二元一次方程组新颖应用题赏析

张代清

近年来，中考试卷中出现了一些形式新颖的二元一次方程组应用题，如图表方案题、实物信息题、答案开放题等，有效考查了考生必须掌握的知识点、数学思想方法，以及迅速获取图文信息的能力.

一、图表方案题

例1（2021·浙江·宁波）某通讯公司就手机流量套餐推出三种方案，如下表：

[ A方案 B方案 C方案 每月基本费用/元 20 56 266 每月免费使用流量/兆 1024 m 无限 超出后每兆收费/元 n n ]

A方案、B方案、C方案每月所需费用y（元）与每月使用的流量x（兆）之间的函数关系如图1所示.

（1）请直接写出m，n的值.

（2）在A方案中，当每月使用的流量不少于1024兆时，求每月所需费用y（元）与每月使用流量x（兆）之间的函数关系式.

（3）在这三种方案中，当每月使用的流量超过多少兆时，选择C方案最合算？

分析：（1）结合表格和函数图象给出的数据，可以得出A，B两种方案超出每月使用流量后每兆收费相同都是n元. n = （56 - 20） ÷ （1144 - 1024） = 0.3. B方案使用流量不超过3072兆时，费用都是56元，所以m = 3072.（2）观察函数图象得出两点（1024，20），（1144，56）在所求射线上，用待定系数法可求出函数关系式. （3）当每月使用流量超过B方案和C方案交点横坐标时，选择C方案最合算. 这个交点横坐标为：（266 - 56） ÷ 0.3 = 700，则3072 + 700 = 3772（兆）.

解：（1）m = 3072，n = 0.3.

（2）设函数表达式为y = kx + b（k ≠ 0），

把（1024，20），（1144，56）代入y = kx + b，得[20=1024k+b，56=1144k+b，] 解得[k=0.3，b=-287.2.]

所以y关于x的表达式为y = 0.3x - 287.2（x ≥ 1024）.

（3）3072 + （266 - 56） ÷ 0.3 = 3772（兆），

由圖象可知，每月使用的流量超过3772兆时，选择C方案最合算.

二、实物信息题

例2 请根据图2中提供的信息，回答下列问题：

（1）一个暖瓶与一个水杯分别是多少元？

（2）甲、乙两家商场同时出售同样的暖瓶和水杯，为了迎接新年，两家商场都在搞促销活动，甲商场规定：这两种商品都打9折;乙商场规定：买一个暖瓶赠送一个水杯. 若某单位想要买4个暖瓶和15个水杯，请问选择哪家商场购买更合算，请说明理由.

分析：观察图2发现两个等量关系：①1个暖瓶加1个水杯价格是38元;②2个暖瓶和3个水杯价格是84元.据此列二元一次方程组求解.

解：（1）设一个暖瓶为x元，一个水杯为y元，

根据题意得[x+y=38，2x+3y=84，]解得[x=30，y=8.]

答：一个暖瓶是30元，一个水杯是8元.

（2）若到甲商场购买，则所需的钱数为（4 × 30+15 × 8） × 90% = 216（元）.

若到乙商场购买，则所需的钱数为4 × 30+（15 - 4） × 8 = 208（元）.

因为208 < 216，所以到乙商场购买更合算.

三、答案开放题

例3 （1）将一批重490吨的货物分配给甲、乙两船运输. 现甲、乙两船已分别运走其任务数的[57]，[37]，在已运走的货物中，甲船比乙船多运30吨. 求分配给甲、乙两船的任务数各是多少吨. （2）自编一道应用题，要求如下：①是路程应用题，三个数据100，[25]，[15]必须全部用到，不添加其他数据;②只要编题，不必解答.

分析：本题有两个等量关系：①甲船运货量-乙船运货量=30吨;②甲船运货量 + 乙船运货量=490吨. 分别设出两船的运货量，列二元一次方程组求解即可.

解：（1）设分配给甲、乙两船的任务数分别是x吨、y吨，

根据题意，得 [57x-37y=30，x+y=490，] 解得[x=210，y=280.]

答：分配给甲、乙两船的任务数分别是210吨、280吨.

（2）给出两种参考答案如下：

①可设计为行程中的相遇问题. 甲、乙两人从M，N两地相向而行，现甲、乙两人已分别走完全程的[25]，[15]，此时两人相距100千米. 求全程是多少千米.

②可设计为行程中的追及问题. 甲、乙两人相距100米，乙在前，甲在后，他们同时出发同向而行. 甲每秒走[25]米，乙每秒走[15]米，多长时间甲能追上乙？

注：解答此题，应遵循从简原则，相遇和追及问题就较适合编题，不要人为编制较难的问题，比如行程中的环形跑问题等. 编题后虽不用解答，但应能求解，且合情合理、符合实际.

（作者单位：辽宁省沈阳市第一四五中学）