有效衔接 实现思维跨越

丁玉成

【摘   要】人教版五年级上册的“简易方程”单元是学生较为系统地学习代数知识的起始单元。学生的思维从熟悉的算术思维转向多变的代数思维，这是学生思维的一大跨越，这一过程看似容易实则艰难。在对单元内容整体思考的基础上，确定在教学实践中补充分析型、对比型、梳理反思型的探究性作业，能帮助学生体会“化归”方法，领悟“建模”思想，实现从算术思维向代数思维的跨越。

【关键词】简易方程;代数思维;探究作业

人教版五年级上册的“简易方程”单元是学生较为系统地学习代数知识的起始单元，本单元的教学内容中蕴含着丰富的数学思想，如抽象思想、推理思想、化归思想、等价思想、模型思想等。从算术思维向代数思维的过渡，这是学生思维的一大跨越。在分析教学内容、梳理现有习题的基础上，设计有趣、有效的探究性作业，可以帮助学生搭建思维跨越的脚手架。

一、教学内容分析

学生通过对“简易方程”单元知识内容的学习，会用字母表示运算定律和计算公式，用字母表示常见的数量关系;初步学会根据字母值求含有字母式子的值，初步了解方程的作用，理解等式的基本性质;会解简易方程，并初步体会化归思想;初步学会列方程解决简单的实际问题，获得数学建模的初步体验。

（一）字母介入运算，感悟顺向与简洁

一个字母式既可以表示一个数，又可以表示一种数量关系，这是学生认知的难点之一。教材直接从用含有字母的式子表示數量关系开始编排，通过提供蕴含不同数量关系的实例，引导学生用含有字母的式子抽象出其中的数量关系。教学中要帮助学生体会用字母表示数量关系时，解决问题的思考方式不是逆向“求未知”而是顺向“找等量”。教材中还有代入求值的教学内容，这是让学生结合具体的问题感受字母可以表示具体的数。

（二）运用等式性质，感受通性通法

解方程的过程实际上是一连串依据等式的性质进行演绎推理的过程。教材借助实物直观、几何直观，帮助学生理解方程变形、求解的过程。解方程对学生来说是一种全新的问题解决体验，教学中要帮助学生充分理解解方程的基础——“方程的意义”和“等式的性质”，掌握相关概念，实现必要的抽象概括。要重视学生对等式性质的理解和运用，引导学生识别各种不同类型的方程结构，在理解方程变形过程的基础上感受不同解法中的通性通法。

（三）解码等量关系，建构模型思想

方程是一类事物普遍适用的数学模型，列方程的过程就是在数学符号的帮助下提炼现实生活中特定关系的数学建模过程。教材中“实际问题与方程”部分有五个例题，看似情境各不相同、没有联系，但在方程的结构类型上却隐含着相同之处，因此要创设机会让学生发现等量关系结构上的相似之处，感受到等量关系是列方程解决问题的灵魂，解决问题时要先寻找等量关系，再依据等量关系列出方程，从而建构模型。

二、现有教材常见习题概述

教材和配套课堂作业本中的现有习题大致可以分为以下三类。

1.填空

这类题目在内容上比较丰富，如根据图示或描述写出含有字母的式子，根据给出的字母值代入求式子值，用字母表示运算定律和计算公式等。填空题具有容量大、知识密度高的特点，教师批改非常方便。不过填空这样的作业形式几乎压缩了所有的思考过程，教师不容易看到学生的思维痕迹。

2.解方程

教材练习中的解方程通常以一道道独立的题目呈现，如果只是操作性地完成一道道题目，学生就是在进行技能训练，将解方程的方法程序化。学生只有真正理解了解方程过程中变形的依据、会对方程的各个小类型进行重组形成大类，才能悟出应用等式性质的通法，解方程的过程才能显得灵动。因此对这类题目，教师需要做适度的拓展改编。

3.问题解决

教材中“实际问题与方程”部分共安排了五个例题，例题后编排的配套练习与例题类型相似。这里需要以“建立模型”为目标，增设对比、找联系的题目，让培养学生建模能力的目标能更好地落地。

三、探究性作业设计

本单元的探究性作业设计，要能凸显简易方程的代数本质。分析类作业、对比类作业、梳理反思类作业，能帮助学生体会“化归”思想，领悟“建模”方法，实现必要的思维跨越。

（一）设计思考

1.探究性学习目标

（1）结合实例，理解并感受字母表示数的含义，体会用方程表示等量关系的便捷性，体验字母式的简洁性。

（2）借助直观，充分理解方程的意义和等式的基本性质。

（3）经历解方程的过程，理解如何根据等式的意义解方程，提高解方程的能力。

（4）通过分析实际问题中的等量关系，寻找题目之间的共性与个性，发现不同问题的共通之处，建立模型思想，体会方程的优越性。

2.探究性作业设计点

（1）设计“用含有字母的式子表示情境内容”的作业，培养观察、分析和几何直观能力。

（2）设计“用生活实例说明等式性质”的作业，在举例描述的过程中进一步理解等式的性质。

（3）设计“自己建立解方程题库并命题”的作业，通过自主出题并说明出题原因，对题目的难度进行分析，掌握解方程的不同类型结构，巩固解方程的方法。

（4）设计“两积之和模型”的作业，感受不同情境的问题有着相同结构的等量关系，建构模型思想。

（二）具体设计

根据对教材内容的分析，围绕探究性学习目标，结合探究性作业设计点，本单元设计了四份作业。

1.可以坐几人

在学习了“用字母表示数”以后，设计作业：如图（见图1），一张桌子可坐4人，两张桌子拼起来可坐6人，三张桌子拼起来可坐8人……那么n张桌子拼起来可坐几人？用含有字母的式子表示。请用画图的方式分析展现你的思路。

这份作业指向建模能力的培养，也就是培养学生“用数学的语言表达世界”的能力。题目本身具有开放性，需要学生多方面、多层次、多角度地进行分析，创造性地加以解决。用画图的方法分析展现思路，可以让学生将解题的过程慢下来，进行更深入的思考，进而体会用字母式表示数量关系的顺向性，体会字母式的力量。

2.小小生活家

在学习了“等式的性质”之后，设计作业：等式有哪些性质？用生活实例来说明等式的性质。

让学生以生活情境为依托，将等式的性质进行表征，可以更好地发挥直观形象对于抽象概念的支撑作用。看到这个作业，学生的脑海中可能会浮现出天平演示图，教师可以引导学生用生活中的例子来诠释天平演示图，讲生活中的故事，把增、减、扩倍、缩倍等内容融入故事情节中。让学生在举例描述的过程中掌握概念，实现必要的抽象概括。

3.今天我出题

在学习了“解方程”以后，设计作业：请为“解方程”过关设计一份“题库”（10道题）。要求每种题型一道，由易到难，写出“出题原因”和“题目难度分析”，也可以结合自己和同学经常出现的错误进行“错例分析”。

出题是学生最喜欢的作业方式之一，把“出得好就让同学们来做”作为奖励，能激励学生使出浑身解数去完成任务。对于看似简单的出题，在设计要求的限制下，学生需要先对每个例题进行充分解读，识别不同类型方程的结构，并组合归类，然后自主出題并写出出题原因、难度分析等，进一步对相关知识点进行深入思考。这个过程是学生在头脑中将知识联结成网、建构图式的过程。学生在等式基本性质的运用过程中，感受不同结构类型方程的解法共通，能更好地掌握解方程的方法。

从图2这份学生作业中可以看到，小老师精挑细选了10道题并以星级制来设定难度系数，由易到难让人一目了然。“出题原因、难度分析、错题分析”三个要求对其他同学很有指导意义。最后两道题出现了方程两边都有x的拓展题型，折射出他在解方程的过程中对等式基本性质的熟练运用。

4.不同中找相同

在学习了“用方程解决实际问题”之后，设计作业：根据下面三个情境，写出等量关系并画出线段图，想一想，你能发现这三个问题的共同点吗？

情境1

如果小林每分钟可以打100个字，小云每分钟可以打96个字，那么一份570个字的文件，小林与小云同时录入，录完这份文件需要多长时间？

情境2

甲乙两艘小船同时从一个码头向相反方向驶出。2分钟后两船相距3800米，甲船每分钟行900米，乙船每分钟行多少米？

情境3

从看似不同的内容中发现相同，是数学教学中需要培养的重要能力之一。学生通过寻找不同情境问题的相同之处，发现两积之和结构的等量关系，促进模型的形成，感受方程能用顺向思维解决问题的优势。图3这份学生作业清晰、简洁，从“部分量+部分量”的等量关系可以看出学生先把关注点落在了大块上，然后把每个部分量用到的数量关系进行提炼，最后总结出三道题都是两积之和的结构。一份作业折射出学生的模型思想正在形成。

（浙江省宁波市奉化区岳林中心小学   315500）