二元一次方程组的九种特殊解法

于志洪

一、整体求值法

例1 解方程组[3x+5（x+y）=36，①3y+4（x+y）=36. ②]

解析：方程①表示[x]与[x+y]的关系，方程②表示[y]與[x+y]的关系，且两个方程中[x]和[y]的系数相等.

由[①+②]，得[3（x+y）+9（x+y）=72]，则[x+y=6.③]

把③代入①，得[3x+30=36]，解得[x=2]. 把③代入②，得[3y+24=36]，解得[y=4].

所以原方程组的解为[x=2，y=4.]

二、消常数项法

例2 解方程组[5x-y=110，①9y-x=110. ②]

解析：[①-②]，得[6x-10y=0]，则[x=53y]. 将其代入①，得[y=15].

将[y=15]代入[x=53y]中，得[x=25].

所以原方程组的解是[x=25，y=15.]

三、设参数代入法

例3 解方程组[2x+3y=7，3x+2y=8.]

解析：设[x=ky]，则[（2k+3）y=7，（3k+2）y=8，]两式相除得[2k+33k+2=78]，解得[k=2].

所以原方程组的解是[x=2，y=1.]

四、比值法

例4 解方程组[x+1=5（y+2） ，                ①3（2x-5）-4（3y+4）=5.②]

解析：由①可设[x+15=y+21=k]，则[x=5k-1，y=k-2]. 将两式代入②，可得[k=1].

所以原方程组的解是[x=4，y=-1.]

五、拆数法

例5 解方程组[361x+463y=-102，463x+361y=102.]

解析：方程组可化为[361x+463y=361×1+463×（-1） ，463x+361y=463×1+361×（-1） ，解得x=1，y=-1.]

所以原方程组的解是[x=1，y=-1.]

六、等元代入法

例6 解方程组[x+3y-4=0，①y+3x-4=0. ②]

解析：此类方程组的特点是将其中一个方程中的[x]与[y]互换就得到另一个方程.

将[x=y]代入①，得[y+3y-4=0]，解得[y=1]，则[x=1].

所以原方程组的解为[x=1，y=1.]

七、和差换元法

例7 解方程组[3（x+y）+2（x-y）=67，4（x+y）-5（x-y）=97.]

解析：设[x+y=a，x-y=b]，方程组变形为[3a+2b=67，4a-5b=97，∴a=23，b=-1，]

即[x+y=23，x-y=-1，解得x=11，y=12.] 所以原方程组的解为[x=11，y=12.]

八、整体相除法（分母不为0）

例8 解方程组[23x+7y=16，  ①38x-13y=51.②]

解析：[①÷②]，得[23x+7y38x-13y=1651]，整理得[x=- y].

把[x=-y]代入①，得[y=-1].

把[y=-1]代入[x=-y]，得[x=1].

所以原方程组的解是[x=1，y=-1.]

九、辅助参数法

例9 解方程组[5x-2y=0，  ①9x+7y=53.②]

解析：方程组中有一个方程的常数项为0，易选用辅助参数法求解.

由①，得x∶y = 2∶5，设[x=2t，y=5t]，代入②中，得[9×2t+7×5t=53]，解得[t=1]，

则[x=2，y=5.]所以原方程组的解为[x=2，y=5.]