用方程思想求一次函数解析式

王新华

利用待定系数法求一次函数解析式，离不开方程思想的构建.

例1 已知y + m与x - n成正比例（其中m，n为常数）.当x = 1时，y = 3;当x = 2时，y = 5，试确定y与x之间的函数解析式，并判断此函数是否是一次函数.

解析：根据题意设函数解析式为y + m = k（x - n），可知y是x的一次函数.

设y = kx + b，把x = 1，y = 3和x = 2，y = 5代入y = kx + b，构建方程组[k+b=3，2k+b=5，]解得[k=2，b=1.]

则y与x之间的函数解析式为y = 2x + 1.

例2 如图1，在平面直角坐标系中，直线y =  - x + 3过点A（5，m），且与y轴交于点B，把点A向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到点C，过点C且与y = 2x平行的直线交y轴于点D. 求直线CD的解析式.

解析：先把A（5，m）代入y =  - x + 3，得点A（5， - 2），

利用“上加下减，左减右加”的平移规律得到点C（3，2），

根据两直线平行时k值相等，设直线CD的解析式为y = 2x + b，

因为点C（3，2）在直线CD上，所以2 = 6 + b，解得b =  - 4，

则直线CD的解析式为y = 2x  -  4.

例3 如图2，在平面直角坐标系中，点A（0，4），B（3，0），连接AB，将△AOB沿过点B的直线折叠，使点A落在x轴上的点A′处，折痕所在的直线交y轴正半轴于点C，求直线BC的解析式.

解析：在Rt△OAB中，OA = 4，OB = 3，由勾股定理得AB = 5.

由折叠可知BA′ = BA = 5，CA′ = CA，则OA′ = BA′ - OB = 2，

设OC = t，则CA = CA′ = 4 - t，

在Rt△OA′C中，由勾股定理得t2 + 22 = （4 - t）2，解得t = [32]，

则点C的坐标为[0，32]，设直线BC的解析式为y = kx + b，

用待定系数法列方程组[3k+b=0，b=32，]解得[k=-12 ，b=32 ，] 则直线BC的解析式为y = - [12]x + [32].

例4 已知一次函数y = kx + b，当1 ≤ x ≤ 4时，3 ≤ y ≤ 6，求该一次函数的解析式.

解析：根据一次函数的增减性考虑两种情况：

当k>0时，直线经过两点（1，3），（4，6），列方程组为[k+b=3，4k+b=6，]解得[k=1，b=2.]

当k<0时，直线经过（1，6），（4，3），列方程组为[k+b=6，4k+b=3，]解得[k=-1，b=7，]

则该一次函数的解析式为y = x + 2或 y = -x + 7.

例5 如图3，一次函数y = k1x + b的图象与y轴交于点A（0，10），与正比例函数y = k2x的图象交于第二象限内的点B，且△AOB的面积为15，AB = BO，求正比例函数与一次函数的解析式.

解析：作BC⊥OA于点C，

由AB = BO，得OC = AC = [12]OA = 5，则C（0，5），

由S△AOB = [12] × 10·BC = 15，得BC = 3，所以B（-3，5），

利用待定系数法，可得方程[-3k2=5]与方程组[-3k1+b=5，b=10，]

解得k2 = -[ 53]，[k1=53，b=10.] 则直线OB的解析式与直线AB的解析式分别为y = - [53]x，y = [53]x + 10.

例6 如图4，一次函数y = （m + 1）x + 4的图象与x轴的负半轴相交于点A，与y轴相交于点B，且△OAB的面积为4.（1）过点B作直线BP与x轴的正半轴相交于点P，且OP = 4OA，求直线BP的解析式;（2）将一次函数y = （m + 1）x + 4的圖象绕点B顺时针旋转45°，求旋转后对应的函数解析式.

解析：（1）求出点B的坐标为（0，4），则OB = 4，

由S△OAB = [12] × OA·OB = 4，求得OA = 2，得到点A（-2，0），

将（-2，0）代入一次函数解析式，得-2（m + 1） + 4 = 0，解得m = 1.

利用OP = 4OA，可得点P（8，0），

利用待定系数法列方程组[8k+b=0，b=4，]解得[k=-12，b=4.]

则直线BP的解析式为y = -[ 12]x + 4.

（2）设直线AB绕点B顺时针旋转 45°得到直线BE，

如图5，过点A作AF⊥AB，交BE 于点F，作FH⊥x轴于点H.

根据全等三角形的判定推出△AOB ≌ △FHA ，

得FH = AO = 2，AH = BO = 4，则F（-6，2），

利用待定系数法列方程组[b=4，-6k+b=2，]解得[k=13，b=4，] 则旋转后对应的函数解析式为y = [13]x + 4.

（作者单位：辽宁省大连市第三十七中学）