选择适切的学习材料，促进学生数学思维发展

沈海美

【摘 要】促进学生思维发展是数学教育的重要目标之一，选择适切的学习材料是通过教学发展学生思维的重要基础。结合具体案例，围绕如何设计适切的学习材料展开研究。实践表明，有层次、有结构、开放性的学习材料，可有效促进学生的思维提升，满足学生思维发展的个性需求。

【关键词】小学数学；思维素养；课堂教学；培育策略

数学为人们提供了一种理解与解释现实世界的思考方式。“会用数学的思维思考现实世界”是《义务教育数学课程标准（2022年版）》中提出的数学课程要培养的学生核心素养之一。通过数学思维，可以揭示客观事物的本质属性，建立数学对象之间、数学与现实世界之间的逻辑联系。学生的思维发展在数学教育中的重要性不言而喻。

教育理念要落实到课堂教学中才能真正发挥作用。学习材料是学生解决数学问题、获得数学知识、提高数学能力的基本载体，是学生感受数学与生活的密切联系，体验数学价值，提高数学思维的重要资源。选择适切的学习材料是通过教学发展学生思维的重要基础。具体而言，教师应设计有层次、有结构、开放性强的学习材料，以帮助学生搭建思维发展的阶梯，拓展思维发展的深度，满足不同学生思维发展的个性需求。

一、设计有层次的学习材料，搭建思维发展的阶梯

学生对知识的掌握与理解不是一蹴而就的，而是有层次、有梯度地逐步提升的。帮助学生搭建思维发展的阶梯，需要设计有层次的学习材料。

有层次的学习材料不仅体现在难度的梯度变化上，还体现在学生对数学知识、数学方法本质的进阶理解上。基于此设计目标，笔者尝试以“将大长方形卡纸剪切成相等的若干小块”为基础材料，一材多用，让学生在“初步感知—探究明晰—掌握提升”的过程中，更加深入地理解数学知识，使思维走向深刻。

（一）设计基础材料，衔接思维起始点

基于学生的学习起点，设计基础性、针对性强的材料，找到学生思维发展的衔接点，搭建思维发展的阶梯，可有效地帮助他们认识数学本质。

【材料1】小南有一张长8厘米、宽6厘米的长方形卡纸，要剪成边长为2厘米的正方形卡片，一共可以剪多少张？

學生独立尝试，简单地写出（画出）思考过程。

预设方法1：8×6=48（平方厘米），48÷2=24（张）。

预设方法2：8×6=48（平方厘米），2×2=4（平方厘米），48÷4=12（张）。

预设方法3：8÷2=4（张），6÷2=3（张），4×3=12（张）。学生画图表示，说明得到结果。

教师引导学生思考“上述方法分别体现了怎样的思路”，学生马上意识到方法1错误的原因。

以上案例中的问题本身难度不大，但解题过程能帮助学生通过不同方法的对比，更加深入地理解知识。通过分享辨析，学生从考虑不周、应变不足到具体问题具体分析，其思维逐步走向多元、走向清晰。

（二）变换关键信息，萌发思维生长点

在学生初步掌握知识后，变换问题情境中的关键信息，让学生的认知产生冲突，感受挑战，是促进学生思维提升的有效手段。

【材料2】小北有一张长10厘米、宽9厘米的长方形卡纸，要剪成边长为3厘米的正方形卡片，不允许拼接，可以剪多少张？

学生独立尝试，简单地写出（画出）思考过程。

预设方法1：10×9=90（平方厘米），3×3=9（平方厘米），90÷9=10（张）。

预设方法2：10÷3≈3（张），9÷3=3（张），3×3=9（张）。学生画图表示，说明得到结果。

利用问题串引导学生思考：究竟可以剪几张？哪种方法是对的？为什么？“小北剪卡片问题”与“小南剪卡片问题”看起来差不多，但“小南剪卡片问题”用两种解法都能得到正确的答案，而“小北剪卡片问题”却不行？什么情况下可以用“大图形面积÷小图形面积”这种方法？

在前一问题的基础上，通过对比辨析，学生体会到当直接用“大图形面积÷小图形面积”不能解决问题时，就需要深入思考大、小图形长、宽之间的关系。在这一过程中，他们对解决问题的两种思路的理解逐步加深。

（三）提升普适效能，突破思维关键点

对学生来说，掌握更多的解题方法本身不是目的，他们的思维也不应仅停留于“解题方法的多元化”，而是要逐步学会因题而异，灵活地将不同方法应用于真实的问题解决过程中。因此，学习材料也需要从特殊走向一般，从典型走向普适，使学生的思维在“问题链”中“浅入深出”。

【材料3】小东有一张长10厘米、宽9厘米的长方形卡纸，要剪成长3厘米、宽2厘米的长方形小卡片，不允许拼接，最多可以剪多少张？

预设1：横向截取。沿着大长方形卡纸的长边剪3厘米，一行可剪10÷3=3（张）……1（厘米），余1代表长边最后余下1厘米成为下脚料。沿着宽边，一列可剪9÷2=4（张）……1（厘米），余1代表宽边最后余下1厘米成为下脚料。最后共可剪：3×4=12（张）。

预设2：纵向截取。沿着大长方形卡纸的长边剪2厘米，一行可剪10÷2=5（张）。沿着宽边，一列可剪9÷3=3（张）。最后共可剪5×3=15（张）。

“小东剪卡片问题”看起来难度更大了。解决这道题既要满足截取整块小卡片的条件，又要满足“最多”的要求。但实际上，解决问题的思路依旧延续前面两个问题。有了前面“小南、小北剪卡片问题”的基础，学生通过自主探索是可以很快得到答案的。在解决问题的过程中，学生不仅再次应用了所学方法，而且学会了结合题目灵活应用，即截取方式要合理，截取张数“最多”而又没有多余的下脚料。在类比讨论中，学生的思维逐步向全面发展。

二、组建有结构的学习材料，拓展思维发展的深度

有结构的学习材料可以更好地体现数学知识之间的关联性。它能够帮助学生将松散的知识点勾连成有联系的知识块，助力学生在实际中的迁移应用，从而帮助学生建立思维发展的结构。

（一）求同与求通，突破本质，在类比中理解

学生的迁移学习是有条件的。数学知识间共同要素的发现，能够帮助学生把握表面异质知识间的内在联系，促进对知识的理解与掌握。例如，引导学生理解分数意义时，可呈现以下这组有结构的学习材料。

问题：通过折一折、涂一涂，表示出[15]的[12]。

【材料4】如果把一张长方形纸看作1，那么先把长方形的长边平均分成5份，每份表示它的[15]，再把[15]平均分成2份，取其中的1份即为1的[110]（如图1），可以用算式表达为：[15]×[12]＝[110]。

【材料5】如果把一条线段和五个圆看作1，那么同样可以用[15]×[12]表示出单位1的[110]（如图2、图3）。

对分数乘法计算方法的探索与理解是学生学习中的难点。引导学生借助直观模型，参与折纸、涂色等操作活动，用数形结合思想打通知识间的联系，可以促进学生在类比中深层理解知识，从“举三反一”走向“举一反三”。

（二）回溯与展望，连点成线，在序列中建构

数学是一门逻辑性很强的学科。教学时，教师可以带领学生回溯既往学习的内容，将零散的、碎片的知识联结起来，连点成线，然后再引导学生将新知纳入原有的知识体系中，并进一步展望知识的后续生长。

【材料6】千米是继米、分米、厘米、毫米之后学习的第五个长度单位。自主整理过往的四个长度单位，在此基础上，围绕“如果人们再创造出第五个长度单位，这个长度单位该处在什么位置？跟学过的长度单位之间又是什么关系？”这一核心问题展开探究。

通过独立思考、小组合作，学生呈现多种“创造”结果：有比单位“米”大的十米、百米、千米等，有比单位“米”小的丝米、忽米、微米等。

最后根据相邻长度单位间的进率，将学生“创造”的长度单位进行结构化排列（如图4），让学生清晰地知道“千米”所在的位置，明白“1千米=1000米”的意义。

在小组合作探究中，学生“创造”了多种长度单位，并根据相邻长度单位间的进率，将这些长度单位进行了结构化排列，从而理解了“1千米=1000米”的意义。这是一个同化新知、建构序列的过程，学生从中感受到长度单位序列蘊含的整体性。

（三）勾连与突破，跨越认知，在整合中重构

数学知识的建构其实是一种整体性建构活动。学生在建构知识时，通过唤醒已有的学习内容，把握学习内容之间的关系，完成一次全新的、不同于以往的新建构。

【材料7】在进行“图形的面积”知识整理时，引导学生根据学过的长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形面积计算公式的内在联系，利用学具袋中的多边形摆出图形面积之间的结构图。学生操作，教师巡视，收集不同方法，集中展示（如图5）。

在概括总结的基础上，教师继续呈现图形的动态演变过程。先呈现一个上底4厘米、下底6厘米、高4厘米的梯形，然后演示在梯形的高保持不变的情况下，上底逐渐变短，下底逐步变长（上下底之和保持不变），逐渐变为上下底均为5厘米的平行四边形（或长方形），再变为上底为0厘米，下底为10厘米的三角形的过程。

整体把握的一个重要方法是在必要时将原有的知识结构打破，重新组合，构成一个不同于以前的新结构，即整合重构。这组学习材料能帮助学生寻找图形间的联系，建构更加清晰完善的知识网络。

三、采用开放性的学习材料，满足个性发展的需求

开放性学习材料可以从“问题开放、策略开放”等维度进行设计，拓展材料的宽度，让学生从不同角度、不同方向思考问题，使学生的思维由封闭状态转化为开放状态。

（一）问题开放，感悟数学思想

设计教学材料时，可以将教材上静态呈现、抽象概括、结论固定的数学知识，还原成可以动手操作的，内容更加具体丰富的，路径更加开放的，成系列、有联系的挑战性问题，引领学习进程。设计教学材料时还要关注学生数学思想方法的形成，助力学生感悟数学知识的意义和价值。

【材料8】教学《不规则物体的体积》时，教师为学生准备学具：鹅卵石（大小不一）、铁钉（一定数量）、橡皮泥和乒乓球（若干）；量杯、水槽、长尺等实验器材（如图6）。

请学生小组合作，以问题串的形式，选择感兴趣的学习材料开展探究。

（1）橡皮泥、鹅卵石、铁钉、乒乓球的体积不能直接计算，该如何测量？请自己设计实验。

（2）测量过程中有什么收获？有什么困惑？

（3）今天的学习对你测量生活中不规则物体的体积有什么启发？让学生充分经历不规则物体体积测量的发生和发展过程。

不同的不规则物体体积的具体测量策略不同，但是都蕴含了“转化”的思想；学生在对问题的探究中不断感悟“转化”思想，在思想的统领下，对不规则物体的体积测量进行意义建构。在此过程中，学生用手操作和记录实验过程，用眼观察实验现象，用口讨论实验结论，用耳倾听其他小组的结论，用头脑对结论进行反思，调动了多种感官参与，获得了殊途同归的“转化”思想。

（二）策略开放，促进多元思维

如何运用解决问题的策略是衡量学生数学学习成效的一个很重要的方面，也是培养学生创新思维和创新能力的重要途径。多种解题策略、多种结果能促使学生运用各种数学知识与数学方法解决实际问题，从而促进学生思维的多元发展。

【材料9】呈现问题：有一个用9个小三角形搭成的三层大三角形，请你移动几个小三角形的位置，将大三角形“反转”过来，你有什么办法？怎样移动可以使移动的小三角形数量更少？

学生自主尝试，合作交流后发现：比较反转前后三角形的位置，移动前后，两个大三角形中重叠的小三角形越多，需要移动的小三角形就越少（如图7）。

上述教学过程，既是学生展示解决问题方法多样性的过程，也是学生不断进行反思、感悟知识本质属性的过程。

数学是思维的体操，发展学生思维能力是数学教学中永恒的主题。培养学生的数学思维素养离不开学习材料的依托与支撑。设计有层次、有结构、开放性的学习材料，在一定程度上能够促进学生思维品质的提升，让课堂教学充满思维含量。

（浙江省杭州市临平区实验小学）