勾股定理创新题赏析

时间：2024-05-07

刘顿

2020年湖北省随州市的中考数学试卷中有这样一道试题：

勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理. 在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今.

（1）①请叙述勾股定理;②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见证明方法中任选一种来证明该定理.（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）

（2）①如图4、图5、图6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足S1 + S2 = S3的有个.

②如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（阴影部分）的面积分别为S1，S2，直角三角形的面积为S3，请判断S1，S2，S3的关系并证明.

（3）如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边为边分别向外作正方形，重复这一过程得到如图8所示的“勾股树”. 在如图9所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M的边长为定值m，四个小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d，已知∠1 = ∠2 = ∠3 = ∠α，则当∠α变化时，回答下列问题：（结果可用含m的式子表示）

①a2 + b2 + c2 + d2 = ;

②b与c的关系为，a与d的关系为 .

仔细研究题目，会发现该题的文字与图形都是我们平时所接触过的，该题只是将这些文字与图形归结到一个题目中来，要求我们解决平时不曾要求解决的问题.

解析：（1）①如果直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2 + b2 = c2. （在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方. ）

②在图1中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形的面积的和，即c2 = [12]ab·4 + （b - a）2，化简得a2 + b2 = c2. 在图2中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形的面积的和，即（a + b）2 = c2 + [12]ab·4，化简得a2 + b2 = c2. 在图3中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和，即[12]（a + b）（a + b） = [ 12]ab·2 + [12]c2，化简a2 + b2 = c2.

（2）①在图4中，设直角三角形的边长从小到大分别为a，b，c，

则由勾股定理得a2 + b2 = c2，∴S1 + S2 = S3;

在图5中，设三个半圆的直径从小到大分别为a，b，c，

则S1 = [12π·a22] = [18π]a2，S2 = [12π·b22] = [18π]b 2，S3 = [12π· c22] = [18π]c 2，∴S1 + S2 = [18π]（a2 + b2），

∵a2 + b2 = c2，∴[18π]（a2 + b2） = [18π]c 2，∴S1 + S2 = S3;

在图6中，设等边三角形的边长从小到大分别为a，b，c，则S1 = [34]a2，S2 = [34]b 2，S3 = [34]c 2，

∵S1 + S2 = [34]（a2 + b2），a2 + b2 = c2，∴[34]（a2 + b2） = [ 34]c 2，

∴S1 + S2 = S3.

满足S1 + S2 = S3的图形有3个，故应填3.

②结论为S1 + S2 = S3.

∵S1 + S2 = [12π·a22] + [12π·b22] + S3 - [12π· c22]，∴S1 + S2 = [18π]（a2 + b2 - c2） + S3，

∵a2 + b2 = c2，∴S1 + S2 = S3.