基于演绎推理的分数除以整数学习路径研究

巩子坤 张希 张丹 邵汉民

【摘   要】结合实践探索了基于演绎推理的分数除以整数学习路径，即通过概念、等式的基本性质推演分数除法的算理。学习路径由以下四个任务构成：[45]÷2→[45]÷3→[45]÷c→[ab]÷c。通过对比实验，实验班学生能更好地掌握分数除法算理，该路径具有可行性。据此提出以下建议：（1）教材编写可以参考该路径。（2）教学时，要凸显演绎推理的必要性与一般性，解决“为何要演绎推理”的问题;理清每一推理步骤的逻辑关系，解决“如何演绎推理”的问题;注重培养学生的演绎推理能力与符号意识。

【关键词】演绎推理;分数除以整数;算理;学习路径

一、引言

分数除法是学生学习、教师教学的一大难点。研究表明，大部分学生对分数除法的算法掌握得很好[1]，却不明白分数除法为什么要“颠倒相乘”，即对算理的理解较为欠缺[2]。为此，很多学者展开了分数除法算理教学的研究。Li Chen[3]认为可以类比整数除法学习分数除法算理，并借助直观表征（方格图、线段图等）进行说理。但类比推理存在一定的局限性，且直观表征存在必然缺陷。可见，分数除法算理教学的困难亟待解决。

逻辑推理一般分为演绎推理和合情推理。史宁中教授认为数学发展主要依赖的就是逻辑推理，正是有了逻辑推理，才形成了数学的严谨性，逻辑推理应当贯穿数学教育的全过程[4]。然而，小学数学教材存在“偏重合情推理、淡化演绎推理”的现象，这虽然符合儿童认识世界的基本规律，但不利于全面培养学生的逻辑推理素养。因此，探索如何在小学数学教学中渗透演绎推理具有一定的理论价值，也是改善小学数学教学，提升学生核心素养的必然趋势。史宁中教授认为所有的除法与乘法都是贯通的，提出了基于演绎推理的分数除法算理[5]，为本研究提供了依据。

学习路径是学生对核心概念的理解由简单到复杂、由低级到高级的思维过程的描述，不仅能促进学生思维水平的提升，还可以为教材修订、教学设计提供指导[6][7]。本研究以学习路径为工具，旨在探索一条有利于学生理解的基于演绎推理的分数除法学习路径。分数除法可分为“分数除以整数”和“一个数除以分数”，本文主要研究“分数除以整数”。

具体而言，探查以下问题：（1）基于演绎推理的分数除以整数学习路径是什么？（2）基于演绎推理的分数除以整数学习路径可行吗？

二、研究设计

（一）研究对象

本研究选取杭州市XH小学六年级甲、乙班作为实验班，按照本研究所设计的学习路径教学;选取同一学校平行班丙、丁班作为对照班，按照教材中的分数除法学习路径教学。

（二）研究步骤

整个研究主要包括“预备课、初构的学习路径A1、优化的学习路径A2”等基本步骤（如图1）。

（三）理论支撑

1.基于演绎推理的分数除法算理

以[15÷2]为例，将商设为“？”，得到[15÷2=]？;根据“除法是乘法的逆运算”，得到？×2[=15];根据“等式的基本性质”，等号两边同乘[12]，得到？[×2×12=15×12];根据“乘法结合律”并化简，得到？[=15×12];根据“等式的传递性”，得到[15÷2=15×12]。

这就是基于演绎推理，将分数除法转化为分数乘法。虽然学生已经学过演绎推理所需的知识，但他们掌握得还不够扎实。为此，教师先在实验班上预备课，复习必要的前提知识。

2.表征方式

表征方式，是指通过某种类型的表达方式来说明算理。在分数除法教学中，有以下表征方式（如表1[8]）：

（四）问卷及数据处理

实验班后测例题如下：

先计算[45÷6=]，再用推一推的方法来说明你的计算结果是合理的。

对照班后测例题如下：

把一张纸的[45]平均分成6份，每份是这张纸的几分之几？用画图、文字解释等方法来说明你的计算结果是合理的。

测试后对问卷进行赋分，计算正确得1分，说理正确得3分，满分4分。

三、研究结果与分析

（一）预备课和前测

在甲、乙班教学预备课，教学后对学生进行测试，这也是整个实验的前测。发现两班总得分率（92.22%和91.35%）较高，说明大部分学生已掌握这些知识。对平均得分进行独立样本[t]检验，结果显示，甲、乙班得分（[t]=1.859，[P]=0.069）不存在显著性差异，这能有效减小后續研究的误差。综上，基于演绎推理的分数除法教学实验能够在甲、乙班开展。

（二）分数除以整数的学习路径：初构

1.路径呈现

初构的分数除以整数的学习路径如图2所示。

任务一借助直观表征“画一画”，用被除数的分子除以除数即可解决。

任务二中被除数的分子不能被除数除尽，此时可以借助直观表征进行求解。与此同时，教师引入形式表征“推一推”，即演绎推理来解释算理。

任务三符号化。当出现字母[c]时，直观表征失去优势，从而凸显形式表征的优越性。教师询问学生：[c]可以代表哪些数？任务三可以得到什么结论？在此过程中，学生逐渐认识到字母符号具有一般性，并得到一个普适性运算规律——[45]除以一个数等于乘上它的倒数。

2.教学效果与存在的问题

对学生的后测错误情况进行访谈，部分访谈实录如下（T是访谈人员，S是学生）：

T：为什么[45÷6]等于[45×16]呢？

S：因为除以一个数等于乘以这个数的倒数。

T：但是这题就是让我们解释为什么除以一个数就是乘以这个数的倒数呀。

（学生不大明白了）

通过对话可以看出，该学生将演绎推理的因果关系倒置，把“除以一个数等于乘以这个数的倒数”当成一个已知的结论，全然不知我们“推”的就是这个结论。出现这样的现象，一是因为平时没有接触、经历过演绎推理的过程，二是因为学习路径的设计存在问题，未顺应学生的认知顺序，导致学生对“为何演绎推理”“如何演绎推理”一知半解。

因此，初构的学习路径A1存在以下问题：

（1）任务二（[45÷3]）未凸显演绎推理的必要性。学生易接受直观表征，不明白为何要演绎推理。

（2）演绎推理步骤间的联系性不紧密。教学中只解释步骤，却缺乏对这些步骤的归纳与总结。这导致学生不理解为什么要遵循这样的步骤，即不明白为什么要先设未知数，再化除为乘，继而利用等式的基本性质化简。

3.改进建议

（1）完善任务，凸显为何要演绎推理。

其一：任务一和任务二只呈现直观表征，任务三引入形式表征。

任务一和任务二通过画图说明算理;而任务三包含字母[c]，无法画图，引起学生的认知冲突，此时再引出“推一推”，让学生认识到演绎推理的必要性。

其二：增加任务四[ba÷c]，促使任务完全符号化。

由于[a]、[b]、[c]是任意的自然数（[a≠0， c≠0]），[ba÷c]就能代表全体的“分数除以整数”。当推理出[ba÷c=ba×1c]时，便能得到分数除以整数的普适性运算规律，由此凸显形式表征的一般性，培养学生的符号意识。

（2）总结推理步骤，凸显怎样演绎推理。

增加巩固环节，将推理过程的步骤分别命名为设、化、消、传（如图3）。

（三）分数除以整数的学习路径：优化

1.路径呈现

优化后的分数除以整数的学习路径如图4所示。

本节课的目标是感悟演绎推理的必要性与一般性，解决“为何要演绎推理”的问题;充分经历演绎推理的过程，解决“如何演绎推理”的问题。优化的学习路径A2通过四个任务达成本节课的目标（如图4）。下文将借助部分教学片段，说明如何落实以上目标，其中T是授课教师，S是学生。

（1）为何要演绎推理？

T：即使无法计算任务三，也能通过前面的“例子”（如图5）类比得到“猜想”——乘以除数的倒数。这个猜想是否正确？靠不断地举例来说理可行吗？

S：不行，需要验证。

T：可是，这个式子中含有字母[c]，无法画图了，如何验证？怎么能更一般地解释颠倒相乘？今天老师教大家一个新方法——“推一推”。

教师引导学生通过类比得到“猜想”，这是合情推理。但如何证实含有字母[c]的“猜想”，学生还难以用现有的知识解决。因此，教师顺理成章地引入演绎推理，让学生感悟演绎推理的必要性。此外，从带有字母的算式入手，有利于学生感悟演绎推理的一般性。

（2）如何演绎推理？

T：不知道算式的商是多少，可以先将其设为“？”，即[45÷c=？]，这一步称为“设”。此外，虽然我们不会计算分数除法，但是我们会计算分数乘法，那能否将除法化为乘法呢？

S：商乘以除数等于被除数。

T：根据“除法是乘法的逆运算”，得到？ × c=[45]，这一步称为“化”。现在，我们想知道“？”到底是多少？但是，等式的左边还有一个c，如何将等式左边的c消掉呢？

S：可以用解方程的方法化简，在等式两边同时乘上[1c]。

T：没错，根据“等式的基本性质”，得到？×c[×1c=45×1c]。再根据分数乘法约分化简，得到？×[c×1c=45×1c]，即？[=45×1c]。这一步称为“消”。

T：观察上述结论，可以发现什么？

S：因为[45÷c=？]，[？=45×1c]，所以[45÷c=45×1c]（如图6）。

T：非常好，这一步称为“传”。这也就证明了“[45]除以一个整数等于乘上它的倒数”。

该环节旨在让学生感悟、理解演绎推理的依据与方法。为达成目标，教师通过对演绎推理过程的归纳与总结，让学生经历演绎推理的过程，深刻理解“设、化、消、传”的含义。

2.教学效果

对甲、乙班学生的后测平均分进行独立样本[t]检验，结果显示，甲、乙班的得分（[t]=2.196，[P]<0.05）存在显著性差异，说明优化的学习路径A2产生了效果。

（四）学习路径的整体效果

1.实验班、对照班后测数据分析

对“实验班”“对照班”学生的后测平均分进行独立样本t检验，结果显示，对照班、实验班的得分（t=2.734，P<0.05）存在显著性差异。综上所述，本研究设计的学习路径与教材中的学习路径相比，更有利于學生理解分数除以整数的算理。

2.延迟后测数据分析

延迟后测可以评估学习者初学某一内容，在一段时间后的学习效果。研究团队在授课结束的两周后，对两个实验班进行延迟后测。结果显示，相比即时后测，甲班的延迟后测得分率降低了17.92%，乙班降低了1.76%，这说明乙班的教学效果更具有持久性。

乙班的后测得分率均在80%及以上，说明班级中大部分学生能理解、运用“推一推”，这样的结果是值得肯定的。因为演绎推理中蕴含的逻辑、思路是小学生没有系统训练过的，首次尝试就获得良好的数据支持，说明了演绎推理运用于小学数学教学的可行性。

四、结论与建议

（一）结论

基于研究，得出以下结论：

（1）在分数除以整数的学习路径中，要以直观表征引入，逐渐以形式表征为主，即“直观表征敲门，形式表征唱戏”。

（2）研究数据表明，本研究设计的学习路径具有可行性。与教材中的学习路径相比，本研究设计的学习路径更有利于学生理解分数除以整数的算理。

（二）建议

教材可以参考我们得到的优化的学习路径A2：以演绎推理为抓手，推演分数除以整数的算理，从“算法的数学”上升到“思辨的数学”;注重直观表征与形式表征并行。

教学时，教师要遵循学生的认知顺序，凸显演绎推理的必要性与一般性，解决“为何要演绎推理”的问题;厘清每一推理步骤的逻辑关系，解决“如何演绎推理”的问题;处理好从直观表征到形式表征的过渡，培养学生的演绎推理意识与符号意识。

参考文献：

[1]苏洪雨.七年级学生分数学习情况的调查研究[J].数学教育学报，2007（4）：48-51.

[2]钱守旺.构建有“深度”的数学课堂：由“一个数除以分數”一课谈起[J].北京教育（普教），2012（2）：32，49-50.

[3]LI Y P， CHEN X， AN S. Conceptualizing and organizing content for teaching and learning in selected Chinese， Japanese and US mathematics textbooks： the case of fraction division[J]. ZDM Mathematics Education，  2009（41）： 809-826.

[4]史宁中，林玉慈，陶剑，等.关于高中数学教育中的数学核心素养：史宁中教授访谈之七[J].课程·教材·教法，2017，37（4）：8-14.

[5]巩子坤，张希，金晶，等.程序性知识课程设计的新视角：算理贯通，算法统整[J].课程·教材·教法，2021，41（6）：89-95.

[6]SARAMA J， CLEMENTS D H， BARRETT J， et al. Evaluation of a learning trajectory for length in the early years[J]. ZDM Mathematics Education， 2011（43）： 667-680.

[7]SZILAGYI J， CLEMENTS D H， SARAMA J. Young childrens understandings of length measurement： evaluating a learning trajectory[J]. Journal for Research in Mathematics Education， 2013，44（3）： 581-620.

[8]巩子坤.有理数运算的理解水平及其教与学的策略研究[D].重庆：西南大学，2006.

（1.杭州师范大学经亨颐教育学院   311121

2.浙江省杭州市十三中教育集团   310012

3.浙江省杭州市萧山区所前镇第二小学   311254）