从一道测试题看“正比例图像”的疑点及教学策略

朱学尧

【摘   要】教师在教学“正比例图像”时要注意以下两点：一是研读课标，在尊重教材的基础上，创造性地使用教材，变静态的文本为动态的知识形成过程，树立正确的教材使用观。二是从学生实际出发，学生有画折线统计图数对的经验，教学中立足于知识的发展、延续，提升学生的认知水平。

【关键词】课标;教材;教学策略

在市级教学质量监测阅卷中，阅卷教师对其中一道题的评分标准提出了质疑，试题及评分标准如下。

下面是小明买皮球的情况：

题目：根据表格中的数据，描出各点，再连起来（4分）。

评分要求：连线时必须从（0，0）点开始，所连的直线必须是一条射线，即连到（5，30）这一点时，这条直直的线要伸出去一点，不具备这两点的算全错。

90%的学生没有同时做到这两点，70%的教师认为：不应该从0点开始连接，理由是表格中的第一列是从（1，6）这一点开始的，而不是从（0，0）点开始的，更何况，题目中要求“根据表格中的数据，描出各点，再连起来”。60%的教师认为：这条直直的线，可以是线段，也可以是射线和直线，具体要看表格中最后一列有没有省略号和给出的数据特点，如果有省略号，这条线就应该是一条射线，如果数据有负数，这就是一条直线（初中学习）。对阅卷教师提出的质疑，笔者进行了思考。

一、 研读课标，依据课标指导教学

《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《课程标准》）在“数与代数”的正比例和反比例单元教学目标中说：“会根据给出的有正比例关系的数据在方格纸上画图，并会根据其中一个量的值估计另一个量的值。”并在第89页给出了如下例子：“彩带每米售价3.2元，购买2米，3米……10米彩带分别需要多少元？在方格纸上把与数对（长度，价钱）相对应的点描出，并且回答下列问题。”（略）《课程标准》“希望学生感受成正比例关系的一组数对所对应的点在一条直线上，并且能够借助图形进行数据的估計”，指出“教学中要引导学生在描点之前，先建立下面的表格，有利于直观地理解正比例关系，并为描点作准备”。

第一句话可以看作本节课的一个教学目标，第二句话可以看作例题教学实施的一个建议。在这里，表格第一列给出了0米和0元这一数对的位置，即（0，0），突出了0点价值和意义，学生在连点时，自然就会从0点开始连接了，但如果教师没有研读《课程标准》的这一内容，课堂上教师是否会让学生经历上面列表的过程，学生又是否知道，表格第一列要从0开始以及从0开始描点的好处在哪里？这就要看教师对正比例图像特征的理解层次了，是固守教材，有什么就教什么，还是立足于知识的发展、延续，来适时地提升学生的认知水平？

从《课程标准》给出的课例来看，学生连点描线时，教师需要适时引导学生关注0点的意义和价值，至于要不要将这条线延伸，《课程标准》中没有作出说明。

二、研读教材，理解意图，明确教学路径

《课程标准》是教材编写的依据，教材是对《课程标准》的再创造。基于这样的认识，笔者对不同版本教材关于“正比例图像”的例题素材进行了研读，以指导教师的教和学生的学。

苏教版六年级下册（2013年版）提供的例题情境和要解决的问题是这样的。

苏教版六年级下册（2009年版）中提出的要解决的问题同上，提供的例题情境是这样的（如右图）。

对比苏教版新旧教材所提供的方格图中的信息，笔者得出两点启示：一是新教材把原来已形成的正比例图像（一条直线）隐去了，留下几个点。笔者认为，这旨在让学生经历描点的过程，在描点的过程中体会正比例图像的特征，更利于达成教学目标，若按老教材提供完整的正比例图像来教学，教师就容易略去让学生描点的过程，学生直接通过观察图像来回答问题，不利于达成《课程标准》所提出的教学目标。二是老教材把这条线的一端延伸出去一小段，这样的延伸回应了表格后面的省略号。这一点新教材也有所反映，新教材方格图中最后一个点的位置是（7，560），而表格中最后一组数据是（6，480），暗示了方格图中的这条线可以继续延伸下去。教材的“留白”，给不同的教师带来不同的价值。当然，如何解释从0点开始连接，为什么要把这条线延伸出去一点，教学时教师可以适时提出相关的问题来让学生讨论。

人教版教材六年级下册提供的例题情境如下：

表中的数据还可以用图像（如下图）来表示：

人教版教材给出的图像也是从0点开始的，但呈现的是一条线段，方格图中的直线并没有从最后一组数据（8，28）延伸出去。

北师大版教材六年级下册提供的例题情境如下：

表格中给出的第一组数据是从（0，0）开始的，苏教版和人教版表格中的第一组数据均不是从（0，0）开始，表格最后一列三个版本教材都有省略号。

研读教材带来的思考是教师要吃透课标，认真领会教材中的“留白”，既要尊重教材又要高于教材来进行教学设计。教材是一个静态的文本，这就需要教师有一双“慧眼”，仔细琢磨教材，动态地使用教材，如苏教版新教材练习十第3题给出的完整正比例图像既是从（0，0）点开始连接的，又把这条线进行了延伸。教学中可生成两个层次进行处理，一是先让学生根据表格中的数据来找点和连线，二是适时提出问题来让学生讨论：“这条直线可以从（0，0）点开始连接吗？为什么？”“这条直线可以延伸出一段吗？为什么？”“结合表格中的数据，你觉得哪种连法更好？”这样不局限于教材上呈现什么就教什么的教学，让教师的教走向了深入，学生的学也就深刻了。这样，学生在方格图上找点和连线时，就不会出现阅卷教师争论的问题了，同时也为初中八年级正比例函数图像的学习奠定了基础。

三、研读学生，探寻基于课标、高于教材的教学策略

学生学习的折线统计图，起点既可以从（0，0）开始，也可以不从（0，0）开始，还可以从横轴或纵轴开始。统计表中最后一栏数据如果是“封闭的”，那么，根据表中的数据连成的线也应是封闭的，终点不再延伸。在教学正比例图像时，教师让学生讨论这条直线的起始位置和延伸的意义，学生是具备一定认知经验的。因此，正比例图像教学，可以在尊重学生已有经验的基础上，适时丰富学生对正比例图像的认知，既尊重教材，又不拘于教材。以下是笔者对正比例图像新授环节的思考。

【教学片段】

1.借助直观进行猜想。

出示表格和方格图。

师：这是一张带横轴和纵轴的方格图，横轴表示时间，纵轴表示路程，你能找到汽车1小时行驶80千米对应的点吗？说说你是怎样找的。

教师根据学生的发言，动态显示点A，并出示苏教版六年级下册第58页例2图。

师：你能从图中看出点B表示几小时行多少千米？其他各点呢？

师：想一想，如果用手势来表示这几组数据的变化趋势，会是什么样的呢？

（设计意图：把静止的方格图改为动态的演示过程，意在让学生经历找点的过程。教师让学生用手势表示表格中几组数据的变化趋势，丰富了学生对正比例图像的认识，学生發现直线上的点对应的横轴上的时间、纵轴上的路程变化而比值不变，较好地掌握了概念。）

2.描点连线，验证猜想。

师：请同学们在方格图中描出表格中各组数据对应的点并连线。

师：都连好了吗？小明同学是这样连的（如右图），你也是这样连的吗？

师：连接图中各点，你有什么发现？

小结：同学们一定想到很多。我们来看一看，这是小明同学得到的图像（课件演示连接过程）。这些点都在同一条直线上，这条直线既能反映行车的时间，又能反映行车的路程，更能反映时间和路程这两种关联的量之间的关系。

师：小红同学连出的图像是这样的（如右图），与你们的图像有什么不同？

引导学生辨析后进行如下总结：

这辆汽车1小时之前，就开始行驶了，小红的图像能看出1小时之前汽车行驶的路程;表格中7小时之后打的是省略号，把这条线延伸一点，就与表格中的省略号对应了，这样看来，小红的图像更全面、更合理。

（设计意图：让学生经历描点和连线过程，针对大部分同学会按照表格中给出的数据连成一个“线段”的情况，提出：“小红同学连出的图像是这样的，与你们的图像有什么不同？”意在让学生通过对比和辨析，拓展学生对正比例图像的认知，这是基于从整体结构出发考虑的。）

参考文献：

[1]刘佳.抵达本质意义后的远航：“正比例的图像”教学实践与思考[J].小学数学教师，2020（2）.

（安徽省蚌埠市禹会区教体局教研室    233000）