老题新唱 一题多变

苗宝财 左效平

基本模型：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，且∠AEF = 90°，EF交正方形外角平分线CF于点F，取边AB的中点G，连接EG.求证：EG = CF. （提示：可证△AGE ≌△ECF）

变式1：变静态为动态，探究结论的不变性.

例1 四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF = 90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F，请你认真阅读下面关于这个图的探究片段，完成所提出的问题.

（1）探究1：小强看到图2后，很快发现AE = EF，这需要证明AE和EF所在的兩个三角形全等，但△ABE和△ECF显然不全等，考虑到点E是边BC的中点，因此可以选取AB的中点G，连接EG （如图2），尝试着完成了证明，请你写出小强的证明过程.

（2）探究2：小强继续探索，如图2，若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上的任意一点”，其他条件不变，发现AE = EF仍然成立，请你证明这一结论.

（3）探究3：小强进一步还想试试，如图3，若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC延长线上的一点”，其他条件仍不变，那么结论AE = EF是否成立呢？若成立请你完成证明过程给小强看，若不成立请你说明理由.

解析： （1）提示：取AB的中点G，连接EG，可证△AGE ≌△ECF.

（2）提示：在AB上取一点G，使BG = BE，可证△AGE ≌△ECF.

（3）当点E在BC上运动时，解题关键是在BA上截取BG = BE;当点E在BC的延长线上时，解题关键是在BA的延长线上截取BG = BE.

如图3，延长BA到点G，使AG = CE，则BG = BE.

构造以BG为边的正方形BGHE，连接GE，则∠AGE = ∠ECF = 45°.

因为∠FEM + ∠AEB  = 90°，∠BAE + ∠AEB  = 90°，

所以∠FEM = ∠BAE，所以∠CEF = ∠GAE，

所以△AGE ≌ △ECF，所以AE = EF.

变式2：深入新思考，引申探究新问题.

例2 如图4，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF = 90°，EF交正方形外角的平分线CF于点F，且FG⊥BM，FH⊥CD，垂足分别为G，H.

（1）求证：四边形CGFH是正方形;

（2）求证：△AEF是等腰直角三角形.

（3）设正方形ABCD的面积为[S1]，正方形CGFH的面积为[S2]，△AEF的面积为S，试确定[S1]，[S2]，[S]之间的关系.

解析： （1）略; （2）略;

（3）根据题意得S = [12AE2]，[S1] = [AB2]，[S2] = [CG2]，

在Rt△ABE中，[AE2=AB2+BE2]，

易证BE = CG，所以[AE2=AB2+CG2]，所以S = [S1+S22].

变式3：变化条件，引申探究猜想型问题.

例3 如图5，在正方形ABCD中，E是边AB上一动点 （不与A，B重合），连接DE，点A关于直线DE的对称点为F，连接EF并延长交BC于点G，连接DG，过E作EH⊥DE，交DG的延长线于点H，连接BH.

（1）求证：GF = GC; （2）用等式表示线段BH与AE的数量关系，并证明.

解析： （1）证明：连接DF，由点A关于直线DE的对称点为F，得DA = DF，∠A = ∠DFE = 90°，根据正方形的性质，得DF = DA = DC，∠DFG = ∠C = 90°，DG = DG，所以△DGF ≌△DGC，所以GF = GC;

（2）BH与AE的数量关系为BH = [2]AE. 理由如下：

过点H作HM⊥AB，交AB的延长线于点M，

根据 （1）得 ∠ADE = ∠FDE，∠CDG = ∠FDG，所以∠EDG = 45°，

因为EH⊥DE，所以∠EHD = 45°，所以ED = EH，

因为∠HEM + ∠AED = 90°，∠ADE + ∠AED = 90°，

所以∠ADE = ∠HEM，

因为∠A = ∠M = 90°，所以△ADE ≌ △MEH，

所以AE = HM，AD = EM，所以AB = EM，所以AE = BM，

在Rt△BHM中，根据勾股定理得BH = [BM2+MH2=AE2+AE2] = [2]AE.

例4（2019·山东·泰安）如图6，四边形ABCD是正方形，△EFC是等腰直角三角形，点E在AB上，且∠CEF = 90°，FG⊥AD，垂足为点G. （1）试判断AG与FG是否相等，并给出证明. （2）若点H为CF的中点，GH与DH垂直吗？若垂直，给出证明;若不垂直，说明理由.

解析： （1）AG = FG.

理由：过点F作FM⊥EA，交EA的延长线于点M，

因为△EFC是等腰直角三角形，所以EF = EC. ∠CEF = 90°，

所以∠MEF + ∠BEC  = 90°，

因为∠MEF + ∠MFE = 90°，所以∠MFE  = ∠BEC，

所以Rt△MEF ≌ Rt△BCE，所以MF = BE，ME = BC.

因为四边形ABCD是正方形，所以AB = BC，

所以ME = AB，所以AM = EB，所以AM = FM.

因为∠MAG =  ∠AGF = ∠AMF = 90°，所以四边形AGFM是正方形，所以AG = FG.

（2）GH⊥DH. 理由：延长GH交DC于点N，由DC[⫽]FG，FH = CH，易证△FGH ≌ △CNH.

所以FG = AG = CN，GH = NH，所以AD - AG = DC - CN，即DG = DN，

根据等腰三角形“三线合一”，得GH⊥DH.