问题，所求问题或结论也是唯一的。而开放性数学问题的条件和问题并不一定对应，具有开放性。

1.条件开放

【变式7】如图2，已知平行四边形ABCD的边长都是整数，面积是4.8 cm2，周长是10 cm，求AB、BC、DE和DF。

解题分析：由“周长是10 cm”可得到两条邻边的和为5 cm。又因为“边长都是整数”，利用分类讨论，可知这两条边长AB和BC可能是1 cm与4 cm或2 cm与3 cm。再根据“面积是4.8 cm2”，求出DE和DF。

变式价值：逆用公式，渗透分类讨论思想。

【变式8】如图2，已知平行四边形ABCD相邻两边的长分别是6 cm和4 cm，一条高是5 cm，求这个平行四边形的面积。

解题分析：分两种情况，即这条高分别是两邻边的高。第1种情况，AD=4 cm，高DE=5 cm，结果不成立，排除。第2种情况，AD=6 cm，高DE=5 cm，结果成立，可以求出问题。

变式价值：灵活运用公式解决数学问题，渗透分类讨论思想，发展说理能力。

2.综合性开放

【变式9】已知一个平行四边形，请按要求完成任务。

（1）画一条线，把平行四边形分成面积相等的两个部分，并说明理由。

（2）画一条线（可以是曲线），把平行四边形分成周长相等的两个部分。

解题分析：问题（1），连接一组对边的中点或画两个对角顶点的连线（对角线），共4种情况（图略）。

问题（2），学生一般会认为周长相等意味着图形的形状和大小都一样，面积也相等。实际上，周长相等并不一定要图形面积相等或图形形状大小一样，而是有无数种情况。

变式价值：解决新的问题，培养综合运用能力和创新意识。

（五）从单一到综合

从图形的构成角度思考，几何类习题包括简单图形和复杂图形。通过把简单图形变成复杂图形，可以形成综合性探索问题，考查学生运用知识解决问题的能力。

1.由基本图形串联相关图形

【变式10】如图3，网格中的小正方形边长都是1 cm，某个图形只露出它的一条边和这条边上的高。已知图形的边长和高都是整数，猜一猜，完整的图形可能是我们学过的哪些几何图形呢？请你把想到的图形画出来，并求出这个图形的面积。

变式价值：沟通几种常见几何图形的面积，巩固画图技能，发展逆向思维和分散思維能力。

2.由多个相同图形组成复杂图形

【变式11】：如图4，两个平行四边形的形状和大小完全一样，通过平移把它们合在一起，可构成一个新的平行四边形。请在网格上（网格上的小正方形边长都是1 cm）按要求画出新的平行四边形（顶点在网格点上），并回答问题。

（1）新的平行四边形面积比两个平行四边形面积的和少，有哪些拼的方法？你能计算出每种拼法的面积是多少吗？

（2）新的平行四边形周长比两个平行四边形周长的和少，有哪些拼的方法？你能计算出每种拼法的周长是多少吗？

【变式12】如图5，平行四边形ABCD和BEFC完全相同，BE=2 cm，EF=3 cm，DG=2.4 cm。求DH。

【变式13】如图6，平行四边形ABCD、BEFC、EGHF完全相同，DP=2.5 cm，EG=1 cm，GH=3 cm。求DQ。

【变式14】如图7，平行四边形ABCD和DCEF完全相同，AB=2 cm，DG=2.4 cm，FH=1.6 cm。求CE。

解题分析：先求组合平行四边形的面积，再逆用公式求边长。

变式价值：培养学生分析复杂图形、借助所学知识解决新问题的能力。

3.由单一图形衍生复杂图形

【变式15】如图8，已知平行四边形AECF，分别延长CF和AE，使得DF=CF，BE=AE，得到平行四边形ABCD，其中平行四边形ABCD的面积是9.6 cm2。求平行四边形AECF的面积和三角形AFD的面积。

【变式16】如图9，已知平行四边形AECF，分别延长CF和AE，得到长方形ABCD。测得AB=6 cm，BC=3 cm，AE是EB的2倍。求平行四边形AECF的面积和三角形AFD的面积。

【变式17】如图10，分别以平行四边形ABCD的BC、AD为边，向外作等边三角形，两个等边三角形的面积之和为15 cm2。DG=1.6 cm，EP=2.5 cm。求平行四边形ABCD的面积。

【变式18】如图11，平行四边形ABCD的边AB=2 cm，高DH=1.6 cm，周长为10 cm，以BC边向外作正方形BEFC。求正方形BEFC的面积。

4.知识点的综合

【变式19】如图12，已知平行四边形ABCD中，AB=2 cm，AE是EB的3倍，DE=2.4 cm。点G和点H分别是DE和AD的中点，连接HG。

（1）求△AED的面积；（2）求△HGD的面积；（3）求四边形AEGH的面积。

变式价值：运用转化思想，灵活运用三角形面积的计算方法，解决三角形和四边形等积变形问题，发展运算能力和推理意识。

（六）从静态到动态

用运动的观点看待静态中的问题。通过变式，让原题中静态的图形“动”起来，形成新题，深度理解平行四边形的面积，同时探索得到更多新知。

1.平行四边形两邻边不变，探索高的变化

【变式20】一个平行四边形，相邻两条边分别是2 cm和3 cm，以2 cm的边为底的平行四边形的高的最大值是多少？

解题分析：画出图13，固定AB，DA绕点A往左拉动，高DE不断变长，直至点E与点A重合，得到长方形ABCD。由于“高要画在底边AB上”，所以此时高DE是符合条件的最大值，DE=DA=3 cm。

变式价值：在运动变化中，理解平行四边形与长方形的关系，发展几何直观、空间观念和推理意识。

2.正方形、长方形利用同底变形成平行四边形，探索面积的变化

【变式21】如图14，正方形ABCD的边长是2 cm，求拉动后形成的平行四边形ABEF的面积。

【变式22】如图15，长方形ABCD的宽是2 cm，面积是4.8 cm2。求平行四边形ABEF的面积。

变式价值：体会同底等高的正方形、长方形和平行四边形的面积和位置关系，发展几何直观和推理意识。

3.长方形的两邻边不变，探索以长方形的长和宽为邻边的平行四边形的面积变化

【变式23】如图16，一个可活动的长方形ABCD的宽是3 cm，长是4 cm。把它拉成一个平行四边形ABEF，AF=AD=4 cm，它的周长和面积有什么变化？

解题分析：学生在探索中发现，周长不变，且由于底不变，高变短了，所以所得的平行四边形的面积变小了。

变式价值：探索两邻边相等的长方形与平行四边形的周长和面积的关系，发展几何直观和推理意识。

（七）从数学到生活

数学习题分为纯数学问题和应用性问题。通过改变原题的纯数学问题背景，可以将其变成现实应用性问题。平行四边形的面积在生活中有着广泛应用，将原题变式为应用问题，考查学生运用知识解决实际问题的能力，培养学生的应用意识和创新意识。

1.挖水池问题

【变式24】一块平行四边形菜地两邻边的长分别为4 m和3 m。沿着菜地的一边挖掉一个长1.5 m、宽1 m的长方形蓄水池，剩下部分的周长是多少？

2.停车位问题

【变式25】图17是根据实际测量绘制出的某地人行道上的电动摩托车停车位。请结合示意图说一说，为什么电动摩托车的停车位要画成平行四边形？

解题分析：现实中，停车位（包括汽车停车位）一般画成平行四边形，主要是为了便于停车、开车。此外，还考虑到了人行道的宽度问题。

变式价值：发展应用意识和推理意识。

三、启示

（一）怎样的变式才是好的变式

对一道计算平行四边形面积的习题进行变式，形成的习题分为两类：一类是学完这一内容后的变式。有的是基础的变式，可以作为学生的巩固练习；有的是综合性、探索性和挑战性的变式，可以作为学生的拓展练习。另一类是单元学习后的变式，强调相关数学知识之间的内在联系，体现知识的迁移应用，具有很强的综合性和拓展性，对发展学生的核心素养有着重要作用。教学时，可以根据学生的实际情况选择其中的习题，供不同层次的学生进行练习，从而促进各层学生的学习进阶。

（二）怎样对一道习题进行变式

《促进高阶思维发展的习题变式策略探究》［1］一文提出了变式的六个策略，即从直接变间接、从正向到逆向、从封闭到开放、从单一到综合、从静态到动态、从数学到生活。《“一次多练”不如“一题多变”——以平行四边形面积计算的一道习题为例》［2］一文，将这道题进行六个层次的变式，即原题练习、改编数据、逆用公式、改编为文字题、多元变换和自主编题。笔者在借鉴前人研究的基础上，通过七个策略对一道平行四边形面积计算的习题进行变式，形成二十五道新的习题。

总之，在进行作业设计时，教师可根据这些策略对教材中的一些基本习题进行变式，让教材中无序的习题变得系列化、层次化和系统化，帮助学生有效巩固基础知识，形成基本技能，提升数学能力，发展数学核心素养。

参考文献：

［1］唐彩斌，慕振亮.促进高阶思维发展的习题变式策略探究［J］.小学教学研究，2019（28）：53-56.

［2］章宏俊.“一次多练”不如“一题多变”：以平行四边形面积计算的一道习题为例［J］.教学月刊·小学版（数学），2022（3）：45-46.

（广东省清远市教师发展中心）