二次根式易错点剖析

刘兴龙

一、忽视对字母的分类讨论，导致出错

例1（2019·陕西·宝鸡）化简[2a-a23a].

解：[2a-a23a] [=2a-a3a].当[a>0]时，原式[=13];当[a<0]时，原式[=-1].

易错点：不讨论[a]的正、负性，未对字母[a]进行分类求解.

例2（2019·贵州·遵义）化简[5xy5xy+x5y+5yx-y5x].

解：当[x>0，y>0]时，原式 = [5xy+x+5y-y=5xy+x+4y];

当[x<0，y<0]时，原式 = [5xy-x-5y-（-y）=5xy-x-4y].

易错点：把所有字母都当作正数，未分类讨论求解.

例3（2019·安徽·芜湖）化简[（a2-b2）（a4-b4）][（a>b）].

解：原式 = [（a2-b2）（a2-b2）（a2+b2）=a2-b2a2+b2].

= [（a2-b2）a2+b2，（当a > b时），0，                                  （当a=b时），（b2-a2）a2+b2，（当a < b时）.]

易错点：虽然题中给出了[a>b]，但[a2]与[b2]的大小还没有确定，故需进行分类讨论.

例4（2019·湖南·衡阳） 化简[a2-4a+4-a2+4a+4].

解：原式 = [（a-2）2-（a+2）2=a-2-a+2].

当[a≤-2]时，原式 = [2-a+a+2=4];

当[-2<a<2]时，原式 = [ 2-a-（a+2）=-2a];

当[a≥2]时，原式 = [a-2-（a+2）=-4].

易错点：[（a-2）2与（a+2）2]都有意义，由于未明确[a]的取值范围，故化简时应先找零点. 此题有两个零点[-2]和2，故应分[a≤-2]，[-2<a<2]，[a≥2]三個区间讨论.

二、忽视特殊情况，导致出错

例5（2019·福建·泉州）化简[x-yx+y].

解法1：原式 = [（x）2-（y）2x+y=（x+y）（x-y）x+y=x-y].

解法2：当[x≠y]时，原式 = [（x-y）（x-y）（x+y）（x-y）=x-y].

当[x=y]时，原式 = 0.

易错点：分母有理化的实质是利用分式的基本性质[ab=acbc]，应用时应注意[c≠0]，如果原式的分子和分母同乘以[x-y]，其结果虽然正确，但[x-y]为0时，该式是无意义的.

三、忽视运算法则，导致出错

例6（2019·河南·商丘）计算[3÷（6+5）·16+5].

解：原式[=36+5·16+5=3（6-5）2=3（11-230）=113-610].

易错点：乘、除是同级运算，应按从左到右的顺序进行，而不能先算后面的乘法.

例7（2019·云南·楚雄）计算[6÷（3-2）].

解：原式[=63-2 = 6（3+2）（3-2）（3+2） =18+12=32+23].

易错点：乘法对加法有分配律，而除法对加法没有分配律.

例8（2019·河北·邢台）能使等式[xx-2=xx-2]成立的[x]的取值范围是（ ）.

A. [x≠2]  B. [x≥0]  C. [x>2]  D. [x≥2]

解：由题意得[x≥0 ，x-2>0，]所以[x>2]. 故选C.

易错点：使[a]有意义，则[a≥0]，但[ab=ab]中[b]在分母上，还必须注意分母不为零.

例9（2019·四川·乐山）已知[α+β=-53 ]，[αβ=13]，求代数式[βα+αβ]的值.

解：因为α + β = -[ 53]，αβ = [13]，所以α < 0，β < 0，

原式=[αβα2+αββ2=1α+1βαβ= -1α-1βαβ=-α+βαβαβ=533].

易错点：使[ab=ab]成立的条件是[a≥0]，[b>0].

例10（2019·江苏·苏州）化简[（a-1）-1a-1].

解：原式 =[ -（1-a）-1a-1=- -（1-a）2a-1=-1-a].

易错点：根据被开方数的非负性可知[a-1<0]，因此[a-1]不能直接移到根号内.

（作者单位：江苏省泰州中学附属初级中学）