基于相异概念的小学数学第一学段“形”概念教学探析

苏娜

【摘   要】小学数学第一学段中有关“形”的概念往往只有描述性定义或举例说明，加之很多教师对学生头脑中原有的相异概念关注不够，致使教学效果不尽如人意。教师以《角的初步认识》一课的教学为例，通过调查了解学生在学习角之前关于角的原有的“相异概念”，分析其成因并在此基础上提出相应的转化对策，实现有效教学。

【关键词】相异概念;“形”概念教学;角

一、直面病症：“形”概念教学效果不佳

小学阶段，概念教学贯穿于数学学习始终。但概念学习效果并不理想，尤其是第一学段“形”的概念学习效果更是不尽如人意。如学生在学习《角的初步认识》之后，对角的概念还是不够明晰，尤其对角大小的比较感到困惑，只能硬记“角的大小与张口大小有关，与边的长短无关”。究其原因，教师没有真正读懂学生，对学生原有的相异概念关注不够。

儿童在学习之前建立起来的偏离或背离科学概念的思维结构、观点与看法，被称为“相异概念”。[1]找到并修正学生头脑中的相异概念是教师需要持续关注、探索的问题。本文以《角的初步认识》为例，通过调查，了解学生存在的关于角的原有的相异概念，分析其成因并提出相应的转化解决对策，以达成有效教学。同时也希望能对老师们进行第一学段“形”概念的教学有一些启示。

二、精准把脉：准确诊断相异概念

为了找准学生的相异概念，我们采用问卷调查和访谈等方法，随机抽取两个学校（杭州主城区小学和城郊小学）二年级127名学生作为测试对象，实施“角的初步认识”前测。之后结合调查和访谈结果，对前测结果进行定量分析与定性描述，归纳得出学生有关“角”的相异概念。

（一）角的概念认知模糊

【數据呈现】

【把脉诊断】

如图1，有关“角”的概念，学生主要存在以下三个相异概念。

相异概念1：只要有尖尖的地方的就是角。24.41%的学生对“角”尚未形成数学性的认识，认为牛角、墙角等有尖尖的地方就是角。在对“角”已具备模糊数学概念的75.59%的学生中，8.66%的学生画出了三角形，认为角的样子就是三角形。学生在访谈中表示：“因为三角形有尖尖的地方，所以它是角。”

相异概念2：角指的就是尖尖的部分。54.33%的学生对“角”的认知停留在“角就是尖尖的那个点”上（如作品1和作品2）。这部分学生已经能够感知到角是尖尖的，但由于认知结构的固化，误将尖尖的部分当作角。

相异概念3：有一条边水平放置的才是角。访谈中发现，学生在正式学习角的认识之前，在一些幼儿读物上接触过角，几乎都有一条边水平放置，导致学生形成对角的认知偏差。

（二）角的大小指向不明

【数据呈现】

【把脉诊断】

如表1，有关角的大小比较，学生主要存在以下三个相异概念。

相异概念1：角的边越长，角就越大。70.08%的学生受学过的线段长短比较的负迁移，认为边越长，角肯定越大。

相异概念2：角的两条边可见部分（所绘线段端点）连接的线段越长，角越大。31.5%的学生认为角的大小比较是看连接两条可见边的线段，它越长，角越大。

相异概念3：角的大小比较的是角的“面”。66.93%的学生错误地认为比角就是比角的“面”，把两条可见边连起来变成“三角形”，三角形“面”越大，角就越大。

产生这些相异概念最主要的原因是学生不知道角的大小到底指的是什么。在以往的生活学习中，他们有过不少类似经验：苹果的大小比较、表面的大小比较、线段的长短比较等等。当比较角的大小时，学生顺理成章地调用这些经验，出现以上符合学生认知规律的相异概念。

三、对症下药：探寻相异概念转化策略

（一）追本溯源，明晰数学概念本质

在进行“形”的概念教学之前，教师应追本溯源，准确把握概念内涵，明晰概念本质。第一学段“形”的概念往往只有描述性定义或举例说明，如教学“角的初步认识”时，人教版教材只要求学生能结合生活情境认识角，能从实物中抽象出角，对定义未做要求，只采取举例的方式。苏教版和北师大版教材也是如此。这固然与学生没有学过射线等相关概念的知识基础有关，但教师在教学角的初步认识时，要有清晰的角概念的科学定义和上位知识，否则在教学时不但不能破除学生原有的相异概念，还有可能因此让学生形成新的相异概念。

1.追本，厘清概念内涵

什么是角？通过查阅文献及相关教科书，发现角主要有以下定义：（1）有公共端点的两条射线组成的图形叫角，这个共同端点叫作角的顶点，这两条射线叫作角的边。[2]（2）由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，叫作角。[3]（3）“平面角是在一平面内但不在一条直线上两条相交线相互的倾斜度（the plane angle is the angle that two intersecting lines in the same plane result in）。[4]

2.溯源，找到概念源头

数学为什么要定义角？有研究者认为：数学定义角是出于定量研究某图形（角）中两边张开度大小的需要，角的数学定义产生的实际过程很可能是先有比较张开度的大小的问题，再有角的定义，角应是一个刻画张开度的问题。[5]

当教师对角的定义有了明晰的科学认识，在教学时就不会发生偏差。如在新课引入时教师可以从刻画张开度引入。

【教学片段1】

师：小朋友，见过大嘴鸟吗？它们俩谁的嘴巴张得大些？

生：第一只。

师：你能比画这两只鸟嘴巴的张开度吗？谁愿意上来比画一下？

师：我们可以把刚才的手势转化为图形来表示。

（师边说边画角的一个顶点、两条边。用短弧标注张开的程度）

师：这就是我们今天要认识的数学中的角。

这样从一开始学生就建立了角是刻画张开度的认知，为后面进行角的大小比较时破除相关相异概念奠定了基础。

（二）引发冲突，重构准确数学概念

学习是学生主动建构的过程，是需要学生主动放弃原有相异概念并建立新的准确概念的过程。学生在什么情况下才会主动放弃原有相异概念呢？在课堂教学中，适时地制造冲突，激化矛盾，可以动摇学生头脑中顽固的错误观念。当他们发现原有概念无法解决冲突时，就会心甘情愿地放弃旧有观念。

1.巧问引发内涵冲突，动摇相异概念

【教学片段2】

师：刚才大家说第一只鸟的嘴巴张得大，但老师怎么觉得是第二只鸟的嘴巴张得大，看起来第二只鸟的嘴巴长多了，这是为什么呢？

生：这是比谁的嘴巴张得大些，不是比谁的嘴巴长，和嘴巴的长短没有关系。

师：谁能用上角的知识来说说这位小朋友的意思？

生：第一只鸟嘴巴形成的角比第二只鸟嘴巴形成的角大。

师：“角大”是什么意思？

生：两边张得开些。

小结：角的大小是指什么？（角两边的张开程度）

片段2中，教师在学生认知的生长点进行反问，引发学生对角的大小概念内涵的认知冲突。学生通过思辨，破除角的大小与边相关等相异概念，重建角的大小的“正确概念”——两边张开度的大小。教师还可以在学生认知的模糊处进行适当追问。如指角环节：指一指三角板的角在哪里。当学生只指向尖尖的点时，教师可以在黑板上畫下一个点，追问：“你的意思是这个点是‘角吗？”引发矛盾冲突，使学生原有的观念开始动摇，进而破除原有的相异概念，重建角的概念的正确内涵。

2.变式引发外延冲突，促进概念辨析

第一学段“形”概念一般仅仅只用描述性定义或举例说明，在教学时教师需要避免局部范例给学生带来的相异概念。如部分学生存在“有一条边水平放置的才是角”的相异概念。教师可以设置变化角的位置、角的边的长短等变式练习进行辨析，引发学生对角概念外延的冲突，打破学生原有的相异概念，重构概念的外延。

（三）多元操作，巩固数学概念图式

第一学段学生的思维还处在具体形象水平，而数学概念又相对抽象。所以在学习“形”概念时，学生需要足够的时间和空间来进行动手操作，累积感性经验。教学《角的初步认识》时，教师可让学生通过“指角”“折角”“画角”“做角”“还角”等多元化的操作活动巩固角的概念图式。

1.借助画角，丰富角静态概念表象

画角，实质上是学生对概念进行再现的过程。通过自主画角，学生可以明晰尖尖的点无法构成角。此外，教师通过电子媒介呈现不同类型的学生作品，展开对比，以丰富角的概念表象，归纳梳理角的特点，帮助学生巩固对“角”的静态概念的理解。

2.借助做角，渗透角动态概念图式

用铅笔做角，也是学生对概念进行再现的过程。学生在思考两支铅笔凑在一起是否形成一个顶点的过程中关注到概念本质。同时教师指导学生通过固定一支铅笔，转动另一支铅笔让角变大变小来感受角的大小变化，破除学生原有的角大小比较的相关相异概念，渗透角的动态概念的图式，也为其后续学习直角、锐角、钝角做好铺垫。

（四）沟通统整，形成数学概念体系

数学知识是一个大网络，在概念教学时教师要把握知识的内在联系性、连续性和统整性，形成数学概念体系，使学生更好地理解、掌握和应用数学概念，避免相异概念反复出现。

1.注重前延后连，串联成线

教学《角的初步认识》时，教师可以设计找角、还角的环节：在信封里装三个角（锐角、钝角、直角），要求学生从中找到从长方形纸上剪下来的角，还给长方形。学生会在头脑中比对哪个角比较合适。这不仅沟通了角和已学平面图形的关系，且在无形中又一次渗透了角的大小比较。教师进而引导学生思考：虽然直角都能和长方形重叠起来，但是边有长短，这是为什么？学生再一次明确角的大小与边长无关。这样能够很好地沟通概念的前延后连，将零散的知识点串联成线，帮助学生深刻准确地理解概念本质，消除相异概念。

2.绘制思维导图，联结成网

思维导图是一种梳理概念之间联系、呈现思维过程的结构图。学生在绘制时不仅需要将头脑中所学的单元内容进行收集、整理，还需要多方位分析这些概念的内在联系，理清概念脉络，构建出所学概念的全景图。在这个过程中，学生能感知到自己对这部分概念的掌握程度，进一步破除相异概念，内化概念本质，有效加深对所学概念的全面理解。

参考文献：

[1]丁杭缨，张园.小学数学相异概念的诊断与教学研究[M].上海：上海教育出版社，2017.

[2]《概念公式定理解读手册》编写组.数学概念公式定理解读手册·初中分册[M].北京：北京师范大学出版社，2007.

[3]《概念公式定理解读手册》编写组.数学概念公式定理解读手册·高中分册[M].北京：北京师范大学出版社.2007.

[4]欧几里得.几何原本[M].燕晓东，译.南京：江苏人民出版社，2011.

[5]任敏龙. 数学原型的选择与加工[J].小学教学设计，2008（6）.

（浙江省杭州市余杭蔚澜学校   311100）