重构学习 深度理解

陈爱君

【摘   要】基于教学现状和学生在圆面积公式推导中发现的问题，借助数学史构建新的学习方式，学生在课前导学、课上交流碰撞、课后拓展中，生疑、证疑，经历知识发生、发展的全过程，不仅获得探究的乐趣，更获得深度理解圆面积公式的体验，感受到数学知识多元化魅力。这也让教师找到了小学数学教学中应用数学史的新路径。

【关键词】HPM;圆面积;深度理解;重构学习

一、引言

“圆的面积”是人教版教材六年级上册的内容，是学生学习直边图形面积计算走向曲边图形面积计算的关键转折。站在学生数学思维发展的重要转折点，如何把握好该内容承载的独特价值和数学素养的关键生长点，值得教师深入研究和思考。

查阅相关文献资料发现，本节课已有教学流程的差异不大，大致可归结为“提出主题情境问题—启发学生动手操作（小组合作，将圆转化为已学直边图形）—反馈交流中感悟无限分割的极限思想—达成共识运用公式解决问题”四个环节。其中操作环节一般是学生在教师的启发下，进行剪切拼组，边讨论边理解，教师主导探究过程，学生的探究空间有限。也有教师引入数学史辅助教学，但因课堂时间有限，数学史相关内容往往以附加式介绍为主。实际上，分割重组等操作环节不是本节课的关键。因为学生已有多边形面积计算的学习经验，能想到将圆分割转化为直边图形，但他们总是认为推导得到的面积公式是一个近似公式，难以理解为什么曲边可以等同于直边，这才是本节课的核心问题。只有解决这一问题，满足学生对何以画圆为方及圆面积的其他推导方法的好奇心，学生才能实现由曲到直的思维跨越，深度学习才能真实发生。

为此，需要基于学生的学习需求，构建新的学习方式，设计能获得深度理解的学习体验。那么，该如何重构学习，实现深度理解？回到数学发展的历史中，才能更好地把握符合历史的主流方向。换言之，历史的选择更应该成为教师的教学选择。

二、以史为航，锚定知识价值核心

在数学史上，人们对圆面积的思考和探索前后跨越数千年，表1呈现了相关史料。置身历史的坐标，可以看到几千年来数学家对圆面积计算原理的探寻轨迹。当年，刘徽或阿基米德等前辈，无论怎样割圆或细分，始终无法逾越直边与曲边之间留有的那道缝隙;开普勒试图采用无限分割变形法跨越曲与直的界限，也遭到诸多质疑;卡瓦列里从棉线带来的灵感中获得了不可分量原理，但曲与直的鸿沟依然存在。这些探索本质上都是对直与曲、有限与无限关系的挑战，虽没有最终解决问题，但它们都为微积分的诞生奠定了基础，是数学发展史中宝贵的财富。

历史上圆面积的推导方法多元，每种方法都曾经在一定的时期得到推崇，但方法背后的“无限分割、化曲为直”才是对后续数学学习而言最具价值的，也是教学圆面积中最应该孕伏的。因此，本节课试图将历史上圆面积计算的典型方法融入教学，重构以数学史料为探究载体的学习方式，让学生在对方法的选择和理解中感悟极限思想在解决问题过程中的独到价值。

三、以史为迹，重构学习方式

维果茨基在最近发展区理论中提到：儿童实现发展水平由解决问题的能力决定，通过在成人指导下或是与更多有能力的同龄人协同解决问题，儿童的潜在发展水平将得到提升。想实现这一点，就需要教师深入了解儿童对知识理解发展的起点，捕捉学生在这一过程中遇到的最迫切困难，做出精确的判断后再给予有效的学习支持。基于这样的思考，笔者决定运用以提供学习支持为导向的学习建构模型展开本节课的教学（如图1，其中ZPD是最近发展区）。

（一）課前两次任务导学，对话历史，发现并尝试解决问题

为了解学生在学习圆面积之前会通过什么样的方法自主尝试推导圆的面积公式，笔者在课前设计了第一次导学任务。通过对全班43位学生的导学单的梳理发现：97.8%的学生知道圆面积公式，近40%的学生能用教材呈现的方法进行推导，其中还有1名学生使用了开普勒的方法。在导学单中可以看到，在尝试探索圆面积公式的过程中，学生提出的疑惑、问题和数学史上关于这个问题的探索惊人相似。他们感到困难的地方有这样两个：一是如何把圆转化成直边图形，二是通过转化得到的计算公式是一个近似公式，直边怎么会代替曲边（如图2）。第一次导学任务的反馈为更准确地提供学习支持找到了依据。

之后教师为学生提供了几种典型面积推导方法的史料，并设计了第二次导学任务：（1）对比第一次导学任务中自己的尝试，看看更接近哪种方法;（2）选择史料中自己感兴趣的方法操作验证。随后，按照学生选择的方法进行分组，每组3～6人，组内交流尝试解决问题过程中的所得、所惑。

为了能向同伴清楚地解释对圆面积公式推导的理解，在验证过程中，学生采用了多种直观、生动的方法。有的学生模拟史料中的方法，用纸张进行剪、拼;也有的学生做了进一步拓展，尝试通过编程的方式再现史料中的方法，做出了电脑上动态的呈现效果。学生在课前充分思考、深度实践、同伴互助、共同解决问题的过程中，又生发出新问题，并再次尝试解决。如此往复，深刻地理解了圆面积公式推导的方法，积累了丰富的活动经验，深度学习得以发生。

（二）课上多轮交流、讨论，剖析本质，理解并解释问题

经历深度理解的学习必须经历思维的激烈碰撞，教师的任务就是不断引起和维持这种碰撞，因此，课堂上要抓住核心问题，开展有效、深入的交流讨论。

课堂上，教师展示学生完成导学单过程中提出的问题：（1）转化前后，曲边图形变为了直边图形，面积没有发生改变吗？（2）圆面积是如何计算的？并试图通过思维碰撞促进问题的解决。

在小组交流汇报时提出要求：（1）说清研究过程和公式推导过程;（2）一个小组汇报结束后，其他同学可以提问，相互交流想法;（3）边听边思考，这些方法和自己的方法有无相通之处？截取交流片段如下。

【片段1】转化为平行四边形（结合PPT演示）求面积

生1：首先我们把这个圆4等分后进行拼组，发现有这样的弧线，怎么办呢？那再分得多一点，8等分，弧线仍然比较明显，继续分成16等分、32等分，这时弧线已经接近于直的了，此时平行四边形的高就是圆的半径，底就是圆的周长除以2。这种方法和开普勒的方法比较接近，开普勒的方法是拼成三角形，也就是将上面这一行拼到下面来，这样底就要乘2，就是圆的周长，再通过等积变形，变成一个大三角形。平行四边形中底是πr，高是r，面积就是πr2。

生2：难道多一部分不会影响它的高吗？

生1：你是指弧线部分吗？不会的。我们将它分成了32等分，假如我们分成3200等分，那这里的弧线差不多就是一个点了，这个点就可以忽略不计，不会影响高的长度。

生3：如果拼成三角形的话，会不会有误差？

生1：误差不会有的，三角形的底边是平行四边形的2倍。我们等一下可以关注介绍这种方法的小组的解释。

这一小组所做的是对教材方法的介绍，在原有近40%学生的认知基础之上，面向全班学生系统地进行介绍，并回应其他同学的困惑，这是学生对极限思想理解的初步尝试，后续不同方法的演绎将推动极限思想的深度理解。

【片段2】仿照刘徽的割圆术（拍摄微课辅助讲解）求面积

在这一小组的分享中，学生再次将问题聚焦于转化前后图形面积的变化上。

（小组代表生1呈现微课视频，展示割圆拼补的过程）

生2：分割多余出来的弧形怎么计算？

生3：利用圆的面积的十二分之一与拼组长方形的面积求差就是弧形面积，推导后发现得到差为0，这可以验证我们的结论。

生4：（补充解释）所以说随着分割的份数越来越多，弧形面积可以忽略不计。

生5：我认为不管怎么分割，弧形部分仍然存在。

学生在对刘徽割圆术的探讨中，自然而然地将问题聚焦到了以直代曲的疑问上。显然，数学史上困扰数学家们千年的问题也横亘在当下学生的面前，依旧难以跨越。在学生第二次试图解开谜团时，割圆操作让问题暴露得更加明显，激发了学生进一步解答的强烈欲望，该组学生尝试用公式推导的方法解决这个问题，事实上，这个方法并不奏效。但前一小组的讨论已奏效，该组学生马上用第一组的方法进行补充。

后续几个小组的汇报中，学生不断地用各种办法解释“以直代曲”。如第三个小组，利用Scratch编程，动态演示当切割的份数越多时，曲边越来越贴近直线（如图3）。

【片段3】利用开普勒的方法（制作了教具）求面积

小组汇报结束后进行了如下讨论。

生1：为什么要将等分后的小扇形拼成三角形？也可以拼成菱形。

生2：你这个想法就是前面第一组同学说的，把圆分成上下两半，然后他们拼成的是平行四边形，这里拼成了三角形，你说的菱形也是平行四边形。

生1无法表述清楚，生2请他在黑板上演示出来（如图4）。

生2：这样做弧线中间的空余部分怎么处理？

生1：可以通过多次切割转化成箭头右边的图形。

生3：我们可以把分割后的圆拼组成很多图形，可以拼成平行四边形，可以拼成三角形，拼成菱形也可以，没有对错之分，只是选择不同。

生4：那这样转化后怎么推导公式？

生3：把這个图形再变形转化为平行四边形。

生4：那你为什么要转化2次呢？

……

在这样的思维碰撞中，学生再次解决公式推导中碰到的问题。像这样激烈的交流、碰撞充满整个课堂。正因为学生课前有了对问题的充分思考和实践，有了数学史料以及同伴、教师给予的有效的学习支持，学生才会对课堂上的关键问题产生深度理解。

（三）课后拓展，再借史料，拓宽学习路径

师生在基于数学史重构的教学中受益良多。一方面，教师切实感受到数学史为知识的形成逻辑提供了参照，为学生提供了深度探究的机会;另一方面，学生的学习因为有了“历史大家”的参与更加“较真”。因此，教师要为数学史融入后续内容教学创造机会。

数学史与圆面积相关的资源丰富，教师在课后的巩固拓展中加入了《九章算术》中的圆田问题“今有圆田，径十步，问圆田几何”。后续圆内不规则图形面积的教学中，再次提供了丰富的数学史阅读资料，并设计了适合学生挑战的任务，学生在内部动机的驱动下主动学习，高投入、高产出，从而发展高认知。

四、结语

课前导学、课上交流碰撞、课后拓展，在围绕“圆的面积”展开的基于数学史的学习方式的重构探索中，教师是发起、维持、促进学生学习的支持者，学生在内部动机的驱动下，通过个人探索、小组合作、思维的交流与碰撞，体会了以直代曲的转化思想和极限思想，触摸到了数学的本真面目，真切感受到圆面积公式及其背后思想产生、发展的过程，认识到了数学文化的多元性，体会到历代数学家们求真、创新、执着的科学精神，由此洞见人类文明进步的历史。这样的数学课堂才能承载文化传播、智慧传承的功能。实际上，这也是核心素养指引下，通过学教结构的转换实现深度学习的一次尝试。相信基于数学史的小学数学学习方式的变革，会让我们的数学课焕发出新的活力！

参考文献：

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（浙江省杭州第十四中学附属学校   310015）