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因式分解的11种变换策略

时间:2024-05-07

于喆 王峰

一、符號变换

例1 分解因式:z2(x - y) - 4(x - y) - 3z(y - x).

解析:以(x - y)为标准,将(y - x)变换为 - (x - y).

原式 =  z2(x - y) - 4(x - y) + 3z(x - y) = (x - y)(z2 + 3z - 4)

= (x - y)(z - 1)(z + 4).

二、指数变换

例2 分解因式:2xn + 2 + 4xn - 6xn - 2.

解析:以指数低的xn - 2为标准,将xn变换为xn - 2·x2,xn + 2变换为xn - 2·x4.

原式 =  2xn - 2(x4 + 2x2 - 3)= 2xn - 2(x2 - 1)(x2 + 3)= 2xn - 2(x + 1)(x - 1)(x2 + 3).

三、组合变换

例3 分解因式:a2 - 2ab + b2 - 6a + 6b + 5.

解析:将第一、二、三项合并为一组,第四、五项合并为一组.

原式 = (a2 - 2ab + b2) - (6a - 6b) + 5 = (a - b)2 - 6(a - b)+ 5

= (a - b - 1)(a - b - 5).

四、展合变换

例4 分解因式:(a + b)(a - b)+ c(2b - c).

解析:将多个括号展开后重新组合.

原式 = a2 - b2 + 2bc - c2 = a2 - (b2 - 2bc + c2)= a2 - (b - c)2 = (a + b - c)(a - b + c).

五、公式变换

例5 分解因式:(x + 1)4 - 2(x2 - 1)2 +(x - 1)4 - (x2 + 3)2.

解析:将前三项变换成完全平方公式,再用公式法分解因式.

原式 = [(x + 1)2]2 - 2[(x + 1)2(x - 1)2] + [(x - 1)2]2 - (x2 + 3)2

= [(x + 1)2 - (x - 1)2]2 - (x2 + 3)2 = (4x)2 - (x2 + 3)2

= - (x2 + 4x + 3)(x2 - 4x + 3) = - (x + 1)(x + 3)(x - 1)(x - 3).

六、拆项变换

例6 分解因式:(1 - a2)(1 - b2) - 4ab.

解析:将 - 4ab拆成 - 2ab - 2ab,再用公式法分解因式.

原式 = 1 - a2 - b2 + a2b2 - 4ab = (1 - 2ab + a2b2) - (a2 + 2ab + b2)

= (1 - ab)2 - (a + b)2 = (1 - ab + a + b)(1 - ab - a - b).

七、添项变换

例7 分解因式:a5 + a + 1.

解析:添加a2 - a2,再分组分解.

原式 = a5 - a2 + a2 + a + 1 = a2(a3 - 1) + (a2 + a + 1)

= a2(a - 1)(a2 + a + 1) + (a2 + a + 1) = (a2 + a + 1)(a3 - a2 + 1).

八、对称变换

例8 分解因式:(a + b - 2ab)(a + b - 2) + (1 - ab)2.

解析:设a + b = x,ab = y,

原式 = (x - 2y)(x - 2) + (1 - y)2 = x2 - 2x - 2xy + 4y + 1 - 2y + y2

= (x2 - 2xy + y2) - 2(x - y) + 1 = (x - y)2 - 2(x - y) + 1 = (x - y - 1)2

= (a + b - ab - 1)2 = (a - 1)2(b - 1)2.

九、平均值变换

例9 分解因式:(x2 + 5x + 9)(x2 - 3x + 7) - 3(4x + 1)2.

解析:设[y=12][([x2+5x+9])+([x2-3x+7])] [=x2+x+8],

原式 = [y + (4x + 1)][y - (4x + 1)]  - 3(4x + 1)2 = y2 - 4(4x + 1)2

= (x2 + x + 8)2 - 4(4x + 1)2 = (x2 - 7x + 6)(x2 + 9x + 10)

= (x - 1)(x - 6)(x2 + 9x + 10).

十、主元变换

例10 分解因式:x4 + x2 + 2ax + 1 - a2.

解析:视a为主元,将多项式变换整理.

原式 = - a2 + 2xa + x4 + x2 + 1 = -(a2 - 2xa + x2) + x4 + 2x2 + 1 = - [(a - x)2 - (x2 + 1)2]

= - (a - x + x2 + 1)(a - x - x2 - 1) = (x2 - x + a + 1)(x2 + x - a + 1).

十一、十字相乘法

例11 分解因式:x2 + 3xy + 2y2 - x + y - 6.

解析:利用“双十字相乘法”.

原式 = (x + y + 2)(x + 2y - 3).

1. 分解因式:[x4-2ax2+x+a2-a.]

2. 分解因式:[x2+4y2+9z2+4xy-6zx-12yz.]

3. 分解因式:[x3-3x2+]([a+2])[x-2a.]

答案:

1. ([x2+x-a])([x2-x-a+1])

2. ([x+2y-3z])2

3. ([x-2])([x2-x+a])

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