借助数形结合 促进深度学习

马徐仪

【摘   要】随着深度学习理念的施行，越来越多的教师意识到将学生引向数学本质学习的重要性。教师在教学“2、5的倍数的特征”一课时，不应只简单地推理尾数特征，更要引导学生探索其背后的本质原因。借助数形结合，让学生充分经历分类中追溯源头、变化中寻求不变、迁移中促进内化、比较中升华本质的过程，帮助学生在研究变与不变中，理解其本质，推理其特征，进入深度学习状态。

【关键词】数形结合;特征本质;深度学习

查阅近几年“2、5的倍数的特征”一课的研究成果，可以发现越来越多的教師努力把这节看似简单的课上得不那么简单，不再只简单地推理尾数特征，而是引导学生去探索其背后的本质原因。

本课教学一般从探究2或5的倍数特征开始，学生需经历列举、猜想、验证、结论、说理的过程。但在聚焦“为什么只看个位”这一问题时，教师常常会抓住某个学优生的回答，结合小棒或小方块去解释特征本质，其他学生则顺着学优生、教师的PPT演示努力理解尾数特征。这样，对特征本质的理解或者被教师的告知所代替，或者被学优生的思考所代替。要处理好这个问题，教师可以充分利用数形结合，在研究倍数的过程中，提炼本质，自然推导特征，促进深度学习。

【教学过程】

（一）分类中追溯源头

1.数形结合，建立关联

用除法算式表示方格图的意义，学生的反馈情况如图1。

（解析：从横纵两个角度分别观察，①②③④横行、竖列都可以看成每份数，都可以列出2个除法算式，而⑤⑥只能将竖列看成每份数，列出1个除法算式。学生在看方格图列除法算式的过程中，将“数”和“形”建立关联。）

2.分类整理，追溯源头

师：请把它们分分类。

生：拼成长方形的一类（①②），不能拼成长方形的一类（③④⑤⑥）。

生：有余数的一类（③④⑤⑥），另一类没有余数（①②）。

生：把可以列出2种算式的归为一类（①②③④），只能列出1种算式的归为一类（⑤⑥）。

生：把每列数规定为除数，除数是2的一类（①③④），除数是5的一类（②⑤⑥）。

师：我们可以分别以能否拼成长方形、是否有余数、列出算式的个数、除数是否相同作为标准进行分类。

师：6÷2=3，我们就说6是2的——倍数。

师：要使得一个数是另一个数的倍数，需要满足什么条件？

生：把一个数平均分，没有余数。

师：6是怎么分的？

生：把方格2个2个平均分，有这样的3列，或者把方格平均分成2行，每行有3个。

师：用除法表示平均分方格的过程，没有余数时，我们就说被除数是除数的倍数。

（解析：研究一个数倍数的特征本质，教师通常会采用教材提供的百数表，让学生去圈一圈，进而观察、猜想、验证2的倍数的特征，再研究特征本质。笔者没有采用这一做法，而是通过以数解形——用除法算式表示方格图，在分类比较中沟通图、式、倍数之间的关系，追溯倍数源头——平均分。借助方格图，学生回顾除法蕴含的平均分意义;借助除法算式，学生复习倍数概念。除法将倍数与承载平均分意义的方格图联系在了一起。研究一个数的倍数，利用方格图，采用数形结合的方法进行研究能够直指知识本源。）

（二）变化中寻求不变

1.以形助数，积累经验

师：结合图说一说，为什么10是2、5的倍数？7为什么不是2的倍数？

生：图②中，10能2个2个分，分成5行;5个5个分，分成2列。图③中，2个方格为1列，分了3列后还剩下1个。

师：从图上看，满足什么条件就能找到一个数的倍数？

生：只要能拼成长方形就可以。因为只要能拼成长方形，总数就是每份数或份数的倍数。

（解析：以形助数，让学生结合方格图解释一个数什么时候是另一个数的倍数，什么时候不是另一个数的倍数，再一次加深了学生对成倍数关系所拼成的图形是长方形的印象。这一结论为后续探索倍数特征的本质积累了活动经验。）

2.累加变化，寻求不变

师：图④中的17，是不是2的倍数？

生：2个1列，分成8列，还剩1个，不是2的倍数。

师：有没有更快的想法？

生：7到17增加了10，10个方格2个2个分没有剩余，所以我们根据前面“7不是2的倍数”的结论，可以推测17也不是2的倍数，余数仍然是1。

师：改成27，会怎么样？

生：也不是2的倍数。因为27和17相比，又多了10，我们知道增加一个10不会产生新的余数。

师：余数还是？

生（全体）：1。

师：如果接着增加下去，变成37、47、57、67……你觉得变到什么时候，它就是2的倍数？

（学生思考中，没有人举手）

师（追问）：变成107总行了吧？

生：从27变到107，增加了8个10，不管有多少个10，都能2个2个平均分，余数不变。

师：同学们一起来看一看，是不是这样的？（PPT演示，如图2）

师：你有什么发现？

生：十位、百位数位上的数字不管怎么变，除以2的余数不变。

（解析：“2的倍数的特征只要看个位”的结论，教学中一般是从学优生口中得到的，教师再以某个数为例，运用数形结合的方式进行再次解释。本环节以形助数，学生2个2个平均分方格，在10个10个累加变化中自然感受、理解十位、百位，甚至想象千位上的数字变化，但余数没有发生变化的原理。）

3.发现特征，解释本质

师：要使得这些数都变成2的倍数，你们打算怎么做？