“平均的平均”不平均

杨润歌 王潇 郜舒竹

【摘   要】通过对“上山下山”问题、“涨价降价”问题和“鸡兔同笼”问题的分析，可以发现若实现平均的平均即强度量的平均，应满足单位大小对应和单位数量对应的条件。之所以能够实现单位对应，是因为在“求同”思维的驱使下利用了“多多转换”的辩证思维过程。

【关键词】平均;单位;单位化;多多转换;强度量

在日常生活中，经常会遇到“分东西”的情境，如将一定数量的橘子分成几份，问每份有几个，或将一段路程分成几段，问每段有多长等。这类问题通常借助“平均分”即总数除以份数来求得相应结果，但是当求解两个小组的平均成绩时，在某些情况下为何不能利用两组的平均分之和除以2呢？平均的平均为什么会出现不平均的情况？

一、平均的平均

在小学数学课程与教学中，二年级初学除法时最早接触了“平均”这一概念，到四年級时出现了“平均数”。平均数代表了一组数据的平均水平，例如“假设第一组5个同学的数学成绩分别为92分、94分、97分、90分和100分，其平均分是94.6分;第二组4个同学的数学成绩分别为87分、90分、92分和93分，其平均分是90.5分”。通过平均数能判断出第一组同学的数学水平更高，而两组的平均分又是多少呢？通常采用的方法是“总分之和除以总人数”，即：[92+94+97+90+100+87+90+92+939]

≈92.78（分）。

但是借助两组的“平均分之和除以总组数（[94.6+90.52=92.55]）”为何不对呢？或者说“平均的平均”不平均的原因是什么？关于这一点将借助图1予以解释。

当两组的平均分之和除以总组数，也就是除以“2”时，会发现两个小组的人数不同，第一组5个人的平均分为94.6分，第二组4个人的平均分为90.5分。在平均的基础上，进行再次平均时，第一组的第一个人可与第二组的第一个人对应，第一组的第二个人与第二组的第二个人对应……如此进行下去会发现第一组的第五个人将被剩下。也就是说如果将每个人的平均成绩看作一个单位时，第一组有5个单位，第二组有4个单位，由于单位数量的不对应阻碍了平均的平均。由此表明“两组的平均分之和除以总组数”的不合理性，若想合理则要保证单位数量的对应。

由此可见，当单位数量之间达到“同构（Isomorphism）”时，才能实现平均的平均。同构是指对象之间“结构相同”，遵循“一一对应（One-One Mapping）”的原则。[1]这样的对应不仅体现在单位数量上，还体现在单位的大小上。关于单位大小的对应接下来将借助“上山下山”问题、“涨价降价”问题和“鸡兔同笼”问题进一步说明如何实现平均的平均。

二、“上山下山”的平均速度与速度的平均

“上山下山”问题是指“小明上山以2米/秒的速度行进，下山以3米/秒的速度行进，求小明行进的平均速度”。对于“平均速度”通常可以借助路程与时间的数量关系求得，却不能借助“速度的平均”来求得。

在该问题中，上山每秒所对应的路程是2米，下山每秒所对应的路程是3米，可将每秒所对应的路程看作单位，此时上山与下山的单位大小并不对应。在上山与下山路程相同的前提下，可以假定上山和下山的路程都是6米，那么上山的2米有3份，下山的3米有2份（如图2所示）。其中的3份和2份是指单位的数量，由此单位数量也不存在对应关系。由于总路程6米是固定的，所以单位大小的不对应导致了单位数量的不对应。

既然单位数量不对应，则无法将下山时每一单位中多余出的1米平均分到上山与下山的每份中。基于单位的不对应，导致无法形成同构的一一对应关系，也就不能实现速度的平均。所以能否先通过转换实现单位大小对应后再来解决问题呢？

在下山时，可将每秒3米的路程转换成每秒2米，2份单位里会多出2个1米。此时上山与下山的单位大小均为2米，一共有5份，也就是单位数量为5，每份可以多增加0.4米[2×（3-2）5=0.4（米）]，所以最终的平均速度是[2.4]米/秒[0.4+2=2.4（米）]。由3米到2米的过程中蕴含了单位“多”与“多”之间的转换，这里的“多”实际上是指单位数量的“多”。

上山与下山的路程都是“6米”，即有6个以“1米”为单位的量，可看作是单位的“多”;若将“6米”看作一个整体，即有1个以“6米”为单位的量，可看作是单位的“一”。这种理解同一事物的不同想法可称为单位的“一多转换”。除了“一多转换”外，还有上述谈及的“多多转换”。3个“2米”和2个“3米”都可看作是单位的“多”。可将利用“一多转换”或“多多转换”思考问题的认知方式称为单位化（Unitizing）。

实际上，利用单位化解决问题是在“求同（Identification）”思维的驱使下完成“多多转换”的单位对应。这是因为在多数情况下，人们更愿意基于相同的量来思考问题，也就是“求同存异”。

三、“先涨后降”不相同

“涨价降价”问题是指“某品牌商品先提价[20%]销售，后期无人问津，不得不优惠[20%]后销售，问最后售价与当初原价相比如何”。若按照生活经验来看，先给20个橘子，再拿走20个橘子，此时还有0个橘子;或者规定向东行进的方向为正方向，先向东走20米，再向西走20米，此时将位于原位置。根据认知主体的经验，两个例子中前后变化了相同的范围却能保持原量不变（用算式可表达为“[20-202=0]”），由此推知“涨价降价”问题中，最终售价理应等于当初原价。这是通过直觉获得的推断，是一种直觉的结果。[2]而实际情况并非如此，可以说“等于原价”是一种反直觉现象。

假设这一商品的原价为100元，涨价[20%]或降价[20%]都可以表达为[15]。这一问题包括两个环节，一个是涨价，另一个是降价。涨价是基于原价100元的[20%]，涨所对应的单位是“20元”，而降价是基于涨价后120元的[20%]，降所对应的单位是“24元”，所以“涨”与“降”的单位大小不对应。涨价后由原价的5份20元，变成了6份20元，其单位数量是“6”;而降价既然是[20%]，也就是[15]，所以应先将涨价后的6份20元转换成5份24元，这样看来，降价所对应的单位数量是“5”。

既然涨价与降价的单位大小和单位数量均不满足一一对应的结构，那么可以借助单位化的认知过程达到“求同”。最初原价与涨价后的单位大小是对应的，均为20元，由此可以直接进行单位数量的对应。如图3所示，涨价后是6份20元，由于降价的要求是“优惠[20%]”，所以6份应转换成5份，即选取6份中的1份平均分到其余5份中去。这样由6份中的每1份20元，转换到5份中每1份是24元的过程体现了“多多转换”的思维过程。

如图4所示，降价是基于5份24元的，而“优惠[20%]”是指去掉其中的1份，得到最后售价有4份24元。由于最后售价与最初原价（5份20元）既没有单位大小的对应，也没有单位数量的对应，所以二者不能直接比较，由此要再次进行“多多转换”的思维过程。将降价后的每1份（共4份）中多出原价的部分（多出4元）拿出来，轉换成5份。转换后的5份中，有4份均为20元，剩余1份是16元。此时在部分单位大小对应和单位数量对应的条件下，再比较最后售价与最初原价即可发现降价后比原价少4元。

在“涨价降价”问题中，价格是总价分配到某一数量上的单价，正如“速度”一样，“价格”已然是平均后的结果，因此不可用[20%-20%2=0（元）]得到最终售价与原价相等的结论。对价格进行再平均时，应先借助单位化中的“多多转换”思维，使最终售价与原价的单位大小与单位数量由异变同，再进行比较。

四、“鸡兔同笼”问题中的平均

“鸡兔同笼”问题是指“同一个笼子里的鸡和兔共35只，总足数为94，问鸡和兔各有多少只”。这道历史名题的解题方法与想法是多种多样的，而利用单位化的认知方式可以从一个新的视角来看待它。

如果将鸡的“2条”腿看作一个单位，兔的“4条”腿看作一个单位，二者之间将不存在单位大小的对应。因为二者只数不相等，所以单位数量也不对应。若使单位大小对应，可以将每只兔中的一条腿移到每只鸡身上，这样会在思维中存在“3条腿”的鸡和“3条腿”的兔。显然，在现实情境中，“3条腿”的鸡和“3条腿”的兔是不合理的，这与“半足术”中谈及的“一头一足是鸡，一头二足是兔”是同样的道理。[3]实际中的“非鸡非兔”与思维中的“是鸡是兔”体现了对立统一的思维规律。由此看来，“多多转换”体现了单位化中所蕴含的辩证思维。

在单位大小相同的条件下，可以将94条腿平均分配给鸡和兔，这样得到的鸡和兔各有47条腿。进而得到3条腿的鸡有15只，3条腿的兔有15只，各自余下2条腿，可以看作2条腿的鸡有2只。此时鸡与兔的单位大小对应，单位数量对应，所以可以将之前移给鸡的腿再还给兔，这样2条腿的鸡有17只，4条腿的兔有15只。但此时不满足总头数的要求，所以“[35-17+15=3（只）]”，将少3只兔，多6只鸡，原因在于从单位大小来看，鸡是2条腿，兔是4条腿，二者为2倍关系，单位数量进而也是2倍关系。上述过程可用下面的算式予以表达：

[94÷2=47（条）3条腿的鸡： 47÷3=15（只）……2（条）3条腿的兔： 47÷3=15（只）……2（条）2条腿的鸡： 1+1=2（只）35-17+15=3（只）2条腿的鸡： 17+6=23（只）4条腿的兔： 15-3=12（只）]

也可以借助“单位”的眼光来思考本题。仍将94条腿平均分给鸡与兔，这样鸡与兔都有47条腿。当鸡以“2条”腿为单位时，会有23只这样的鸡，余1条腿;当兔以“4条”腿为单位时，会有11只这样的兔，余3条腿。根据总头数的要求，最终2条腿的鸡有23只，4条腿的兔有12只，此过程可用下面的算式予以表达：

[94÷2=47（条）2条腿的鸡： 47÷2=23（只）……1（条）4条腿的兔： 47÷4=11（只）……3（条）4条腿的兔： 11+1=12（只）]

实际情境中平均每只鸡2条腿，每只兔4条腿，当鸡与兔的数量不对应时，需要改变单位，从而实现平均的平均。上述两种想法均从“单位”出发，无论是通过“多多转换”将鸡与兔的腿数统一，还是直接以“2条”腿与“4条”腿为单位将总足数进行平分，都对“鸡兔同笼”问题产生了新的思考。同时也借助该问题说明单位中蕴含的辩证思维。

五、平均的平均与强度量

通过上述案例可以发现，借助单位对应（单位大小和单位数量对应）可以实现“平均的平均”，但究其背后的原因离不开中世纪学者对质的量化。

在小学数学学习中，长度、时间、面积、体积、质量、货币和角度等常见的量都具有可加的属性，称为“广延量（Extensive Quantity）”。[4]广延量是对亚里士多德所提出的“量”范畴的描述。同时，亚里士多德还提出了与之相对的“质”范畴，质指事物的本质差异，其运动称为增强（Intension）或减弱（Remission）。中世纪的默顿学院（Merton School）试图将“质”与“量”范畴建立联系，即对质进行量化，如速度、温度、浓度等是否也可以用数字表示呢？对质进行量化后的结果为强度量（Intensive Quantity），它是一种程度（Degree）的表达，而该程度不可加，由此可知强度量具有不可加的属性。

古希腊时期，亚里士多德指出“更快（Quicker）”是相对于在同一时间内比“更慢（Slower）”穿越了更多的空间而言的。[5]此时，在同一时间内，速度初次与空间建立了联系，或者说是速度与路程建立了联系，该联系借助强弱程度予以表达。从中世纪开始，速度作为路程与时间的比率而存在，借助数字予以表达。若速度为广延量则必满足可加性，如“[2米/秒+1米/秒=3米/秒]”。其中“[2米/秒]”指[1秒]内行驶的路程为[2][米]，现加上“[1米/秒]”，是在路程“[2米]”的基础上，增加“[1米]”，得到总路程“[3米]”。此时“[3米]”的用时将大于[1秒]，有悖“[3米/秒]”，说明等式不成立“[2米/秒+1米/秒≠3米/秒]”，因而证明速度不可加，它属于强度量。

一般来说，运动的物体在某一时间间隔内运动的快慢不一定是时时一致的，因而借助[v=St]求得的速度，只能表示该物体在时间间隔“[t]”，或者说是“[Δt]”内的平均快慢程度。由此来看，速度已然是平均后的结果。仍以“[2米/秒=2米1秒]”为例，其中的路程与时间均为广延量，根据其可加性，可有如下的表达方式：

[2米=2米×14米=2米+2米=2米×26米=2米+2米+2米=2米×3……]

第一个等式表示[1秒]所对应的总路程是[2米]即1个[2米];第二个等式表示[2秒]内的总路程是[4米]即2个[2米];第三个等式表示[3秒]内的总路程是[6米]即3个[2米]……当上述无限可加的过程停止时，可用“[2米1=4米2=6米3]”表示路程与时间的关系，也就是速度。由此说明广延量与强度量之间具有同一性，即广延量间的比为强度量的表达。[6]从这一点出发，求速度的平均，实际是求平均的平均，或称为求强度量的平均。

速度、价格以及工作效率等都属于强度量，它们因其不可加的属性，无法直接实现再平均。若实现再平均应满足单位对应的条件，这是在“求同”思维的驱使下利用“多多转换”的辩证思维过程。由此，单位化作为认知事物的方式，若在数学课程中挖掘体现单位化的内容，在教学中引导学生经历单位化的认知过程，不仅有助于学生理解“平均”与“平均的平均”，还将发展学生的求同思维与辩证思維。

参考文献：

[1]郜舒竹. 为“错”说理[J].教学月刊·小学版（数学），2020（6）：4-9.

[2]郜舒竹.数学课程内容中反直觉现象举隅[J].课程·教材·教法，2020（8）：72-77.

[3]郜舒竹.鸡兔同笼问题中的辩证思维[J].课程·教材·教法，2019（9）：88-93.

[4]STAVY R， TIROSH D. How students （mis-）understand science and mathematics[M]. New York：Teachers College Press， 2000：13.

[5]CLAGETT M.The science of mechanics in the Middle Ages[M].London： Oxford University Press， 1961：179.

[6]CANAGARATNA， SEBASTIAN G . Intensive and extensive underused concepts[J]. Journal of Chemical Education，1992，69（12）：957-963.

（首都师范大学初等教育学院   100048）