从表象认知走向本质理解

孙丽卿

圆是学生在小学阶段要认识的最后一个平面图形，对他们而言，圆既熟悉又陌生。学生在生活中的很多地方都能看见形形色色的圆，但大部分学生对圆的认识均处于表象认知阶段，对圆的本质属性很陌生。人教版教材六年级上册《圆的认识》的编排，要求学生结合已有的知识经验，用多种方法画圆，并在画圆的过程中认识圆心、半径、直径，以及半径、直径的关系等。教学时，教师应关注学生对圆的本质的理解，以培育学生的核心素养。

一、初步表征，唤醒经验

（一）观察“静态圆”

师：今天我们来认识一种大家既熟悉又陌生的图形——圆。

（板书：圆的认识）

师：课前，我已经让大家观察过生活中的圆，哪位同学来说一说，生活中哪些地方有圆？

生：硬币、球、茶杯的一个底面……

（教师用课件出示生活中形形色色的圆）

师：看着这些圆，谁能说说圆长什么样？

生：弯弯的，胖胖的，不是凹凸不平的（用手比画平面图形）。

师：同学们对圆的描述都很形象。圆其实是人们从现实生活中抽象出来的一种平面图形。

师：刚才有个同学说球也是圆，你们同意吗？球与圆有什么不同？

生：不同意，球是立体图形。

生：圆是一个平面图形，而球是立体图形。

师：我们已经学过哪些平面图形了？

生：长方形、正方形、三角形、平行四边形和梯形。

（教师用课件出示图1）

师：以前学过的这些平面图形和圆有什么区别？

生：以前学过的平面图形是有角的，线是直的；圆没有角，线是弯的。

师：以前学的平面图形都是直线图形，而圆是曲线图形。

设计意图：教师课前布置学生观察生活中的圆，让学生结合生活中的圆，交流“圆长什么样”，引导学生思考、讨论球与圆、以前学过的平面图形与圆之间的区别，让学生在比较中感悟圆是曲线围成的平面图形，经历圆概念的初步抽象过程。

（二）观察“动态圆”

（教师用课件出示“滴水成圆”和“操场画圆”的准备状态）

师：这样能形成圆吗？

生：能形成圆。

师：请大家想象一下形成圆的过程。

（教师用课件分别动态展示圆的形成过程）

师：观察圆的两种形成过程，大家有什么发现？

生：它们都有一个中心。

师：“滴水成圆”是如何由中心形成圆的？“操场画圆”呢？

生：“滴水成圆”是从中间一点向外慢慢扩散形成一个圆，“操场画圆”是以绳子的一个端点为中心，把绳子拉直，用绳子的另一个端点绕一周形成一个圆。

生：“滴水成圆”形成了好多个圆，这些圆是按从小到大的顺序出现的；“操场画圆”只形成了一个大小固定的圆。

（教师板书：中心均匀扩散、端点旋转一周。如图2）

师：圆中有很多奥妙，今天我们就来一起探索圆的神秘世界。

设计意图：教师呈现圆的动态形成过程，让学生在观察与思考中进一步体会什么是圆，为后续理解圆的本质特征奠定基础。

二、建立联系，探究本质

（一）联系“一中同长”画圆

任务一：根据“滴水成圆”现象，不用圆规（可用刻度尺），选择图3中的一个正方形，在里边画出一个最大的圆。

（教师出示任务一，提出活动要求：①独立完成；②小组交流；③展示汇报。学生根据要求完成任务一后，教师引导学生进行反馈交流）

師：请第一组小组代表来汇报。

（学生代表出示小组作品，如图4）

生：我们先经过原图中虚线的交点，用尺画一些线，再用尺量出虚线一半的长度，在我们所画的每条线上找到距离交点同样长度的位置并描上点，最后把这些点按画曲线的方法连起来，就形成了圆。

师：说得很好，你是受到“滴水成圆”过程的启发吧，由一点均匀向外扩散能形成圆，所以你从正方形的中心位置出发，画了一些长度相等的线段，用曲线把这些线段的端点连起来，就画出了圆。

师：我刚才还收集了另外两名同学的作品（如图5），他们基本也是按照第一小组的思路画的圆，可为什么右边的作品看起来明显不够圆呢？

生：图中这个图形从中心点到四周的距离不相等，所以图形就不圆了。

生：我也同意这样的说法。我还想补充一点，他画的线比较少，所以画起来有难度。

师：我国古代著名思想家、教育家墨子在 2400 年前就说过一句话：“圆，一中同长也。”你能理解这句话的意思吗？

生：这句话的意思是说，圆的中心点到圆上的距离处处相等。

师：我也做了一个“一中同长”的图形，我是这样做的。

师：如果要形成一个完整的圆，你们觉得要画多少条同样长度的线段？

生：无数条。

师：对，无数条同样长度的线段就会在四周形成无数个点，当点无限多的时候，这些点就构成了一条曲线，也就形成了圆。

（教师板书：同长、无数个点、曲线）

师：你们知道形成圆最关键的要素是什么吗？

生：中心和同长。

师：数学上把圆中心的一点叫作圆心，用大写字母O表示；把连接圆心与圆上任意一点的线段长度叫作半径，用小写字母r表示。

师：现在大家知道圆的圆心和半径有什么用了吗？

生：圆心确定圆的位置，半径决定圆的大小。

设计意图：教学设计要架起学生已有经验和知识本质之间的桥梁，让学生从现象感悟本质。教师设计“用刻度尺在正方形中画出最大的圆”的活动，在交流中借助“滴水成圆”的现象引发学生对同长的感悟。通过这样的数学活动，帮助学生理解形成圆的两个关键要素：圆心和半径。

（二）联系“操场画圆”，用圆规画圆

任务二：①请根据“操场画圆”的方法用圆规画一个圆，并在圆中标出圆心和半径。②把所画的圆剪下来，折一折，说说你有什么发现。

师：刚才同学们借助“一中同长”画出了圆，接下来请大家根据“操场画圆”的方法，试一试用圆规画圆。

（学生独立操作，教师巡视指导）

师：你们觉得用圆规画圆和“操场画圆”有什么联系？说说你们的想法。

生：圆规的针尖相当于皮尺固定的端点，笔尖相当于皮尺的另一个运动端点。

（教师板书：同长、轨迹、曲线）

师：圆规画圆有同长吗？

生：圆规针尖到笔尖的距离就是同長，也就是半径。

师：请大家把用圆规画出的圆剪下来，折一折，你们有什么发现？

（学生动手操作，教师巡视指导）

生：我把圆对折，发现它能够完全重合，说明圆是轴对称图形，并且有无数条对称轴。我还发现折痕都经过圆心。

师：这个同学真了不起，有这么多发现。数学上把通过圆心并且两端都在圆上的线段叫作圆的直径，用 d 表示。

师：请大家想一想，圆内有多少条直径？直径和半径之间有什么关系？

生：圆内有无数条直径，因为圆有无数条对称轴。直径是半径的 2 倍；半径是直径的 [12]。

设计意图：任务二是在任务一的基础上，让学生完整地经历从现象认识到本质理解，再根据本质寻找数学中的圆的全过程。学生通过用圆规作圆、折圆等操作活动，理解了圆的对称性以及半径与直径的关系。

三、联系生活，内化本质

师：有四个小朋友排成一排玩投球游戏，你觉得他们这样玩公平吗？如果不公平，应该如何调整？

生：排成一排玩不公平，他们应该排成圆形。因为圆形从圆心到圆上的距离处处相等，也就是说，小朋友们距离投球的球框距离都相等，这样才公平。

师：有同学说围成正方形也可以，你们觉得可以吗？

生：可以，如果让四个小朋友站在正方形的四个角上，那么游戏也是公平的。

师：我们一起来看一看。如果五个、六个或者更多个小朋友玩这个游戏，他们站在哪儿才公平呢？

（教师用课件逐一呈现图7）

师：大家有什么发现吗？

生：我发现正多边形的边越多，图形越接近了圆。

师：如果正多边形的边无限多会怎么样？

（引发学生思考，初步渗透极限思想）

设计意图：数学源于生活，又应用于生活。学生用圆的本质解释生活中一些现象的过程，就是他们对圆的本质进一步内化的过程。在应用过程中，学生可深入感悟一些数学思想方法，如“正多边形的边越多，正多边形就越接近于圆”这样的极限思想。

（浙江省杭州市临平区临平第一小学）