希帕索斯悖论与无理数

林革

说到希帕索斯悖论，首先要提到的是毕达哥拉斯学派和毕达哥拉斯定理.

毕达哥拉斯是一位与孔子、释迦牟尼几乎同时代的古希腊著名数学家和哲学家. 他创办了一个著名的学派——毕达哥拉斯学派，其宗旨是“万物皆数”.

毕达哥拉斯学派认为：世界上的万事万物都可以用数来表示，一切事物都由数构成. 无论什么事物，大到天体，小到尘埃，都有一定的长短、高低、大小、轻重等数量，没有数量的事物是不存在的. 总之，一切事物都必须而且只能通过数得到解释，宇宙的本质和规律就是数的和谐，也就是说，宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比. 显然“万物皆数”中的数就是有理数.

毕达哥拉斯定理就是著名的勾股定理，即直角三角形斜边的平方等于两直角边平方之和. 据说毕达哥拉斯发现这个定理有一段有趣的渊源.

有一次，毕达哥拉斯被邀请到朋友家做客，客人们高谈阔论，他却一言不发，静静地坐在那里. 他本来就是一个沉默寡言、不爱凑热闹的人，平时除了思考数学问题和别人沟通交谈外，没有任何别的事情能让他多费口舌. 毕达哥拉斯一直低头看地上铺的花砖（花砖形状如图1），屋里没人感到奇怪.

花砖上的图形有正方形和三角形，黑白相间且有规律地排列着，这好像没什么特别的，可毕达哥拉斯竟被这个司空见惯的图案吸引住了. 他几乎忘记了自己是来做客的，竟弯下腰去，在靠边的花砖上算了起来.

毕达哥拉斯在直角三角形的一条直角边上写上a，另一条直角边上写上b，在斜边上写上c（如图1）. 以a为边的正方形面积a2恰好等于两个灰色三角形面积的和，以b为边的正方形面积b2恰好等于两个白色三角形面积的和，以c为边的正方形面积c2恰好等于两个灰色三角形与两个白色三角形面积的和，即c2 = a2 + b2. 由此，毕达哥拉斯得出結论：以c为边的大正方形面积等于以a或b为边的两个小正方形面积的和.

毕达哥拉斯和他的门徒在给出这条定理的证明后欣喜若狂，宰了100头牛，举办了盛大的“百牛宴”以示庆贺. 因此，勾股定理也被称为“百牛定理”.

不过，具有讽刺意味的是，毕达哥拉斯定理的发现和证明导致毕达哥拉斯学派的宗旨被动摇了.

毕达哥拉斯学派中的一个青年弟子希帕索斯，在研究正方形的对角线时发现，这条对角线既不能用整数表示，也不能用整数之比（分数）表示. 因为，如果能用整数或整数之比表示，则必然带来不可克服的矛盾. 具体推导如下：

假设正方形的边长为1，如图2，

则根据勾股定理可知斜边w2 = 12 + 12 = 2，这个w一定不是整数，

因为12 = 1，22 = 4，

而12 < w2 < 22，

又因为1和2是两个连续的自然数，

所以w只能是夹在1和2之间的分数.

假设这个分数为[mn]，

必须说明该分数是既约分数（m，n已经约去了所有的公因数），

可得结论：m，n之中至少有一个奇数（若两者都是偶数，则存在公因数2，这与前提假设矛盾）.

∵[m2n2] = 2， ∴m2 = 2n2.

又∵2n2为偶数，∴ m2为偶数，

如果m为奇数，那么m可以表示成2p + 1，

则m2 = （2p + 1）2=4（p2 + p） + 1也是奇数，这与上面得到的m2为偶数矛盾.

∴m必为偶数.

又∵m，n二者中至少有一个奇数，m必为偶数，

∴n必为奇数.

m为偶数，可设 m=2p，即m2=4p2=2n2，得n2=2p2，

也就是说n2为偶数，则n必为偶数. 这又与上面得到的n必为奇数矛盾.

不难看出，同一个数n既是奇数又是偶数.

但是我们都知道，一个数要么是奇数，要么是偶数，不能既是奇数又是偶数.

因此，以上循环必然产生矛盾，人们把这种循环称为希帕索斯悖论.

推导过程之所以出现矛盾的结论，无外乎以下两种原因：一种是前提错误，一种是推导过程错误. 以上的推导过程中使用了两个前提：一个是毕达哥拉斯学派“一切现象可归结为整数或整数之比”的信念，另一个就是毕达哥拉斯定理. 然而，由二者都推出了矛盾.

显然，上述推导过程毫无差错，那么问题只能出在前提上. 毕达哥拉斯定理是已证明为正确的定律，这样只能说明毕达哥拉斯学派的信念不成立. 希帕索斯悖论的发现如同一声晴天霹雳，动摇了毕达哥拉斯学派整个信念大厦的基础，引起了学派极大的恐慌，以至于希帕索斯最终为了真理付出了生命的代价.

然而“青山遮不住，毕竟东流去”，人们又发现了其他不能用整数或整数之比表示的数，如[3]，[5]，[7]，[π]等，如今这些无理数已经被大众普遍接受.

虽然希帕索斯被抛到大海里淹死，但希帕索斯悖论是淹不死的. 这些事实像潮水一样猛烈地冲击着传统观念，促使人们重新审视“一切数都是整数或整数比”的有理数理论，这就是历史上的第一次数学危机. 当然，从本质上严格来说，这种危机并不是数学本身的危机，而是毕达哥拉斯学派“万物皆数”（整数或整数之比）信念的危机.

（作者单位：扬州职业大学）