爱因斯坦的消遣题

林革

创立相对论的伟大物理学家爱因斯坦对数学很有研究，常把解数学题作为一种消遣.

[时钟问题]

有一次，爱因斯坦病了，作家莫希柯夫斯基来看望他，闲聊起自己无意中在钟面上的发现：在时钟上的某一时刻，时针和分针是可以互相调换位置的. 比如：12点时时针和分针重叠，对调两针位置，表示的时间仍是12点; 类似地，2点21分时对调两针位置，表示的时间是4点12分. 当然，并不是任何时刻时针和分针都可以对调，比如9点时两针对调就不行，它不可能表示12点45分，因为在12点45分时时针不可能指向12. 由此引发的问题是：钟面上时针和分针在什么位置时，两针同时对调，使得新位置仍能指示某一实际上可能的时刻？此时，莫希柯夫斯基的本意“昭然若揭”，原来他特意带来一道数学题给爱因斯坦解闷，难怪开头突然扯起时钟问题.

爱因斯坦立刻来了兴致，他坐起身拿来纸笔，稍加思索就得出了正确结果. 他用的时间并不比作家叙述这个问题的时间长多少，其反应之快、效率之高让莫希柯斯基目瞪口呆. 想知道爱因斯坦是如何解答的吗？且听我细细道来：

设钟面上理想时刻（时针与分针可以对调）为x点y分，因为钟面上的圆周被等分为60小格，时针一小时转过钟面上的5小格，分针一小时转过钟面一圈（即60小格），所以时针所指的刻度数（即小格数）为5x + [560·y]=5x + [y12]，分针所指的刻度数为y;将时针和分针的位置对调后，所表示的时间设为s点t分，则时针所指的刻度数为5s + [t12]，它与原来分针所指刻度数y相同，而分针所指的刻度数t就是原来时针所指的刻度数5x + [y12]，于是列方程组[y=5s+t12，t=5x+y12，]解得[y=60（x+12s）143，t=60（s+12x）143.]（以y，t作为未知数）必须注意到，其中x，s表示的是钟点数，所以0 ≤ x ≤ 11，0 ≤ s ≤ 11. 若x，s分别取从0到11间的12个不同的整数，12 × 12 = 144（个），可得144个不同数对（y，t），这些不同数对分别对应分针、时针所处位置. 当x = s = 0时，y = t = 0;当x = s = l1时，y = t = 60. 这两种特殊情形都是说明两针重合指向12，只能算作一种. 因此，实际上所求的位置可以有143种.

看完爱因斯坦的解答，有些人或许会有与莫希柯夫斯基一样的疑问：为什么要以y，t作为未知数，即用x，s表示y，t，而不用y，t表示x，s呢？事实上，爱因斯坦起初也这样尝试过，求出了[x=12t-y60，s=12y-t60.]但他立刻否定了这种情况，这是因为y，t表示分钟数，既能取0～60的整数，也能取0～60的分数，可能出现的情形有无数种，难以限定范围，所以弃用. 而x，s表示的是钟点数，0～11共有12个不同的整数，数量有限，讨论方便，可以很快得出正确结果.

[速算问题]

有一次，爱因斯坦与几位朋友一起闲聊时，有人随口提出一道数学计算题，引起了爱因斯坦的兴趣和关注.

2987 × 2913，这是一道四位数的乘法题，按常规思路列式计算需好一会儿功夫，而爱因斯坦却一不用纸二不用笔，略加思索就报出了正确答案8 701 131. 听了爱因斯坦的速算解释，朋友们惊叹不已. 原来，爱因斯坦注意到两个因数的末两位87与13之和刚好是100，立刻联想到一种名为“头同尾合十”的特定速算方法.

所谓“头同尾合十”是指：两个因数的十位数字相同，个位数字相加刚好为10. 比如：74 × 76，29 × 21，45 × 45等.

对应的速算方法是：先用两个因数的个位数字相乘，得到一个两位数的积（如果是一位数，就在前面加0）;然后用相同的十位数字乘比它大1的数，把得到的结果放在上一个积的前面，组成的数就是两个因数的乘积.

速算74 × 76，先算4 × 6 = 24，再算7 × （7 + 1） = 56，則74 × 76 = 5 624.

速算29 × 21，先算9 × 1 = 09，再算2 × （2 + 1） = 6，则29 × 21 = 609.

速算45 × 45，先算5 × 5 = 25，再算4 × （4 + 1） = 20，则45 × 45 = 2 025.

其中的数学原理不难解释：假设两位数分别是[ab]和[ad]，b + d = 10，则[ab×ad] = （10a + b）（10a + d） = 100a2 + 10ad + 10ab + bd = 100a2 + 10a（b + d） + bd = 100a2 + 100a + bd = a（a + 1） × 100 + bd，上述速算方法只不过是这个结果的直观操作而已.

不难理解，这种速算方法也可推广到多位数. 也就是说，如果因数是[abcd]和[abmn]，[cd] + [mn] = 100，那么[abcd] × [abmn] = [ab] × （[ab] + 1） × 10 000 + [cd] × [mn].

爱因斯坦正是利用上述延伸方法进行速算：先计算29 × （29 + 1） = 29 × 30 = 870，87 × 13 = （100 - 13） × 13 = 1 300 - 132 = 1 131，然后把1 131附在870之后，结果便是8 701 131. 其中的计算过程采用心算，对于爱因斯坦来说显然是小菜一碟.

怎么样？大师不愧为大师，其思维的全面性和灵活性在这两题的解答过程中可见一斑.

（作者单位：扬州职业大学）