厘清认知偏差 立足根本施策

唐金平

【摘   要】分数乘除法问题解决是小学数学学习的重、难点。学生在解题方面常存在意义不清、量率不分、差倍不辨、对应不明等错误。教学中正确归因，从概念着手，分清“量与率”，找准分率（分数倍）与倍数的意义之间的勾连，从意义的最根本处激活学生的相关经验，能有效提高学生解决相关问题的能力。

【关键词】分数;乘除法;归因;策略

分数乘除法问题解决是小学数学学习的重点，也是难点。学生在解题方面存在很多问题。如果教师能正确归因，有的放矢地采取相应的措施，制定适宜策略，就能让学生的相关学习更好、更顺利地进行。

一、原因分析

分数乘除法问题解决过程中，有以下几种常见错误。

（一）意义不清

分数的产生一方面是缘于计数的需要：度量某一个物体不能用整数表示时产生分数。如一个物体的实际长度是80厘米，用单位长度“米”去度量时，发现不能用整数表示，这时把这“1米”平均分成100份，用其中的1份，也就是[1100]米作为新的度量单位去度量，度量出来的结果是80个[1100]米，即[80100]米。另一方面是缘于计算的需要：当两数相除结果不能用整数表示时，扩充到用分数来表示。如求男生人数是女生的几倍。当男生人数不是女生人数的整数倍时，用分数表示。

受教师“分数意义”教学时强调“平均分”的影响，学生往往只记住“平均分”。这种认识上的偏颇，导致后续的一些解题失误。

（二）量率不分

分数既可表示“量”，又可表示“率”。当表示一个具体的数量，如上文中提到的[80100]米，就是“量”，这是个绝对意义的数;当表示倍数关系时，就是“率”，如截去一根绳子长度的[45]。它表示的是截去长度与总长度这两个数的比值，也就是我们常说的“分率”，“分率”是表示相对意义的数。在解决涉及分数不同意义的相关问题时，采用的方法不同。如一根绳子，用去[45]米或者用去[45]，这两个[45]的意义不同，前者的长度已经确定，后者是相对全长的[45]，需要用“全长×[45]”求出。分数乘除法主要是解决“率”方面的问题，但学生量率不分，错误不断。

（三）差倍不辨

两数比较时，会出现两种情况。一种是相差关系，求一个数比另一个数多多少或少多少;另一种是倍数关系，求一个数是另一个数的几倍（或几分之几）。

在相差关系中，相差量是一样的。如今年产量比去年产量多200吨，也就是去年产量比今年产量少200吨。

在倍数关系中，如果标准量发生改变，其所表示的数也跟着发生变化。如“今年产量比去年产量多[23]”这句话中，去年产量是标准量，今年产量是比较量。这个[23]表示的是今年比去年多的产量相当于去年产量的[23]。今年产量相当于去年产量的（1+[23]）。

但學生不辨“差”“倍”。以为今年产量比去年产量多[23]，就是去年产量比今年产量少[23]。事实上是去年产量应比今年产量少[25]。如图：

（四）对应不明

“对应”是一种重要的数学思想方法，是指集合中的元素具有一个对一个的相呼应的形态。分数乘除法问题解决中的对应主要指具体数量和分率间的对应关系。如有这样一题：书店运来一批文艺书，已售出全部的[58]，还剩下1260本，求这批图书有多少本？售出的部分图书对应的分率是[58]，剩下的1260本对应的是剩下图书占全部图书的几分之几。学生却错误列式：1260÷[58]。

二、解决策略

学生的认知偏差缘于对概念的错误理解以及方法的缺失。关注学生已有的知识和方法，紧扣知识本质，能有效地解决以上问题。

（一）厘清概念，全面理解意义

分数该怎样定义？张奠宙教授提出：基于人们认识发展的顺序，分数定义一般有以下四种。

定义1（份数定义）：分数是把1个单位平均分成若干份之后其中的1份或几份。

定义2（商定义）：分数是两个整数相除（除数不为0）的商。

定义3（比定义）：分数是整数q与整数p（p≠0）之比。

定义4（公理化定义）：有序的整数对（p，q），其中（p≠0）。

小学数学教材中所给出的定义是份数定义。但在具体情境中，商的定义和比的定义都在教材中先后出现。

特级教师俞正强提出一些数学课需要“莳也若子”，像种子一样，为今后的学习提供养分。在有关分数知识教学中，“分数的初步认识”就是种子，为今后分数意义的全面理解播下希望。

以北师大版三年级下册“认识分数”为例。作为起始课，本课首先渗透了分数与除法的关系。2个苹果平均分成2份，每份是1个;当1个苹果平均分成2份，求每份是多少时，学生体会到除法结果不能用整数来表示，引发产生分数的需要;这个结果同时渗透了分数的另外两种含义：半个苹果用[12]个表示，这里表示的是数量;半个是整个的[12]，是部分与整体的关系。在教学中教师往往会重视“[12]”的关系含义，而忽视了数量含义。

因此在教学中教师要让学生从整体上体会到分数意义的丰富性。五年级上册“分数的意义”这一单元突出了对单位“1”的理解，将分数的份数定义与商定义进行了有效链接。

如在右图中不仅看到涂色部分是整体的[49]，空白部分是整体的[59]，而且看到涂色部分是空白部分的[45]。

要实现对分数意义的全面理解，需要学生厘清概念，明白“量”“率”的区别。

（二）整体布局，有效区分“量”“率”

“量”“率”的区别不仅在当下，还要追溯到从前。教师要树立整体教学的意识，引导学生理解相关知识的内在联系，从寻找知识间的差异到沟通知识间的联系，使学生形成综合学习的能力。

分数乘法可分为分数与整数相乘、分数与分数相乘两种情况。分数与整数相乘，可以看作求几个相同加数和的简便运算，或者采用“倍数”的概念加深理解;分数与分数相乘，可以将分数乘法理解为部分的部分。这些内容事实上都可以统一为“倍数”的概念——求1个数的几倍（分数倍）是多少。从这个意义来说，分数乘除法在知识体系上与整数中倍数的相关知识是一脉相承的。

相差关系是小学数学数量关系学习的重要知识支柱。其核心“多与少”是小学生学习数量关系的第一步。随着“数”的扩充，从整数到小数再到分数，这种两个数量“多”“少”“相差”的比较关系也是不变的。明白这点，对理解“量”与“率”“差”与“倍”的区别有很大的帮助。

（三）数形结合，精准分析关系

明白了概念的内涵与外延，分清了“量”“率”后，可进一步分析其中的数量关系。

首先找准单位“1”。传统教学中教师会用一句口诀道尽“精髓”：“题中若有‘是‘占‘比，那么后面那个是整体。”这种找法有一定道理，但学生明白“是”“占”“比”后的那个量为什么是单位“1”吗？

教学经验告诉我们，对于部分与整体关系的分率，学生比较容易理解。如读了一本书的[23]，修了一条路的[45]，学生能明白一本书的总页数，一条路的总长度是单位“1”。但对于诸如实际产量比计划产量多[14]，降价[18]，一件商品出售后赚了[14]，冰化成水，体积减少[110]这样的语句，因为两个量之间的关系没有部分与整体的关系那么直观，学生分析起来就会感到困难。而类似降价、赚与亏、冰化成水体积减少这类用语更加简略，学生找单位“1”就更困难了。

列出数量关系式，借助数形结合的方式可以把复杂的数学关系变得简明，形象。如用线段图表示关系（如下图），由此很容易看出今年产量是去年产量的（1+[23]），列出数量关系：去年产量×（1+[23]）=今年产量。

进而根据已知条件与问题，列式计算。在上面数量关系中，如果已知去年产量120吨，求今年产量，就直接列式120×（1+[23]）=200（吨）;如果已知今年产量200吨，求去年产量，那就根据关系式列方程，然后求解该方程。设去年产量为X吨，列方程为： X×（1+[23]）=200，解得X=120。

所以不管在什么类型的应用题教学中，分析数量关系应该都是教学的重中之重。教师应该教给学生一些方法，提高学生分析问题和解决问题的能力。

（四）巧用变式，辨析对比提高

对应不明的问题可通过变式教学来培养解决问题的能力，在变式中培养学生的数学素养，训练数学思维，在对比中加深对概念的理解。

变式练习可以分为内容变式和形式变式。内容变式是将相关知识点通过对比，深化对知识的理解。如量率的对比练习：一根繩子3米，用去[45]米后是（    ）米;一根绳子3米，用去[45]后是（    ）米。

如“求一个数的几分之几是多少”与“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”的对比练习：1200米的[23]是（     ）米;（     ）米的[23]是1200米。

形式变式指的是设计灵活多变的练习形式，来吸引学生的注意，提高学生的学习兴趣。如填空形式：修一条长1200米的路，第一天修了全长的[13]，第二天修了全长的[14]，余下的第三天修完。

①问题：两天一共修了多少米？算式：            。

②问题： 求                  ？算式：1200×（[13]-[14]）。

③问题：第三天修多少米？算式：                 。

如连线形式：工厂八月份用水量180吨，                      ，八月份用水量是多少吨？

①九月份用水量是八月份的[59]     180÷[59]

②八月份用水量是九月份的[59]     180×[59]

③九月份用水量比八月份多[19]      180÷（1-[19]）

④九月份用水量比八月份少[19]     180÷（1+[19]）

⑤八月份用水量比九月份多[19]      180×（1-[19]）

⑥八月份用水量比九月份少[19]      180×（1+[19]）

综上所述，对于分数乘除法问题解决中的错误，教师可从概念着手，帮助学生分清“量与率”，找准分率（分数倍）与倍数的意义之间的勾连，从意义的最根本处激活学生的相关经验，以有效提高学生解决问题的能力。当然，以上策略并不是孤立的，而是互相联系的。

参考文献：

[1] 张奠宙，唐彩斌.关于小学“数学本质”的对话[J].人民教育，2009（2）.

（浙江省常山县天马第二中心小学   324299）